Общая теория связи. Случайные величины и их распределения сборник задач и упражнений. Практикум

Записать выражения, определяющие:

а) плотность распределения случайной величины ξ; б) совместную плотность распределения случайных величин

η и ζ;

в) условную совместную плотность распределения случайных величин η и ζ при условии ξ = x;

г) условную плотность распределения случайной величины η при условии ξ = x, ζ = z;

д) совместную функцию распределения Fξηζ(3) (x,y,z); е) функцию распределения случайной величины η;

ж) совместную функцию распределения случайных величин

ξи ζ.

4.8.Для двумерной случайной величины (ξ, η) известна одно-

мерная плотность wη(y), а также условные математическое ожидание E[ξ/y] и дисперсия D[ξ/y].

Определить безусловные математическое ожидание E[ξ] и дисперсию D[ξ].

4.9.Совместное распределение дискретных случайных величин ξ и η задано таблицей.

Найти совместную функцию распределения. Определить и построить график одномерных функций распределения. Найти математические ожидания и дисперсии, а также коэффициент корреляции случайных величин ξ и η.

4.10. Случайный вектор (ξ, η) имеет плотность распределения

41

Найти константу a, функцию распределения вектора (ξ, η), плотности распределения случайных величин ξ и η, их математические ожидания и дисперсии, коэффициент корреляции. Являются ли ξ и η независимыми?

4.11. Плотность вероятности двумерной случайной величины (ξ, η) определяется выражением

wξη(2)(x,y) = 12 sin(x + y), 0 ≤ x ≤ π/2, 0 ≤ y ≤ π/2.

Найти математические ожидания и дисперсии ξ и η, ковариационную K и корреляционную B матрицы.

4.12.Двумерная функция распределения случайных величин ξ

иη имеет вид

Fξη(2)(x,y) = sinxcosx, x [0;π / 2], y [0;π / 2].

Найти вероятность попадания ξ и η в прямоугольную область { x [π / 4;π / 2], y [0;π / 4]}. Определить вероятность выполне-

ния неравенства ξ ≥ η.

4.13. Плотность вероятности двумерной случайной величины (ξ, η) имеет вид

wξη(2)(x,y) = Aexp(−x2 + 6x − y2 − 2y −12).

Найти одномерные плотности wξ(x) и wη(y). Зависимы ли ξ и η? 4.14. Плотность вероятности двумерной случайной величины

(ξ, η) имеет вид

Найти:

а) константу A;

б) одномерные плотности wξ(x) и wη(y), зависимы ли ξ и η;

в) вероятность попадания случайной точки (ξ, η) в пределы квадрата с центром в начале координат, стороны которого c = 2 и параллельны осям координат.

42

4.15. Двумерная случайная величина (ξ, η) подчиняется гауссовскому распределению

w(2)(x,y) = h2 exp −h2 (x2 + y2 ) .

ξη π

Найти значение константы h, если известно, что вероятность попадания (ξ, η) в круг x2 + y2 ≤ R2 равна заданной величине p.

Определить, при каком значении h вероятность попадания (ξ, η)

вкольцо r2 ≤ x2 + y2 ≤ R2 будет наибольшей.

4.16.Совместная плотность вероятности двух случайных величин ξ и η имеет вид правильного конуса, в основании ко - торого находится круг с центром в начале координат и радиу­ сом R.

Записать выражение для совместной плотности. Найти:

а) одномерные плотности распределения случайных величин

ξи η;

б) условные одномерные плотности wξ(x/y) и wη(y/x);

в) коэффициент корреляции rξη случайных величин ξ и η. Зависимы ли ξ и η?

4.17. Совместная плотность вероятности двух случайных величин ξ и η равномерна в пределах области Q (рис. 4.1: а и б – варианты расположения области Q; с — сторона квадрата) и равна нулю за ее пределами.

Рис. 4.1

43

Найти одномерные плотности вероятности случайных величин ξ и η. Зависимы ли эти величины? Каков их коэффициент кор­ реляции?

4.18. Совместная плотность вероятности двух случайных величин ξ и η равномерна в круге радиуса R с центром в начале ко­ ординат и равна нулю за его пределами.

Найти одномерные плотности вероятности ξ и η. Зависимы ли эти величины? Каков их коэффициент корреляции?

4.19. Совместная плотностьвероятностидвухслу­ чайных величин ξ и η рав-

номерна в круге радиуса R с центром вне начала координат (рис. 4.2) и равна нулю за его пределами.

Найти одномерные плот­ ности вероятности ξ и η. Зависимы ли эти величины? Каков их коэффициент корреляции r?

4.20. Плотность вероятности двумерной случайной величины (ξ, η) имеет вид

Чему равна константа C? Найти одномерные плотности wξ(x) и wη(y), а также коэффициент корреляции ξ и η. Зависимы ли

ξ и η?

44

4.21.Совместная плотность распределения случайных величин

ξи η имеет вид:

Найти постоянную C, математические ожидания, дисперсии

икоэффициент корреляции ξ и η.

4.22.Чему равен коэффициент корреляции случайных величин

ζ1 = aξ + b и ζ2 = сη + d, где a, b, c, d — детерминированные константы, а случайные величины ξ и η имеют коэффициент корреляции, равный r?

4.23.Случайные величины ξ и η имеют математические ожидания, равные соответственно 2 и 3, дисперсии – 16 и 25, а также коэффициент корреляции 0,25.

Найти:

а) второй начальный момент суммы ξ и η; б) среднее значение произведения ξ и η.

4.24.Каким условиям на интервале [0; 2π] должна удовлетво-

рять плотность вероятности w(φ) случайной фазы колебаний

ξ= sin(ωt + ϕ) и η= cos(ωt + ϕ), чтобы они были некоррелированы?

4.25.Двумерная случайная величина (ξ, η) имеет совместное гауссовское распределение, если ее двумерная плотность

45

Найти:

а) одномерные плотности распределения случайных величин ξ и η; чему равны их математические ожидания и дисперсии;

б) коэффициент корреляции случайных величин ξ и η. Пусть коэффициент корреляции равен нулю.

Можно ли утверждать, что случайные величины ξ и η независимы? Найти:

в) условные распределения wξ (x / η= y) и wη(y / ξ = x);

г) условные математические ожидания и дисперсии ξ и η. 4.26. Двумерная случайная величина (ξ, η) имеет совместное

гауссовское распределение

приближенно заменяется:

а) равномерным распределением в круге радиуса R и центром в начале координат;

б) распределением в виде правильного кругового конуса с радиусом основания R и центром в начале координат.

Определить значение R согласно условию сохранения дисперсии случайных величин ξ и η.

4.28. Для двумерного гауссовского распределения вида

46

4.29. Двумерная гауссовская случайная величина (ξ, η) опреде-

ляется следующими параметрами: aξ =1; σξ2 =1; aη = −1; ση2 = 4;

rξη = 0.

Найти вероятность того, что (ξ, η) окажется внутри области, ограниченной эллипсом

(x −1)2 + (y +41)2 =1.

4.30.Точка (ξ, η) выбирается случайным образом из треуголь-

ника с вершинами A(0, 0), B(2, 0) C(0, 2).

Найти:

а) плотность распределения вектора (ξ, η); б) плотность распределения случайных величин ξ и η;

в) функции распределения вектора (ξ, η) и случайных величин

ξи η;

г) математические ожидания и дисперсии случайных величин

ξ и η;

д) ковариацию ξ и η. Являются ли ξ и η независимыми? 4.31. Двумерная случайная величина (ξ, η) описывается

плотностью вероятности wξη(2)(y,x) = Axy в пределах области

D и равна нулю вне этой области. Область D ограничена пря­ мыми:

а) x + y =1, x = 0, y = 0; б) x = 0, y = 0, x = 1, y = 1.

Найти константу A, математические ожидания, дисперсии и коэффициент корреляции случайных величин ξ и η. Зависимы ли случайные величины? Найти одномерные распределения

ξи η.

4.32.Пусть ξ — отсчет шумового тока, протекающего через резистор сопротивлением R.

Записать совместную плотность вероятности отсчетов тока и напряжения η, если известна плотность распределения wξ(x).

47

4.33.Найти вероятность выполнения неравенства ξ ≥ η, если ξ

иη независимы при условии:

4.34. Функция распределения двумерной случайной величины

(ξ, η) задана выражением Fξη(2)(x,y) = 1 – exp(–ax) – exp(–by) +

+ exp(–ax – by), x > 0, y > 0.

Найти двумерную wξη(2)(x,y) и одномерные wξ(x), wη(y) плотно-

сти вероятности. Чему равна вероятность попадания случайной величины (ξ, η) в квадрат с вершинами: A(1, 1), B(0, 1), C(0, 0),

D(1, 0)?

4.35.Зависимы ли случайные величины ξ и η, если их двумерная плотность вероятности экспоненциально убывает:

а) с квадратом расстояния от точки (x, y) до точки (a, b);

б) абсолютным значением расстояния от точки (x, y) до точки

(a, b)?

4.36.Производится случайный выбор без возвращения двух карточек из набора:

а) 10 одинаковых карточек, на которых написаны цифры от 0 до 9;

б) 20 одинаковых карточек, на которых написаны цифры от 1

до 20.

Из выбранных цифр формируется число. Пусть a и b — числа, написанные на выбранных карточках, и сформирован набор слу-

чайных величин ξ1 = max(a, b); ξ2 = min(a, b); ξ3 = |a – b|.

Найти законы распределения каждой случайной величины, их математические ожидания и дисперсии. Какова вероятность того, что ξ12 −ξ22 делится на 3? Найти двумерный закон распределения

48

ξ1 и ξ2, ξ1 и ξ3, а также соответствующие ковариации. Являются ли ξ1, ξ2 и ξ3 попарно независимыми?

4.37. Бросается игральный кубик. Если выпавшее число очков нечетно, то кубик бросается еще раз, затем фиксируется число, соответствующее сумме выпавших очков. Если выпавшее число очков четное, то фиксируется число, в два раза меньшее, чем выпавшее.

Описать пространство элементарных исходов эксперимента. Сколько элементов оно содержит?

Пусть ξ — максимальное простое число, не превосходящее число N, зафиксированное в эксперименте, η — остаток от деления N на ξ.

Найти закон распределения:

а) случайных величин ξ и η, их математические ожидания и дисперсии;

б) двумерного вектора (ξ, η), ковариацию ξ и η. Являются ли величины ξ и η независимыми?

4.38. Случайный гауссовский вектор (ξ, η) имеет нулевые математические ожидания компонент, дисперсии σ12 и σ22 и нормиро-

ванную корреляционную матрицу

Найти вероятность P(ξη < 0). Чему равен коэффициент корреляции r для ξ2 и η2? Найти математическое ожидание ζ = max{ξ, η}.

4.39.Найти коэффициент корреляции ξ и ξn, если ξ — гауссовская случайная величина с нулевым средним.

4.40.Определить совместную плотность распределения трех случайных величин ξ, η и ζ, если задана совместная функция рас­

пределения Fξηζ(3) (x,y,z) = (1−exp(−ax))(1−exp(−by))(1−exp(−cz)), x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0. Что собой представляет множество точек, для

которого плотность распределения wξηζ(3) (x,y,z) = w0 , w0 ≤ abc, име­ ет постоянное значение?

49

4.41. Совместная плотность вероятности совокупности трех случайных величин ξ, η и ζ имеет вид

Построить ковариационную матрицу случайных величин ξ,

ηи ζ.

4.42.Трехмерная случайная величина (ξ, η, ζ) распределена равномерно внутри шара радиуса R:

4.43. Показать, что для n-мерного гауссовского распределения центральные моменты нечетного порядка равны нулю, а централь­ ­ ные моменты четного порядка выражаются через произведения

n

ковариаций: μ2k+1 = 0; µ2k = ∑∏E[(ξk − mk )(ξl − ml )], k = 1, 2, …,

k ≠l

где суммирование производится по всем возможным способам, которыми можно разбить 2k точек на k парных комбинаций. Общее число слагаемых в сумме (2k −1)!!=1 3 5...(2k −1).

4.44. Плотность вероятности случайной величины ξ имеет вид

a exp (ax), x < 0; wξ (x) = 0, x ≥ 0.

При условии, что ξ = x, условная плотность вероятности случайной величины η

x exp (xy), y ≥ 0; wη(yx) = 0, y < 0.

50