Общая теория связи. Вычисление вероятностей событий сборник задач и упражнений. Практикум

Министерство образования и науки Российской Федерации

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙУНИВЕРСИТЕТПЕТРАВЕЛИКОГО

Е. А. Попов

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СВЯЗИ

ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СОБЫТИЙ: СБОРНИК ЗАДАЧ

И УПРАЖНЕНИЙ

Практикум

Санкт-Петербург

2018

ВВЕДЕНИЕ

Современная теория связи, а также многие радиотехнические направления в значительной степени опираются на вероятностные концепции. Это означает, что вероятностные не только характеристики, описывающие работу телекоммуникационных систем (вероятность безотказной работы, вероятность ошибочного приема­ , вероятность неудачного хэндовера и т. п.), но и критерии, на основании которых синтезируются оптимальные устройства обработки информации. Поэтому в соответствующих образовательных программах традиционно повышенное внимание уделяется изучению теории вероятностей и ее приложений. Фактически, наряду с базовым курсом, где изучаются основные понятия теории вероятностей и математической статистики, предлагается ряд практически ориентированных дисциплин, в которых производится «перевод» теоретико-вероятностных понятий на язык приложений и выявляются аспекты, необходимые для решения прикладных задач.

Необходимо понимать, что в настоящее время имитационное моделирование (как часть фундаментального подхода к построению математических моделей), пожалуй, наиболее эффективное средство изучения физических, технических и социально-эконо- мических процессов, проверки работоспособности достаточно сложных устройств и систем, а также построения «тренажерных» механизмов с их возможным включением в реальный контур функционирования. При этом, в связи с бурным развитием средств вычислительной техники, непрерывно возрастают технические возможности моделирования: то, что еще десятилетие назад казалось нереализуемым или неоправданно затратным,

4

сейчас является обычной практикой и, возможно, даже предметом учебного занятия. Поэтому решение теоретических заданий, связанных с вычислением вероятностей тех или иных событий, будет гораздо более эффективным, если наряду с «красивым» математическим решением дополнительно провести имитационное моделирование каждого из заданий. Это, как минимум, позволит сравнить два результата.

Практикум содержит задания по следующим темам (разделам):

–случайные события;

–элементарные вероятности;

–последовательности независимых испытаний;

–геометрические вероятности.

В каждой главе задачи представлены традиционным способом: от простых к сложным с постепенным увеличением уровня трудности. В начале каждого раздела дается необходимый минимум базовых теоретических понятий.

Данныйпрактикум,конечно,неуникален;существуетдостаточно большое число «толстых» задачников, посвященных различным разделам теории вероятностей. В частности, можно отметить такие книги, как «Задачник по теории вероятностей и математической статистике» Г. В. Емельянова и В. П. Скитовича, «Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций» под редакцией А. А. Свешникова, из которых заимствованы некоторые оригинальные задачи.

Практикум предназначен для студентов, обучающихся по направлениям подготовки «Инфокоммуникационные технологии и системы связи» и «Радиотехника», а также для всех, кто совершенствует свои знания в области вероятностных явлений.

1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

Вероятностный эксперимент – комплекс условий, который теоретически может быть воспроизведен бесконечное число раз. Событие – любой исход, который в результате эксперимента мо-

5

жет произойти или не произойти. Все возможные события мож-

но разделить на достоверные, случайные и невозможные. Веро-

ятность P(Ω) достоверного события равна единице, вероятность P(Ø) невозможного события – нулю, вероятность произвольного события A заключена между нулем и единицей:

Событие A называется частным случаем события B, если при каждой реализации A осуществляется B. Событие (исход) ω называется элементарным, если у него не существует частных случаев, не совпадающих с ним самим.

Над событиями можно совершать теоретико-множественные операции. Объединением(суммой) A1 +…+ AN событий называется событие, которое происходит всякий раз, когда реализуется хотя бы одно из событий A1, …, AN. Пересечением (произведением)

A1…AN событий называется событие, которое происходит только тогда, когда реализуются все события A1, …, AN. Разностью A \ B событий называется событие, которое происходит всякий раз, когда осуществляется событие A и не осуществляется событие B. Со-

бытие A , состоящее в том, что A не происходит, называется до-

полнением (отрицанием) события A.

События A1, …, AN образуют полную группу событий, если в результате эксперимента обязательно происходит хотя бы одно из них, т. е. сумма этих событий – достоверное событие. События A1, …, AN называются несовместными, если их совместное появление невозможно, т. е. если произведение событий есть невозможное событие.

1.1. Установить справедливость свойств случайных событий:

а) A + B = B + A;

б) A + (B + C) = (A + B) + C; в) A(BC) = (AB)C;

г) A(B + C) = AB + AC;

6

д) A + A = A;

е) AA = A;

ж) A + (BC) = (A + B)(A + C).

1.2. Показать, что для случайных событий выполняются соотношения:

а) A + B = AB;

б) AB = A + B.

1.3. Что означают события A + A и AA? Когда возможны равенства:

а) AB = A;

б) AB = A;

в) A + B = A;

г) A + B = A;

д) A + B = AB.

1.4. Опыт состоит в бросании монетки: а) один раз; б) два раза; в) три раза;

г) n раз.

Результат эксперимента – выпадение числа «орлов» (О) или «решек» (Р) независимо от порядка выпадения.

Определить пространство элементарных исходов. Как изменится результат эксперимента, если учитывать порядок выпадения О и Р?

1.5. Обобщение предыдущей задачи. Из совокупности, содержащей n объектов, случайным образом отобрали m объектов.

ОпределитьпространствоэлементарныхисходовΩприусловиях: а) после выбора объекта он возвращается в исходную совокуп-

ность, порядок выбора объектов учитывается; б) выбор объекта производится без возвращения в исходную

совокупность, порядок выбора объектов учитывается; в) выбор объекта производится без возвращения в исходную

совокупность, порядок выбора объектов не учитывается.

7

1.6.Игральный кубик бросается: а) один раз; б) два раза.

Определить пространство элементарных исходов.

1.7.Из набора чисел {1, 2, 3, 4} случайно выбираются два числа с возвращением (т. е. сначала выбирается одно число, затем оно возвращается в исходную совокупность и выбирается второе число).

Определить пространство элементарных исходов.

1.8.Эксперимент состоит в последовательном бросании монетки и игрального кубика.

Определить пространство элементарных исходов.

1.9.Бросается монетка. Если выпадает «орел», то снова бросается монетка, в противном случае – игральный кубик.

Определить пространство элементарных исходов.

1.10.Из урны, в которой три белых и два черных шара, наугад без возвращения вынимают два шара.

Определить пространство элементарных исходов.

1.11.Имеется две урны с шарами: в первой – два черных и один белый, во второй – один черный и два белых. Из каждой урны вынимается по одному шару.

Определить пространство элементарных исходов.

1.12.Из набора цифр {0, 1, 2, 3} случайным образом составляется двузначное число.

Определить пространство элементарных исходов.

1.13.Случайным образом формируется супружеская пара в возрастном диапазоне 16–80 лет. Результат эксперимента – возраст мужа и жены.

Определить пространство элементарных исходов.

1.14.Человек стреляет в мишень, состоящую из 10 концентрических кругов.

Определить пространство элементарных исходов.

1.15.Из колоды, содержащей 36 карт, вынимают:

а) одну карту;

8

б) две карты без возвращения; в) две карты с возвращением.

Определить пространство элементарных исходов. Сколько

внем элементов?

1.16.Монетка подбрасывается до тех пор, пока: а) впервые не появится «орел»; б) не появятся два «орла» подряд;

в) монетка не упадет дважды подряд одной стороной. Описать пространство элементарных исходов.

1.17.Из набора чисел {1, 2, …, n} случайным образом выбраны m чисел и расположены в порядке возрастания.

Определить пространство элементарных исходов.

1.18.В исходной совокупности находятся два типа объектов, по 10 штук каждого типа. Совокупность случайным образом делится на две одинаковые по численности группы.

Определить пространство элементарных исходов.

1.19.Из 28 костей домино случайным образом выбираются две

кости.

Определить пространство элементарных исходов.

1.20.В совокупности из n деталей имеется m бракованных. Случайным образом выбирается k деталей:

а) с возвращением; б) без возвращения.

Определить пространство элементарных исходов.

1.21.Лотерея устроена следующим образом. Существует набор из M билетов, которые пронумерованы числами 1, 2, …, M. Вэтомнабореn билетовсномерами1,2,…,n выигрышные,причем M ≥ 2n. Эксперимент состоит в покупке n произвольных билетов.

Описать:

а) пространство элементарных исходов (Сколько в нем элементов?);

б) событие A, состоящее в том, что среди купленных билетов нет ни одного выигрышного. (Сколько элементарных исходов содержит это событие?)

9

1.22.Результат эксперимента – координаты случайно выбранной точки:

а) в единичном квадрате с центром в начале координат; б) на окружности с центром в начале координат; в) в круге с центром в начале координат.

Описать пространство элементарных исходов.

1.23.Поезда метро идут с интервалами 2 мин и стоят на остановке 10 с. Эксперимент состоит в случайном приходе пассажира, результат – время, оставшееся до отправления поезда от остановки.

Определить пространство элементарных исходов.

1.24.Эксперимент состоит в случайном и независимом появле-

нии двух людей в интервале времени [t1; t2]. Результат эксперимента – разность между моментами прихода каждого из них.

Определить пространство элементарных исходов.

1.25.Пусть A – событие, состоящее в том, что хотя бы одна из имеющихся четырех радиодеталей бракованная; событие B – бракованных радиодеталей не меньше двух.

Что означают события A и B ?

1.26. Из таблицы случайных чисел наугад выбрано одно число. Событие A – выбранное число делится на 5; событие B – выбранное число оканчивается нулем.

Что означают события A \ B, AB ?

1.27.Два шахматиста играют одну партию. Событие A – выиграет первый игрок; событие B – выиграет второй игрок.

Какое событие следует добавить к указанной совокупности, чтобы получилась полная группа событий?

1.28.Пусть А, В и С – случайные события.

Каков смысл равенств:

а) АВС = А; б) А + В + С = А?

1.29. Упростить выражения:

а) (А + В)(В + С); б) (A + B)(A + B);

в) (B +C)(B +C)(B +C).

10