Общая теория связи. Вычисление вероятностей событий сборник задач и упражнений. Практикум

2.86.Шесть карт с числами 1, 2, 3, 4, 5, 6 случайным образом вынимают из коробки.

Найти вероятность того, что порядковый номер карты совпадет

снаписанным на ней числом.

2.87.Решить предыдущую задачу для произвольного числа N карт. Как будет меняться результат при неограниченном возрастании N?

2.88.На 10 картах написаны числа 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6.

Производится последовательный выбор двух карт, число на первой карте объявляется числителем, число на второй – знаменателем.

Какова вероятность того, что полученная дробь окажется правильной?

2.89.В последовательности натуральных чисел 1, 2, …, n выбрано значение k < n.

Найти вероятность того, что среди случайно выбранных из последовательности двух чисел одно будет меньше, а другое – больше k.

2.90.В последовательности натуральных чисел 1, 2, …, n случайным образом выбраны m чисел.

Найти вероятность того, что:

а) все выбранные числа кратны заданному числу Q;

б) каждое из выбранных чисел кратно хотя бы одному из двух взаимно простых чисел q1 и q2.

2.91.В последовательности натуральных чисел 1, 2, …, n слу-

чайным образом выбраны m чисел x1 < x2 < … < xm.

Какова вероятность того, что для произвольного значения k, 1 ≤

≤k ≤ n, окажется xk = k?

2.92.Найти вероятность pN(n, k) того, что случайно взятое из конечного множества {1, 2, …, N} натуральное число n делится на заданное натуральное число k (не обязательно принадлежащее указанному множеству). Рассмотреть предельное поведение вероятности pN(n, k) при N → ∞.

31

2.93. Из множества {1, 2, …, n} случайно выбирается число n. Найти вероятность pN(n) того, что n не будет делиться:

а) ни на одно из двух заданных взаимно простых чисел a1 и a2; б) ни на какое число из набораa1,a2, …,aM попарно простых чисел. Рассмотреть предельное поведение вероятности pN(n) при

N → ∞.

2.94. Из множества {1, 2, …, n} случайно выбирается число x. Найти вероятности pN(x), а также их предельные значения при

N → ∞ для событий:

а) x2 – 1 делится на 10;

б) x при делении на натуральное число q дает остаток r; в) x является квадратом другого натурального числа; г) 2x + 1 делится на 10.

2.95. Числа {1, 2, …, n} расположены случайным образом. Какова вероятность того, что по крайней мере одно число рав-

но номеру своего места? К какому пределу стремится эта вероятность при n → ∞?

2.96.Выигрыш в лотерею. Существует набор из M билетов, которые пронумерованы числами 1, 2, …, M. В этом наборе n билетов с номерами 1, 2, …, n выигрышные, причем M ≥ 2n.

Какова вероятность выигрыша при покупке n произвольных билетов?

2.97.На производстве изготавливают устройства, состоящие из n деталей. Вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна p независимо от качества других деталей. Изготовлено N устройств стоимостью K рублей каждое.

При каком значении p проверка на брак каждой детали экономически нецелесообразна, если стоимость проверки каждой детали составляет M рублей?

2.98.В коробке находятся 25 микросхем двух типов: 10 одного типа и 15 другого. По внешнему виду микросхемы трудноотличимы. Имеющий плохое зрение монтажник забыл очки, и ему приходится на ощупь (фактически случайным образом) выбирать

микросхемы. Были взяты пять микросхем.

Какова вероятность того, что три микросхемы первого типа?

32

2.99. Обобщение предыдущей задачи. В партии, содержащей N радиодеталей, имеется M бракованных. Для проверки случайным образом выбираются n < N радиодеталей.

Найти вероятность того, что среди выбранных радиодеталей окажется точно m ≤ M бракованных.

2.100. Из урны, в которой находятся: а) два белых и два черных шара; б) три белых и два черных шара,

производится случайный выбор двух шаров без возвращения. Пусть событие A состоит в том, что белый шар появился при первом выборе, а событие B – в том, что белый шар появился при втором выборе.

Найти P(A), P(B), P(A/B), P(B/A), P(AB). Зависимы ли события

A и B?

2.101. В упаковке лежат скрепки пяти цветов по 20 штук: красные, синие, черные, зеленые и розовые. Из упаковки, не глядя, достают девять скрепок.

Какова вероятность того, что все скрепки окажутся зеленого цвета?

2.102. Два участника поочередно извлекают по одному шару из урны, содержащей два белых и четыре черных шара.

Найти вероятность для каждого из участников вынуть первым белый шар.

2.103. Два участника поочередно извлекают по одному шару из урны, содержащей два белых и четыре черных шара, фиксируют его цвет, затем возвращают шар обратно. При появлении белого шара извлекать шары прекращают.

Какова вероятность извлечения первым белого шара каждым из участников, если шар извлекается не более 2k раз?

2.104. В урне находится M белых и N черных шаров. Два игрока поочередно вынимают один шар и возвращают его обратно; выигрывает тот, кто первым вынет белый шар.

Найти вероятность выигрыша первым игроком при условии, что игра происходит неограниченно долго.

33

2.105. Из урны, в которой находятся два белых, три черных и пять красных шаров, случайным образом вынимаются три шара.

Какова вероятность того, что среди вынутых шаров, как минимум, два шара окажутся разного цвета?

2.106. Из урны, содержащей 20 белых и 2 черных шара, случайным образом вынимают m шаров с возвращением:

а) каково наименьшее значение числа выниманий, при котором вероятность вынуть точно один раз черный шар больше 0,5;

б) каково наименьшее значение числа выниманий, при котором вероятность вынуть хотя бы один раз черный шар больше 0,5?

2.107. Из урны, содержащей шары с номерами 1, 2, …, N, производится m-кратное вынимание шара с возвращением.

Какова вероятность того, что номера вынутых шаров образуют возрастающую последовательность? Как изменится результат, если шары не будут возвращаться в урну?

2.108. Из урны, содержащей n различных шаров, случайным образом n раз вынимают по одному шару, фиксируют и возвращают его обратно.

Какова вероятность того, что зафиксирован весь набор шаров? 2.109. В трех урнах находятся черные и белые шары: в первой – три белых и один черный; во второй – шесть белых и четыре черных; в третьей – девять белых и один черный. Из случайно вы-

бранной урны случайным образом выбирается один шар. Какова вероятность того, что шар белый?

2.110. Из урны, содержащей m белых и n черных шаров, последовательно вынимаются шары без возвращения. Эксперимент продолжается до тех пор, пока не появится белый шар.

Какова вероятность k-кратного извлечения черного шара? Рассмотреть вариант, когда

m →∞, n →∞, mn+ n → a .

2.111. Урна, в которой изначально находится один белый шар, шаг за шагом заполняется черными шарами: один шар за один

34

шаг. На каждом шаге из урны случайным образом извлекается шар, фиксируется и возвращается обратно.

Найти вероятность того, что при n испытаниях белый шар появится точно m раз. Рассмотреть конкретные ситуации:

а) n = 3, m = 2; б) n = 4, m = 2; в) n = 5, m = 2;

г) n, m = 1, 2, …, n – 1; д) n → ∞, m → ∞.

2.112. В условиях предыдущей задачи после k-го испытания в урну добавляется bk черных шаров.

Какому условию должны удовлетворять числа bk, чтобы вероятность того, что при неограниченной последовательности испытаний белый шар появится только один раз, не равнялась нулю?

2.113. Реализуется схема случайного выбора с возвращением двух чисел a и b из конечного множества натуральных чисел

{1, 2, …, n}.

Найти вероятность pn того, что числа a и b взаимно простые. К какому пределу стремится эта вероятность при n → ∞? Как изменится результат, если выбор чисел a и b производить без возвращения?

2.114. По схеме выбора с возвращением из набора натуральных чисел {1, 2, …, n} случайно выбираются два числа a и b. Пусть

pn – вероятность pn = P(a2 +b2 )≤ n2. Найти предел вероятности при n → ∞.

2.115. По схеме выбора с возвращением из набора натуральных чисел {1, 2, …, n}, n ≥ 3, случайно выбираются два числа a и b.

Сравнить вероятности p1 = P(a2 −b2 2) и p2 = P(a2 −b2 3). 2.116. По схеме выбора с возвращением из набора натуральных чисел {1, 2, …, n} случайным образом выбираются два числа a и b.

Показать, что:

а) при n ≥ 6 справедливо соотношение P(a4 – b4 = 0 (mod 2)) < < P(a4 – b4 = 0 (mod 3))P(a4 – b4 = 0 (mod 5));

35

б) при n ≥ 4 справедливо соотношение P(a3 + b3 = 0 (mod 3)) < < P(a3 + b3 = 0 (mod 7)).

2.117. Подобрав соответствующую схему извлечения шаров из урны, проверить, верны ли тождества:

а)

2.118. Для уменьшения общего количества игр 2n команд разбиваются на две подгруппы, по n команд в каждой подгруппе.

Какова вероятность того, что:

а) две самые сильные команды окажутся в одной подгруппе; б) две самые сильные команды окажутся в разных подгруппах; в) четыре самые сильные команды окажутся по две в разных

подгруппах.

2.119. В урне находятся (2N + 1)2 карточек, на каждой из которых написана упорядоченная пара (a, b) целых чисел, принимающих значения от –N до N. По схеме выбора без возвращения извлекаются три карточки (a1, b1), (a2, b2), (a3, b3), и эти пары трактуются как координаты трех точек соответственно M1, M2, M3, лежащих на плоскости.

Найти вероятность того, что M1 симметрична M2 относитель-

но M3.

2.120. Счастливый билет. Шестизначный билет считается счастливым, если совпадает сумма первых трех и вторых трех цифр.

Какова вероятность появления счастливого билета? Найти вероятность появления счастливого билета в том случае, когда покупается подряд N = 1, …, 9 билетов.

36

2.121. Из 30 подряд натуральных чисел {1, 2, …, 30} случайным образом выбраны 10.

Найти вероятности событий: а) A1 = {Все числа нечетные};

б) A2 = {Из выбранных чисел пять чисел делятся на 3};

в) A3 = {Из выбранных чисел пять четных и пять нечетных}; г) A4 = {Из выбранных чисел пять четных и пять нечетных,

причем одно из них делится на 10}.

2.122. Возможно ли, чтобы несовместные событияА иВ имели вероятности 0,5 и 0,6 соответственно? Если нет, то каким должно быть минимальное значение Р(АВ)?

2.123. Возможно ли, чтобы несовместные события А и В имели вероятности по 0,51? Если нет, то каким должно быть минимальное значение условной вероятности Р(А/В)?

2.124. Могут ли три несовместных события иметь вероятности по 0,34?

2.125. Возможно ли, чтобы событияА, В и Симели вероятности:

Р(А) = 0,85; Р(В) = 0,9; Р(С) = 0,95; Р(АВ) = 0,7; Р(ВС) = 0,7; Р(АВС) = 0,7.

2.126. Может ли вероятность произведения двух событий быть меньше 0,6, если вероятность каждого из них равна 0,8?

2.127. Могут ли быть несовместными события, имеющие вероятности, равные 0,6?

2.128. Возможно ли, чтобы для двух событий А и В выполнялись соотношения:

Р(А) = 0,5; Р(АВ) = 0,51.

2.129. Может ли вероятность произведения трех событий А, В и С быть равной 0,9, если вероятность произведения А и С равна 0,8?

2.130. Доказать, что если P(A) = 0,9, P(B) = 0,8, то P(A/B) ≥ ≥ 0,875.

2.131. Зависимы или нет события: а) противоположные; б) несовместные;

37

в) образующие полную группу; г) равновероятные?

2.132. Вероятности появления каждого из двух независимых событий А1 и А2 равны соответственно р1 и р2.

Чему равна вероятность появления только одного из событий? Как записать это на языке алгебры событий?

2.133. Доказать, что несовместные события зависимы, а независимые события обязательно совместны.

2.134. На вход радиоприемного устройства поступают двухсимвольные последовательности, состоящие из равновероятных нуля и единицы.

Какова вероятность того, что в последовательности окажется хотя бы один нуль?

2.135. Д’Артаньян должен последовательно драться на дуэли с Атосом, Портосом и Арамисом. Вероятность того, что д’Артаньян будет убит на дуэли с Атосом, равна 0,6, с Портосом – 0,4, с Арамисом – 0,7. Так как д’Артаньян не может быть убит дважды, события (смерть на дуэли с Атосом, Портосом и Арамисом) несовместны. Поэтому вероятность гибели д’Артаньяна на дуэли как вероятность объединениянесовместныхсобытийтакова:0,8+0,7+0,6=2,1>1.

Найти ошибку в рассуждениях. Определить истинную вероятность гибели д’Артаньяна на дуэли.

2.136. Производится бомбометание по трем складам боеприпасов, причем сбрасывается одна бомба. Вероятность попадания в первый склад равна 0,010, во второй – 0,080, в третий – 0,025. При попадании в один из складов взрываются все три.

Определить вероятность того, что склады будут взорваны. Попадания в склады рассматривать как несовместные события.

2.137. При наборе телефонного номера абонент забыл две последние цифры и набрал их наудачу.

Найти вероятность p того, что номер набран правильно. Как изменится вероятность, если абонент помнит, что последние цифры были нечетными и разными? Как изменится результат (в обоих случаях), если забыты три цифры?

2.138. Случайным образом выбирается k цифр от 0 до 9.

38

Найти вероятность того, что среди выбранных цифр нет цифры:

а) 0; б) 1; в) 0 и 1;

г) 0 или 1.

2.139. Двум радиостанциям разрешена работа на 10 фиксированных частотах. Радиостанции настраиваются на частоты независимо друг от друга.

Найти вероятность того, что радиостанции окажутся работающими на одинаковых частотах.

2.140. Каждой из девяти радиостанций разрешена работа на трех частотах: f1, f2 и f3. Для каждой станции выбор частоты производится случайным образом.

Какова вероятность того, что на каждой частоте работают точно три станции?

2.141. Пусть A и B – независимые события.

Полагая k = 0, 1, 2, выразить в терминах P(A) и P(B) вероятности событий, состоящих в том, что произойдет:

а) точно k событий A и B;

б) по меньшей мере k событий A и B; в) максимум k событий A и B.

2.142. Пусть A1, …, An – независимые события. Показать, что

2.143. Пусть A1, …, An – независимые события, имеющие одинаковые вероятности, равные p.

Чему равна вероятность того, что не произойдет ни одно из событий?

2.144. Независимые события A1, …, An имеют вероятности

p1, …, pn.

Доказать, что вероятность P того, что произойдет по мень­ шей мере одно из событий, удовлетворяет соотношению

1−exp −(p1 + + pn ) < P < p1 + + pn .

39

2.145. Найти вероятностьq протекания тока через схемы, приведенные на рис. 2.1, если вероятность замкнутого состояния ключа равнар,асостояниявсехключейнезависимы.Получитьчисленные результаты q = q1 и q = q2 при р= р1 = 0,500 и р = р2 = 0,100.

а)

б)

д)

Рис. 2.1

40