Общая теория связи. Вычисление вероятностей событий сборник задач и упражнений. Практикум

е)

и)

к)

л)

м)

Рис. 2.1. Окончание

41

2.146. При передаче текста 10 % символов искажается и принимается неверно.

Какова вероятность того, что при передаче пятисимвольного слова все пять символов приняты правильно?

2.147. Обнаружение цели производится независимо двумя радиолокационными станциями (РЛС). Вероятность обнаружения сигнала цели первой РЛС равна 0,7, второй – 0,8.

Найти вероятность того, что цель обнаружена хотя бы одной РЛС.

2.148. Стрелки A и B по очереди стреляют в мишень, причем первым – стрелок А, который попадает в мишень с вероятностью pA. Вероятность попадания в мишень стрелка B равна pB. Победа достается тому стрелку, кто первым попадет в мишень.

Считая результаты выстрелов независимыми, найти вероятность P(A) победы стрелка A.

2.149. Вероятность поражения мишени при каждом выстреле равна p.

Найти вероятность того, что число последовательных промахов будет оставаться меньше 3 в течение выстрелов:

а) трех; б) четырех; в) пяти.

2.150. Радиолокационная станция ведет наблюдение за целью, которая может применять или не применять помехи. Если цель не использует помех, то за один цикл обзора станция обнаруживает ее с вероятностью p0; если применяет, то обнаруживает с вероятностью p1 < p0. Вероятность того, что за время цикла применены помехи, равна p и не зависит от того, как и когда применялись помехи в остальных циклах.

Найти вероятность того, что цель будет обнаружена хотя бы один раз за n циклов обзора.

2.151. Пусть событие A таково, что его вероятность равна или нулю, или единице.

Показать, что A независимо с любым событием B.

42

2.152. Верны ли свойства условных вероятностей:

2.153. В семье два ребенка.

Какова вероятность того, что оба ребенка – мальчики, в предположении:

а) старший ребенок – мальчик; б) по меньшей мере один из детей – мальчик.

2.154. По двоичному каналу без памяти независимым образом передаются символы 0 и 1, априорные вероятности передачи которых равны p0 и p1 соответственно. Вероятность искажения символа 0 – р, символа 1 – q.

Найти:

а) полные (безусловные) вероятности правильного pпр и ошибочного pош приема канальных символов;

б) вероятность того, что посланная по каналу комбинация 10011 принята без искажений.

2.155. По каналу связи, состоящему из передатчика, ретранс­ лятора и приемника, передаются символы 0 и 1, причем из-за воздействия помех символы могут искажаться. На участке пере- датчик–ретранслятор единица переходит в ноль с вероятностью p1 и единица – в единицу с вероятностью 1 – p1, ноль переходит в единицу с вероятностью q1 и ноль – в ноль с вероятностью 1 – q1. На участке ретранслятор–приемник указанные вероятности равны соответственно p2, 1 – p2, q2, 1 – q2.

43

Определить вероятность того, что посланная передатчиком комбинация 10 будет принята в приемнике без искажений. Найти численный результат, если:

а) p1 = p2 = q1 = q2 = 0,50; б) p1 = p2 = q1 = q2 = 0,10;

в) p1 = q1 = 0,10; p2 = q2 = 0,15.

2.156. На вход приемного устройства поступает смесь полезного сигнала и шума. Вероятность превышения порогового уровня только шумом равна 0,1. Смесь сигнала и шума превышает порог с вероятностью 0,9. Пусть порог превышен.

Найти (апостериорную) вероятность того, что на входе порогового устройства была смесь сигнала и шума, если априорная вероятность наличия сигнала равна 0,3.

2.157. Урна содержит M разноцветных шаров, из которых M1 шаров синего цвета. Производится n-элементная выборка. Пусть Bj – событие, состоящее в том, что шар, извлеченный на j-м шаге, был синего цвета. Событие Ak состоит в том, что в n-элементной выборке k синих шаров.

Показать, что для выборки как с возвращением, так и без возвращения вероятность

P(Bj Ak ) = kn .

2.158. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна0,7.Помишени производитсясемьнезависимыхвыстрелов.

Найти вероятность того, что произойдет хотя бы одно попадание в мишень.

2.159. Производится стрельба по цели, вероятность попадания в которую при одном выстреле равна 0,2; стрельба прекращается при первом попадании.

Какова вероятность того, что будет произведено точно шесть выстрелов?

2.160. Боезапас автоматической пушки составляет 120 патронов, ее скорострельность – 600 выстрелов в минуту. Стрельба

44

ведется короткими очередями длительностью 1 с, вероятность хотя бы одного попадания для каждой очереди равна 0,1.

Найти вероятность того, что самолет израсходует весь бое­ запас.

2.161. По цели производится стрельба ракетами с четырех позиций; с каждой позиции выпускается по одной ракете. Вероятности попадания при стрельбе с различных позиций равны соот-

ветственно 0,30; 0,40; 0,50 и 0,60.

Найти вероятность того, что в цель попадет: а) одна ракета; б) две ракеты; в) три ракеты; г) четыре ракеты;

д) не менее трех ракет.

2.162. Три самолета независимо друг от друга производят одиночное бомбометание по цели. Первый самолет сбрасывает четыре бомбы массой 250 кг каждая, второй – две бомбы массой 500 кг каждая, третий – одну бомбу массой 1000 кг. Вероятность попадания для первого самолета равна 0,2, для второго – 0,3, для третьего – 0,4. Для разрушения цели достаточно попадания одной бомбы массой 500 кг или двух бомб массой по 250 кг.

Найти вероятность разрушения цели.

2.163. Бомбардировщик должен пройти через зенитную оборону противника, в которой огонь независимо ведут четыре зенитных орудия. Каждое орудие производит по 10 выстрелов, и вероятность попадания каждым выстрелом равна 0,02. Для того чтобы сбить бомбардировщик, достаточно одного попадания, в противном случае он выходит на цель, сбрасывает бомбы и с вероятностью 0,6 выполняет боевое задание.

Найти вероятность того, что задание будет выполнено, несмот­ ря на противодействие зенитной обороны.

2.164. Самолет состоит из трех различных по уязвимости частей. Для того чтобы он вышел из строя, достаточно или одного попадания в первую часть, или двух попаданий во вторую часть,

45

или трех попаданий в третью часть. Вероятность попасть в первую часть равна 0,15, во вторую – 0,30, в третью – 0,55.

Найти вероятность вывода самолета из строя при наличии: а) одного попадания; б) двух попаданий; в) трех попаданий.

2.165. Производится три независимых выстрела по мишени, состоящей из «яблочка» и двух концентрических колец. При одном выстреле вероятность попадания в «яблочко» равна 0,12, в первое кольцо – 0,15, во второе – 0,18.

Найти вероятность того, что в результате стрельбы будет два попадания в «яблочко» и одно – в первое кольцо.

2.166.Насоревнованииспортсмендолженпоразитьцельизтрех позиций. С позиции I он может сделать это с вероятностью 0,5, с позиции II – с вероятностью 0,7, с позиции III – с вероятностью 0,2. Спортсмен сможет занять позицию I с вероятностью 0,3, позицию II – с вероятностью 0,1, позицию III – с вероятностью 0,6.

Какова вероятность того, что спортсмен поразит цель?

2.167. Студент отправляется в университет. Он может поехать на автобусе с вероятностью 0,5, на метро с вероятностью 0,3, пойти пешком с вероятностью 0,2. Если он поедет на метро, то опоздает на лекцию с вероятностью 0,7, если на автобусе – с вероятностью 0,5, если пойдет пешком, то с вероятностью 0,4 придет вовремя.

Каковавероятностьтого,чтостудентнеопоздаетвуниверситет? 2.168. Студент сдает экзамен. На столе 20 билетов. Он знает ответы на вопросы 10 билетов, половину ответов – на вопросы 8 билетов, не знает ответы на вопросы 2 билетов. Если ему попадется один из билетов, которые он знает, то с вероятностью 0,8 сдаст экзамен. Если попадется один из билетов, которые он знает частично, то не сдаст экзамен с вероятностью 0,4. Если студент вытянет билет, который не знает, то сможет сдать экзамен с веро-

ятностью 0,1.

Какова вероятность того, что студенту не придется идти на пересдачу?

46

Рис. 2.2

2.169. На рис. 2.2 представлена схема дорог. На каждой из развилок выбор направления движения равновероятен.

Какова вероятность оказаться в пункте В, если исходным является пункт А?

2.170. Функционирование устройства основано на работе трех идентичных блоков. Вероятности выхода из строя первого, второго и третьего блоков равны соответственно 0,10; 0,20 и 0,30. При отказе любого одного блока вероятность поломки устройства 0,25, при отказе любых двух – 0,60, при отказе всех трех – 0,90.

Найти безусловную вероятность поломки устройства.

2.171. Производится трехкратный вызов корреспондента. Вероятность приема первого вызова равна 0,2, второго – 0,3, третьего – 0,4; прием вызовов считается независимым.

Какова вероятность того, что вызов в итоге будет осуществлен? 2.172. Система сбора информации получает сообщения от четырех источников. Среди 1000 зарегистрированных посылок 400 получено от источника А, 300 – от В, 200 – от С и 100 – от D. Вероятности неискаженного приема сообщений от источников

А, В, С и D соответственно равны 0,90; 0,60; 0,95 и 0,80.

С какой вероятностью Pни наугад выбранное в точке приема сообщение окажется неискаженным? Если выбранное сообщение

47

искаженное, то с какой вероятностью P(A/ни) оно было послано источником А?

2.173. Полезный радиосигнал s(t) прямоугольной формы с амп­ литудой Us и аддитивная гармоническая помеха n(t) с амплитудой Un, имеющие одинаковую частоту ω высокочастотного заполнения, по времени совпали на входе приемника.

Определить вероятность p того, что амплитуда результирующего сигнала окажется меньше произвольно заданного уровня U0 (0 ≤ U0 ≤ Us), если сдвиг фаз между s(t) и n(t) с одинаковой вероятностью равен любому значению из интервала [0; 2π).

2.174. Источник выдает независимые сообщения x1 и x2 с априорными вероятностями p(x1) = 3/4 и p(x2) = 1/4. При этом (рис. 2.3) из-за наличия помех сообщение x1 с вероятностью p(y1/x1) = 5/8 переходит в сообщение y1 («прямой», т. е. правильный, переход) и с вероятностью p( y2/x1) = 3/8 – в сообщение y2 («непрямой», т. е. оши­бочный, переход), а сообщение x2 с вероятностью p( y2/x2) = 7/8 переходит в сообщение y2 (правильный переход) и с вероятностью p(y1/x2) = 1/8 – в сообщение y1 (ошибочный переход).

Найти:

а) безусловные вероятности p(y1) и p(y2) сообщений y1 и y2; б) совместные вероятности p(xi, yj), i, j = 1, 2;

в) условные вероятности p(xi /yj), i, j = 1, 2.

48

2.175. Имеется две монеты: одна правильная (симметричная), другая несимметричная с вероятностью выпадения «орла» 1/3. Случайным образом выбирается и бросается одна из монет. Предположим, что выпал «орел».

Какова вероятность того, что монета симметрична?

2.176. Вероятности подключения телефонного абонента к каждой из трех автоматических телефонных станций (АТС) равны 1/4, 5/16 и 7/16 соответственно. При подключении к первой АТС вероятность соединения с абонентом 5/8, ко второй – 7/8, к третьей – 2/5.

Какова безусловная вероятность соединения? Пусть произошло соединение.

Какова вероятность того, что соединение произошло через вторую АТС?

2.177. По каналу связи передаются два сигнала s1 и s2. Из-за наличия помех могут возникнуть искажения: посланные сигналы подвергаются искажению с вероятностью 1/100 и принимаются правильно с вероятностью 99/100 (независимо от того, были переданы предшествующие сигналы с искажением или без искажения). Послана комбинация 10110.

Найти вероятность того, что:

а) комбинация 10110 получена без искажений; б) получена комбинация 11110; в) в комбинации 10110 имеется одно искажение.

2.178.Втрехящикахнаходятсячерныеибелыешары:впервом ящике – два белых и три черных; во втором – четыре белых и три черных; в третьем – шесть белых и два черных. Пусть извлечение шара из любого ящика равновероятно.

Найти вероятность того, что извлечение было произведено из первого ящика, если:

а) после одной попытки извлечения вынутый шар оказался белым;

б) после трех попыток извлечения с возвращением из одного ящика все три шара оказались белыми;

49

в) после трех попыток извлечения с возвращением из одного ящика все три шара оказались черными;

г) после трех попыток извлечения с возвращением, но не обязательно из одного ящика все три шара оказались белыми;

д) после трех попыток извлечения с возвращением, но не обязательно из одного ящика все три шара оказались черными.

2.179. Решить предыдущую задачу при условии, что извлечениешаровизящикапроизводитсянеравновероятноссоответствующими вероятностями p1 = 0,1; p2 = 0,7; p1 = 0,9.

2.180. В урне находятся a белых, b черных и c красных шаров. Из урны один за другим без возвращения вынимают шары и фиксируют их цвет.

Какова вероятность того, что появится: а) белый шар раньше черного шара; б) красный шар раньше черного шара; в) белый шар раньше красного шара?

2.181. Решить предыдущую задачу при условии, что шары из урны вынимают с возвращением.

2.182. Из урны, в которой находятся белые и черные шары общим числом N, извлекли без возвращения m белых и n черных шаров.

Какойсоставшароввурнепредставляетсянаиболеевероятным? 2.183. В урне находится N разноцветных шаров, среди которых k (k = 1, …, N) красных шаров. Из урны вынули один шар, и он

оказался красным.

Считая все возможные конфигурации урны равновероятными, найти вероятность того, что второй вынутый шар будет красным, если шары вынимаются:

а) без возвращения; б) с возвращением.

2.184. Решить предыдущую задачу при условии, что на первом шаге вынимается не один, а m (m = 1, …, N – 1) шаров.

2.185. Из урны, содержащей N разноцветных шаров, вынули m + k шаров, из которых m красные.

50