Общая теория связи. Вычисление вероятностей событий сборник задач и упражнений. Практикум

Считая, что априорно обе гипотезы равновероятны и единственно возможны, ответить, какое значение вероятности попадания на один выстрел более вероятно:

а) 1/2; б) 2/3.

3.13.Парадокс закона больших чисел. Если правильная монета несколько раз выпала одинаковой стороной, то с каждым бросанием вероятность выпадения другой стороной возрастает (иначе нарушается принцип примерной равновероятности выпадения сторон). Однако у правильной монеты «нет памяти» – она «не знает», сколько раз на предыдущем шаге выпали «орел» или «решка», и на каждом шаге вероятность выпадения какой-то из сторон равна 1/2.

Нет ли в этом противоречия?

3.14.Парадокс де Муавра. Согласно закону больших чисел, вероятность того, что при бросании правильной монеты число выпадений «орла» примерно равно числу выпадений «решки», стремится к единице при увеличении числа бросаний. Однако вероятность того, что число «решек» будет точно равно числу «орлов», нулевая.

Объяснить этот парадокс.

4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Геометрическое определение вероятности может быть использовано в том случае, когда вероятность события связана с мерой области (длиной, площадью, объемом и др.), благоприятствующей этому событию, и не зависит от ее расположения и формы. Если мера всей области равна S, а мера части области, благоприятствующей рассматриваемому событию A, – SA, то вероятность события

61

4.1. Телефонная линия, соединяющая два узла A и B, находящихся на расстоянии 3 км друг от друга, оборвалась в неизвестном месте.

Найти вероятность того, что обрыв произошел не далее чем в 300 м от пункта A.

4.2. Кусок проволоки длиной 20 см согнули в случайном (равновероятно выбранном) месте, затем еще в двух местах и сделали из нее прямоугольную рамку.

Какова вероятность того, что площадь полученной рамки не превосходит 21 см2?

4.3. В квадратичном трехчлене x2 + 2x + c свободный член выбирается случайным образом из интервала –2 ≤ с ≤ 2.

Какова вероятность того, что трехчлен имеет два вещественных корня:

а) различных; б) одинаковых.

4.4. Во время разговора абонента с телефонисткой продолжительностью t с поступил новый вызов.

Определить вероятность того, что к моменту вызова прошла большая часть разговора абонента с телефонисткой.

4.5. На отрезке AB, имеющем длину L, случайным образом выбраны две точки S1 и S2.

Какова вероятность того, что точка S1 ближе к точке:

а) A, чем точка S2;

б) S2, чем к точке A.

4.6. На единичном отрезке случайным образом выбирают две точки.

Какова вероятность того, что из трех получившихся отрезков можно составить:

а) треугольник; б) прямоугольный треугольник;

в) остроугольный треугольник; г) тупоугольный треугольник.

62

4.7. Стержень длиной L ломают в случайно выбранной точке. Найти вероятность того, что меньший из двух образовавшихся

кусков будет иметь длину, превосходящую L/4.

4.8. На отрезке [0; 1] случайным образом выбирают два числа. Какова вероятность того, что:

а) модуль разности чисел не меньше 1/2; б) модуль разности чисел равен 1/2; в) сумма чисел больше 1/3; г) сумма квадратов чисел меньше 3/4;

д) модуль разности квадратов чисел больше 1/4.

4.9. На отрезке [0; 1] случайным образом выбирают две точки

с координатами x1 и x2. Найти вероятность события

A = x1x2 ≥163 x12 + x22 ≤ 85 .

4.10.На отрезке [0; 1] случайным образом выбирают два

числа.

Какова вероятность того, что сумма чисел не больше единицы,

аих произведение не больше 2/9?

4.11.Случайным образом выбирают два положительных числа a и b, каждое из которых не превышает двух.

Найти вероятность того, что произведение ab не больше единицы, а отношение a/b не больше двух.

4.12.В круге случайным образом выбрана точка.

Какова вероятность того, что расстояние до центра круга больше половины радиуса?

4.13. В круг радиуса R вписана область D, являющаяся: а) правильным треугольником; б) квадратом; в) правильным шестиугольником.

В круге случайным образом выбирают точку. Найти вероятность попадания точки в область D.

63

4.14. В круг вписан квадрат.

Какова вероятность того, что из пяти точек, выбранных случайным образом внутри круга, одна окажется внутри квадрата и по одной точке – в каждом сегменте?

4.15.На отрезке AB длиной L случайным образом выбраны пять точек.

Найти вероятность того, что две точки:

а) будут находиться от точки A на расстоянии, меньшем, чем заданное значение x, а три точки – большем, чем x;

б) попадут в левую треть отрезка: одна – в среднюю треть, две –

вправую треть.

4.16.На отрезке AB длиной L случайным образом выбраны k отрезков одинаковой длины a.

Найти вероятность того, что точка S, которая находится на расстоянии b от одного из концов отрезка, не окажется внутри ни одного из отрезков.

4.17.В круге радиуса R и центром в начале координат случайно выбрана точка.

Какова вероятность того, что сумма абсолютных значений координат этой точки не превосходит радиуса круга?

4.18.Обобщение предыдущей задачи для трехмерного случая.

Вшаре радиуса R и центром в начале координат случайно выбрана точка.

Какова вероятность того, что сумма абсолютных значений координат этой точки не превосходит радиуса шара?

4.19.В круге радиуса R и центром в начале координат случайно выбрана точка M(x, y).

Определить вероятность того, что max(|x|, |y|) > R/2.

4.20.В квадрате с вершинами (0, 0), (0, 1), (1, 1), (1, 0) случайным образом выбирают точку M(x, y).

Найти вероятность того, что xm ≤ y ≤ xn , где m и n – целые чис-

ла, причем m > n.

4.21. В квадрате с вершинами (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) наудачу выбирают точку M(x, y).

64

Найти вероятность:

а) p1: корни уравнения t2 + xt + y = 0 являются вещественными числами. Каковы вероятности p2, p3, p4, p5 того, что корни одинаковы, положительны, одного знака, разных знаков;

б) p6: одновременно выполняются неравенстваx + y ≤ 1;xy ≤ 1/3; в)p7:точка,вписаннаявквадрат,одновременнопопадаетвкруг. 4.22. Независимые события должны произойти в интервале времени [0; T]. События считаются совпавшими, если разность между моментами их появления не превосходит по абсолютному

значению величины τ.

Найти вероятность совпадения событий.

4.23. Задача о встрече. Яньбин и Фыок договорились встретиться в определенном месте между 12-ю и 13-ю часами. Тот, кто придет первым, ждет 15 мин, затем уходит.

Предполагая, что моменты прихода каждого из них не зависят друг от друга, найти вероятности событий:

а) Яньбин придет раньше, чем Фыок; б) Яньбин придет раньше, чем Фыок, более чем на 15 мин; в) Яньбин и Фыок встретятся;

г) время, проведенное Яньбинем и Фыоком у места встречи, окажется не меньше 10 мин.

4.24. Обобщение задачи о встрече. Два товарища договорились о встрече в течение промежутка времени T. Тот, кто первым придет на место встречи, ждет товарища не более t мин.

Определить вероятность того, что встреча состоится, если время прихода на место встречи каждого из товарищей равновозможно в течение договоренного промежутка времени T.

4.25. Студенты Гриша и Рома должны прийти к преподавателю для получения зачета с 9 до 10 ч. Они приходят в случайное время в указанном промежутке. Для получения зачета Грише требуется 10 мин, а Роме – 20 мин.

Найти вероятность того, что ни одному из студентов не придется ждать, пока другой закончит отвечать.

65

4.26.После того как над территорией прошел ураган, выяснилось, что между 40-м и 70-м км проводной линии связи произошел обрыв.

Какова вероятность того, что разрыв произошел между 50-м

и55-м км линии связи?

4.27.На борту самолета находится радиолокационная станция с дальностью действия D. Самолет движется со скоростью v над морским районом площадью S и осуществляет в этом районе поиск подводной лодки, которая может всплыть на время T в любой точке района.

Найти вероятность обнаружения лодки, если T невелико, а лодка обнаруживается при попадании в зону действия радио­ локатора.

4.28.Посадочная система аэропорта обеспечивает заход на посадку в сложных метеоусловиях с интервалом между посадками самолетов не менее 5 мин. Два самолета должны прибыть на аэродром по расписанию: один – в 10 ч, другой – в 10 ч 10 мин.

Какова вероятность того, что второму самолету придется уходить в зону ожидания, если первый самолет выйдет на аэродром с отклонением от расписания в пределах ±10 мин, а второй – в пределах ±5 мин при условии, что значения отклонений от расписания в указанных пределах равновозможны.

4.29.Искусственный спутник Земли движется по орбите, которая заключена между 60о северной и 60о южной широтами.

Полагая падение спутника в любую точку поверхности Земли между указанными параллелями равновозможным, найти вероятность того, что спутник упадет выше 30о северной широты.

4.30.Панорамный приемник периодически с постоянной ско-

ростью сканирует частотный диапазон (f1; f2), в котором возможно появление сигнала. Полоса пропускания приемника определяется допустимой расстройкой относительно сигнала ±Δf.

Считая сигнал импульсным (изображаемым точкой на временнойоси),аегопоявлениеравновероятнымвлюбоймоментвремени

ив любой точке интервала ( f1 −∆f ; f2 + ∆f ), найти вероятность

66

обнаружения сигнала. Как изменится результат, если считать, что сигналнеимпульсный,аимеетконечнуюдлительностьτ(регистрация сигнала приемников происходит мгновенно)?

4.31.В условиях предыдущей задачи найти вероятность пеленгапередатчика,еслиизвестначастотасигнала,антеннапеленгатора вращается равномерно, а угол раствора диаграммы направленности составляет 18°.

4.32.На паркетный пол случайным образом бросается монета радиуса r. Паркет имеет форму квадратов со стороной a (a > 2r).

Какова вероятность того, что монета не пересечет ни одной из сторон квадратов паркета?

4.33.Задача Бюффона. На плоскость нанесено семейство параллельных прямых, расстояние между которыми равно 2a. На плоскости случайным образом выбирается отрезок длиной

2b (b < a).

Найти вероятность того, что отрезок пересечет какую-нибудь прямую.

4.34.Какова вероятность случайным образом попасть бесконечно малой пулей в квадратную решетку, если толщина прутьев равна a, а расстояние между их средними линиями – d?

4.35.Сферическая частица радиуса r случайным образом вертикально падает на наклонное проволочное сито с квадратными ячейками. Угол наклона сита к горизонтальной плоскости равен α, диаметр проволоки – d, расстояние между осевыми линиями проволок – c.

Какова вероятность того, что частица свободно пройдет сквозь сито?

4.36.В полосе шириной H случайным образом расположены окружности радиуса R. Считать, что окружности не пересекаются

ипосравнениюсрадиусомокружностидлинаполосыбесконечна. Найти вероятность того, что случайно проведенная прямая,

перпендикулярная границам полосы, не пересечет ни одной окружности, если на единицу площади полосы в среднем приходится m окружностей.

67

4.37.Трехмерное обобщение предыдущей задачи. Слой толщиной H содержит случайно размещенные шары радиуса r cо средней плотностью m штук на 1 м3.

Какова вероятность того, что случайным образом проведенная прямая, перпендикулярная границам слоя, не пересечет ни одного шара?

4.38.В сфере радиуса R случайным образом выбраны N точек. Какова вероятность того, что расстояние от центра сферы до

ближайшей точки будет не меньше x?

4.39.В квадрате с вершинами (0, 0), (0, 1), (1, 1), (1, 0) случайно выбирается точка M(x, y).

Определить вероятность того, что max(x, y) > 1/2.

4.40.В квадрате с вершинами (0, 0), (0, 1), (1, 1), (1, 0) случайным образом выбирают точку С(a, b). Пусть m – число вещественных корней уравнения

13x3 −a2x +b = 0.

Найти вероятности P(m = 1), P(m = 3).

4.41.Определить вероятность p1 того, что корни квадратного уравнения x2 + 2ax +b = 0 будут вещественными, если значения коэффициентов уравнения случайны и равновозможны в прямо­

угольнике{−n ≤ a ≤ n}×{−m ≤b ≤ m}. Какова вероятность p2 того, что корни этого уравнения будут положительными?

4.42.На интервале времени [0; T] в случайный момент t1 появляется сигнал длительностью . В случайный момент t2 включается приемник.

Какова вероятность того, что сигнал будет зафиксирован приемником?

4.43. В течение интервала времени T на вход приемника равновозможно поступление двух независимых сигналов. Если разность между моментами поступления сигналов будет меньше значенияΔ, то приемник окажется перегружен.

С какой вероятностью приемник не будет перегружен?

68

4.44.На окружности радиуса R случайным образом выбираются три точки A, B и C.

Найти вероятность того, что треугольник ABC окажется: а) остроугольным; б) тупоугольным; в) прямоугольным.

4.45.На окружности случайным образом выбираются две точки. Найти вероятность того, что соединяющая точки хорда меньше

радиуса окружности.

4.46.Заданы две концентрические окружности радиусов R1 и R2 (R1 < R2). На большей окружности случайным образом выбираются две точки A и B.

Найти вероятность того, что отрезок AB не пересечет малую окружность.

4.47.На единичном отрезке случайным образом выбираются

три числа x1, x2 и x3.

Найти вероятность того, что сумма чисел не превосходит: а) единицу;

б) заданного числа a (0 ≤ a ≤ 1).

4.48. На сфере произвольно выбираются две точки A и B. Через эти точки проводится окружность, центр которой совпадает с центром сферы.

Какова вероятность того, что дуга AB окружности стягивает центральный угол, меньший, чем заданное значение α (α < π).

4.49. В шаре радиусом R случайно выбирается точка. Определить вероятность того, что точка окажется внутри куба,

вписанного в шар.

4.50. В квадрате с единичной стороной случайным образом выбрана точка M.

Найти вероятность событий:

а) расстояние от точки M до любой стороны квадрата не превосходит заданное значение x;

б) расстояние от точки M до ближайшей стороны квадрата не превосходит заданное значение x;

69

в) расстояние от точки M до центра квадрата не превосходит заданное значение x;

г) расстояние от точки M до любой вершины квадрата не превосходит заданное значение x.

4.51.В прямоугольнике со сторонами a и b (a > b) случайным образом выбирают точку Q.

Найти вероятность того, что расстояние от точки Q:

а) до ближайшей стороны прямоугольника не превосходит заданного значения y;

б) любой стороны прямоугольника не превосходит заданного значения y;

в) ближайшей диагонали прямоугольника не превосходит заданного значения y;

г) любой диагонали прямоугольника не превосходит заданного значения y.

4.52.В квадрате с вершинами (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) случайным образом выбирают точку M(X, Y).

Доказать, что для любых значений 0 ≤ x, y ≤ 1 справедливо со-

отношениеP(X < x,Y < y)= P(X < x)P(Y < y)= xy .

Для произвольного значения 0 ≤ z ≤ 1 найти вероятность:

а) P(| X −Y |< z);

б) P(min(X ,Y )< z);

в) P((X +Y )/ 2< z); г) P(XY < z);

д) P(max(X , Y )< z);

е) P(X + 2Y < z).

4.53. Пусть α, β и γ – независимые случайные величины, равномерно распределенные на интервале [0; 1].

Какова вероятность того, что уравнение:

а) αx2 +βx + γ = 0; б) αx2 + 2βx + γ = 0; в) αx2 +3βx + γ = 0

имеет вещественные корни?

70