Общая теория связи. Вычисление вероятностей событий сборник задач и упражнений. Практикум

1.30. Доказать равенства:

а) A + B +C = ABC; б) ABC = A + B +C; в) A B = A + B;

г) A + B = AB;

д) A1 + A2 + + An = A1 A2 An ;

е) A1 A2 ...An = A1 + A2 + + An .

1.31.Найти случайное событие Xиз равенства X + A + X + A = B.

1.32.Верно ли равенство AB + AB + AB = AB?

1.33.Пусть A и B – события, такие что 0 < P(A) < 1; P(B/A)=P(B/A). Верно ли, что A и B независимы?

1.34.Пусть А и B – произвольные события, Ω – достоверное событие, Ø – невозможное событие.

Показать, что события А, AB, A + B, Ω и Ø образуют полную

группу.

1.35. Рассматривается событие:

а) C = (A + B)(A + B)+(A + B)(A + B);

б) C = (A + B)(A + B)+(A + B)(A + B).

Является ли событие C достоверным?

1.36.Рассматривается событие C = (A + B)(A + B)(A + B)(A + B). Является ли событие C невозможным?

1.37.Каково условие совместимости событий (A + B), (A + B),

(A + B)?

1.38. Равносильны ли события А и В, если:

а) A = B ;

б) A +C = B +C; в) AC = BC ?

1.39. Пусть А, В, С – случайные события.

Найти выражения для событий, состоящих в том, что из А, В, С: а) произошло только А; б) произошли А и В, но С не произошло;

11

в) все три события произошли; г) произошло по крайней мере одно из этих событий;

д) произошло по крайней мере два события; е) произошло одно и только одно событие; ж) произошло два и только два события; з) ни одно событие не произошло; и) произошло не больше двух событий.

1.40. Совместны ли события А и A + B? Образуют ли события

А, AB и A + B полную группу?

1.41. Какие из утверждений верны:

а) ABC AB BC AC;

б) ABC A B;

в) AB AC BC A B C;

г) (A B)∩C A (B C).

1.42. На плоскости, на которой нанесены два круга K1 иK2, случайным образом выбирается точка. События A и B состоят в том,

A ∩ B?

1.43. Мишень состоит из 10 кругов, ограниченных концент­ рическими окружностями, имеющими радиусы rk, k = 1, …, 10, причем r1 < r2 < … < r10. Событие Ak означает попадание в круг радиуса rk.

Что означают события:

10

а) B = Ak ;

k =1

10

б) C = Ak ;

k =1

в) D = A1 ∩ A2 .

12

1.44.На отрезке [a; b] случайным образом выбираются две

точки.

Построить подходящее пространство элементарных исходов для формального описания события:

а) A = {вторая точка ближе к правому концу, чем к левому}; б)A ={расстояниемеждудвумяточкамименьшеполовиныдли-

ны отрезка}.

1.45.Привести пример четырех зависимых случайных событий, таких что любые три из них взаимно независимы.

1.46.Пусть множество Ω состоит из N элементов.

Показать, что общее число d(N) различных разбиений множества Ω определяется соотношением

d(N) = 1 ∑∞ k N . e k =0 k!

1.47. Показать, что для произвольного набора событий A1, …, An выполняется соотношение (аддитивная граница для вероятно-

стей)P(A1 + + An )≤ P(A1)+ + P(An ).

1.48. Пусть A и B – произвольные события.

Показать: AB + BA есть событие, состоящее в том, что произойдет одно из событий A или B и при этом выполняется соотно-

шение P(AB + BA) = P(A)+ P(B)−2P(AB).

1.49. Совместное наступление событий A1 и A2 влечет за собой наступление события B.

Доказать, что:

а) P(B)≥ P(A1)+ P(A2 )−1, причем знак неравенства сохраняет-

ся, когда B = A1A2;

б) P(A2 A1)≥1− P(A2 ) . P(A1)

1.50. Пусть события A1, A2, A3 и B таковы, что A1A2A3 B. Доказать, что P(B)≥ P(A1)+ P(A2)+ P(A3)−2.

13

2. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Если результат эксперимента можно представить в виде полной группы событий, которые попарно несовместны и равновозможны (т. е. в силу определенных причин не имеют взаимных преимуществ), то вероятность события равна отношению числа M благоприятствующих этому событию исходов к числу N всех возможных исходов:

Такой подход к заданию вероятностей называется классическим. Универсального способа нахождения значений M и N не существует. Во многих случаях целесообразно использовать подход, основанный на главном принципе комбинаторики и вычислении

комбинаторных конфигураций.

Основной принцип комбинаторики. Пусть требуется со-

вершить действие, состоящее из q этапов. При этом первый этап можно сделать k1 способами, второй – k2 способами, q-й этап – kq способами, а следовательно, все q-этапное действие – k1k2…kq способами.

Схемы выбора без возвращения. Перестановкой n-элемен­ т­­

ного­ множества называется любой упорядоченный набор его элементов. Число перестановок

Размещением из n элементов по m называется любое упорядоченное m-элементное подмножество исходного n-элементного множества. Размещения могут различаться как элементами, так и порядком их следования. Число размещений

14

Сочетаниемиз n элементов по m называется любое m-элемент­ ­ ное подмножество исходного n-элементного множества. Число сочетаний

Подмножества, отличающиеся только порядком следования элементов, но не их составом, считаются одинаковыми; этим сочетания отличаются от размещений.

Схемы выбора с возвращением. В схемах с возвращением m-элементные подмножества формируются следующим образом. Произвольно выбирается первый элемент, фиксируется и возвращается обратно; затем выбирается второй элемент, фиксируется и возвращается обратно, и так далее процесс продолжается m раз. Полученный набор называется размещением с повторением из n элементов по m. Число размещений

Размещения с повторениями различаются либо составом элементов, либо порядком размещения элементов.

Сочетание с повторением из n элементов по m отличается от размещения с повторением тем, что подмножества элементов могут быть разными лишь по составу; порядок расположения элементов не важен. Число сочетаний с повторением

Пусть в исходном n-элементном множестве присутствуют n1 элементов первого типа, n2 элементов второго типа, nk элементов k-го типа, причем n1 + n2 + + nk = n. Тогда перестановка с повторени-

ем – это любой упорядоченный набор его элементов, допускающий повторный (но не более соответствующего значения nk) выбор элементов из исходного множества. Число перестановок с повторением

15

Две перестановки с повторением не различаются, если меняются местами два элемента одного типа.

Определение вероятности сложного события A через вероятность более простых событий A1, …, An базируется на использовании основных формул теории вероятностей.

Формула сложения вероятностей

Сумма вероятностей несовместных событий, составляющих полную группу событий, равна единице:

k =1

Условной вероятностью P(A/B) события A при совершении события B называется величина

Формула умножения вероятностей

гдеP(A/B)–условнаявероятностьсобытияA,вычисленнаявпред- положении, что произошло событие B; P(B/A) – условная вероятность события B, вычисленная в предположении, что произошло событие A. Если события A и B независимы, то

Возможны ситуации, при которых событие A может появиться как следствие одного из событий Bi, i = 1, …, m, составляющих полную группу событий. В таких случаях безусловная вероятность P(A) при известных условных вероятностях P(A/Bi)

16

и вероятностях условий P(Bi) определяется по формуле полной вероятности

m

P(A) = ∑P(ABi )P(Bi ). (2.12)

i=1

Зачастую интерес представляет «обратная» задача: нахождение при тех же данных, т. е. при известных вероятностях P(A/Bi) и P(Bi), апостериорных условных вероятностей P(Bi /A) в предположении, что событие A уже произошло. Решение этой задачи ос-

новано на формуле Байеса

Соотношение (2.1) определяет классический подход к вероятностям, при котором все исходы считаются равновозможными. В общем случае вероятность произвольного события A вычисляется как

где p(ωk) – вероятности (в общем случае неодинаковые) отдельных элементарных исходов, составляющих событие A, которые удовлетворяют следующим условиям:

–0≤ p(ωk )≤1;

–p(ω1)+ p(ω2 )+ + p(ωN ) =1.

2.1. Пусть А и В – произвольные события. Доказать, что:

а) P(AB) =1− P(A)− P(B)+ P(AB); б) P(A)+ P(AB) = P(B)+ P(BA).

17

2.2. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр от 0 до 9, если:

а) все цифры в числе различные; б) допускается повторяемость цифр?

2.3. Сколько делителей имеет число 75 · 119?

2.4. Перечислить все сочетания из набора {a, b, c, d, e} по три элемента.

2.5. Пусть имеется N предметов, из которых M1 первого сорта и M2 второго сорта.

Сколько существует способов извлечь n предметов из N, так что среди них будет m1 первого сорта и m2 второго сорта?

2.6.Убедиться, что Cnk =Cnn−k. Пояснить комбинаторный смысл этого равенства.

2.7.Доказать с помощью комбинаторных рассуждений, что

Cnk =Cnk−1 +Cnk−−11 , 1 ≤ k ≤ n −1.

2.8.Сколько подмножеств из k элементов у множества, содержащего n элементов?

2.9.Перечислить все размещения множества из четырех элементов {a, b, c, d} по два элемента.

2.10.Сколькими способами можно рассадить пять человек:

а) на скамье; б) вокруг круглого стола?

2.11.Сколько комбинаций можно получить, переставляя буквы слова КОМБИНАТОРИКА?

2.12.Перечислить все сочетания с повторениями из двух элементов {a, b} по три элемента.

2.13.Сколько целых неотрицательных решений имеет уравне-

ние x1 + x2 + + xm = n?

2.14.По N различным ячейкам распределяют:

а) n различных частиц (физическая интерпретация – статистика Максвелла–Больцмана);

б) n одинаковых частиц (физическая интерпретация – статистика Бозе–Эйнштейна);

18

в) n одинаковых частиц, при этом в каждой ячейке не должно находиться более одной частицы (физическая интерпретация – статистика Ферми–Дирака).

Сколькими способами можно распределить частицы по ячейкам?

2.15.Какова вероятность того, что при бросании игрального кубика четыре раза подряд выпадет «четверка»?

2.16.Какова вероятность того, что при подбрасывании правильной монетки «орел» выпадет шесть раз подряд?

2.17.Какова вероятность того, что при подбрасывании правильной монетки «орел» выпадет только на седьмой раз?

2.18.Правильная монета бросается n раз.

Какова вероятность того, что «орел» выпадет четное число раз?

2.19.Играв«орлянку».Дваигрокабросаютпочетыреразаправильную монету; выигрывает тот, у кого будет больше «орлов».

Найти вероятность того, что выиграет первый игрок.

2.20.Сколько раз надо бросить игральный кубик, чтобы выпадение двух очков имело вероятность:

а) больше, чем 0,5; б) больше, чем 0,7; в) больше, чем 0,9?

2.21.Какова вероятность того, что при двукратном бросании игрального кубика выпадет пара одинаковых чисел?

2.22.Игральный кубик бросают шесть раз.

Какова вероятность того, что выпадут все шесть граней? 2.23. Бросают четыре игральных кубика.

Найти вероятность того, что на всех кубиках выпадет одинаковое число очков.

2.24. Пространство элементарных исходов представляет собой набор натуральных чисел {1, 2, …, 10}, каждому элементарному исходу приписана вероятность 0,1. Определим события:

A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {4, 5, 6, 7, 8}; C = {3, 5, 7, 9, 10}.

Вычислить вероятность:

а) P(A + B);

19

б) P(AC );

в) P(A + BC );

г) P(AB +C );

д) P(AB + AC ).

2.25. В условиях предыдущей задачи проверить справедливость соотношений:

а) P(ABC )= P(A);

б) P(B AC )= P(B);

в) P(C AB)= P(C).

2.26.Три события A, B и C, определенные на одном и том же вероятностном пространстве, имеют вероятности P(A) = P(B) =

=P(C) = 1/4. Пусть событие D состоит в том, что произошло хотя бы одно из этих трех событий.

Найти вероятность P(D), если события A, B и C: а) несовместны; б) независимы; в) совпадают.

2.27.В условиях предыдущей задачи найти максимально возможное значение P(D), если:

а) ничего не известно относительно независимости или несовместности событий A, B и C;

б) известно, что события A, B и C попарно независимы, но ничего не известно относительно вероятности наступления всех трех событий вместе.

2.28.Простой вариант игры в «кости». Два игрока по одному разу бросают игральный кубик – «кость»; выигрывает тот, у кого выпадет большее число очков.

Какова вероятность выигрыша первого игрока?

2.29.Задача де Мере. Сколько раз нужно бросить пару игральных кубиков, чтобы с вероятностью большей 0,5 ожидать хотя бы один раз выпадение суммы очков, равной 12?

20