Общая теория связи. Вычисление вероятностей событий сборник задач и упражнений. Практикум
.pdfКакова вероятность того, что изначально в урне было M красных шаров?
2.186. Априорные вероятности k гипотез об условиях, приводящих к наступлению события B, равны P1, …, Pk. Каждой гипотезе отвечают соответствующие вероятности наступления этого события q1,…,qk.Известно,чтоприn испытанияхсобытиеB произошлоm раз.
Каковы апостериорные вероятности каждой из гипотез? Сравнить вероятность P(n) наступления события B в n-м испытании, если известно, что оно наступило во всех n – 1 предыдущих испытаниях, и вероятность P(n + 1) наступления события B в (n +1)-м испытании, если известно, что оно наступило во всех n предыдущих испытаниях.
2.187. Из урны, в которой n шаров с номерами 1, 2, …, n, производится k-кратное вынимание по одному шару с фиксацией номера и возвращением шара обратно.
Какова вероятность того, что при двукратном осуществлении такого действия получится одинаковая сумма номеров вынутых шаров?
2.188. В урне изначально находились m красных и n синих шаров, но один шар неизвестного цвета утерян. При проведении эксперимента случайно выбран:
а) один шар, и он оказался красным; б) k1 красных и k2 синих шара.
Какова вероятность того, что изначально был утерян красный шар?
2.189. Три стрелка A, B и C ведут стрельбу по мишени. Стрелок A поражает мишень с вероятностью p1 = 0,6, стрелок B – c вероятностью p2 = 0,5, стрелок C – c вероятностью p3 = 0,4. Стрелки дали залп по мишени, две пули попали в цель.
Что вероятнее: попал стрелок C в мишень или нет?
2.190. Ведется стрельба артиллерийской батареи, состоящей из четырех орудий. Вероятность попадания первым орудием равна 0,3, для остальных трех орудий – 0,2 (для поражения цели достаточно одного попадания).
51
Какова вероятность того, что стреляло первое орудие в ситуации, когда:
а) два орудия произвели одновременно по одному выстрелу, в результате цель была поражена;
б) одно из орудий произвело два выстрела, в результате цель была поражена.
2.191.Согласнодемографическимданным,вероятностьрождения мальчика равна 0,51; вероятность того, что два близнеца будут одинакового пола, вдвое больше вероятности того, что они будут разнополыми. Установлено, что в паре близнецов один мальчик.
Какова вероятность того, что другой из близнецов также мальчик? 2.192. Игроки Александр и Хосе играют ряд партий, где за победу в каждой партии присуждают одно очко. Вероятность выигрыша одной партии Александром равна p1, вероятность выигрыша Хосе – p2 (p1 +p2 = 1). Победителем в матче будет тот, кто
опередит соперника на два очка.
Какова вероятность победы в матче каждым из игроков? Что выгоднее для Александра: играть одну партию или целый матч?
2.193. Решить предыдущую задачу при условии: победителем в матче будет тот, кто выиграет подряд две партии.
2.194. По каналу связи с помехами передается одна из двух команд управления в виде пятиразрядных двоичных кодовых комбинаций 00000 и 11111, априорные вероятности которых равны соответственно 0,70 и 0,30. Наличие помех приводит к тому, что вероятность правильного приема каждого символа уменьшается до значения 0,60. Пусть на выходе приемного устройства зафиксирована комбинация 10110.
Предполагая, что символы искажаются независимо, определить, какая команда была передана и с какой вероятностью.
2.195. По каналу связи передаются двоичные сигналы. Из-за наличия помех посланный сигнал принимается правильно с вероятностью 0,99 и ошибочно с вероятностью 0,01 (независимо от ранее принятых сигналов). Пусть известно, что была послана комбинация 10110.
52
Найти вероятности того, что:
а) посланная комбинация принята без искажений; б) будет принята комбинация 11110; в) в принятой комбинации имеется одна ошибка.
2.196. Имеются два ящика с разноцветными шарами: в первом находятся 2 белых, 3 красных и 20 черных шаров, во втором – 8 белых, 15 красных и 2 черных шара. После извлечения по одному шару из обоих ящиков оказались вынутыми сначала черный, а затем белый шар.
Найти вероятность того, что извлечение производилось сначала из первого, а затем из второго ящика.
2.197. В урне находятся три шара, которые могут быть белыми (Б) или черными (Ч), причем все варианты состояния шаров в урне равновероятны. Произведено четыре опыта, состоящих в вынимании по одному шару и в возвращении его обратно. Зафиксированы результаты:
а) Ч, Б, Б, Б; б) Ч, Б, Ч, Б; в) Б, Б, Б, Б; г) Ч, Ч, Ч, Ч.
Каковы апостериорные вероятности перечисленных вариантов состояния шаров?
2.198. Два орудия поочередно ведут стрельбу по танку со скоростью один выстрел за 10 с. Вероятность попадания в танк первым орудием равна 0,40, вторым орудием – 0,50, причем по прошествии каждых 10 с эти вероятности возрастают на 0,05 (пока не станут равными единице). Произведено три выстрела, и обнаружено, что танк подбит, но неизвестно, при каком выстреле.
Какова вероятность того, что: а) танк подбит вторым орудием;
б) первым стреляло первое орудие.
2.199. В двух урнах находятся черные и белые шары: в первой урне – три белых и четыре черных шара; во второй – пять белых и три черных шара. Из первой урны случайным образом выни-
53
мают два шара, из второй – один шар и эти три шара помещают в пустую третью урну, затем из третьей урны вынимают один шар.
Какова вероятность того, что шар из третьей урны белый? 2.200. Из трех точек A, B и C на плоскости отмечают направле-
ния на четвертую точку D. При этом возникают случайные угловые ошибки, вследствие чего на плоскости образуется треугольник. Угловая ошибка считается положительной, если отклонение отмеченного направления от истинного произошло против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае.
Считая равновероятными положительные и отрицательные ошибки для каждой точки и независимыми засечки направлений на точку D из точек A, B, C, найти вероятность того, что точка D окажется внутри треугольника ABC, если точка D:
а) не лежит ни на одной из сторон треугольника; б) лежит на одной из сторон треугольника.
2.201. Имеются дваигральных кубика с гранями, помеченными числами 1, …, 6.
Можно ли граням каждого из кубиков приписать такие вероятности выпадения (возможно, различные для каждого кубика), что при их одновременном бросании сумма выпавших чисел равномерно распределена на множестве {2, …, 12}?
2.202.Нечестныйигрокиспользуетнеправильный(шулерский) кубик: число 1 выпадает с вероятностью 2/3, остальные цифры – с вероятностью 1/15. Перед игрой неправильный кубик смешали с набором правильных кубиков, затем из смешанного набора кубики выбирают случайным образом.
Какова вероятность того, что в ситуации, когда:
а) выбран один кубик, брошен и в результате выпала единица, был выбран неправильный кубик;
б) выбраны два кубика, брошены и в результате оба раза выпала единица, среди двух кубиков оказался один неправильный?
2.203. Задача Чебышева. Предполагается: вероятность того, что случайным образом выбранное натуральное число окажется кратным n, равна 1/n.
54
Найти вероятность того, что:
а) одно выбранное натуральное число окажется простым; б)двавыбранныхнатуральныхчислаокажутсявзаимнопростыми.
2.204. Производитсяn-элементное испытание, результатом которого являются двоичные числовые исходы ноль или единица, т. е. пространство элементарных исходов имеет следующую структуру: Ω ={ω= (a1, , an ), ai = 0,1}. Далее выбираются два неотрица-
тельных числа p и q, в сумме равных единице, и каждому элемен-
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
∑ai |
q |
n−∑ai |
. |
|
тарному исходу приписывается вероятность p(ω) = pi=1 |
i=1 |
|
|||||
Показать, что ∑ p(ω) =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
ω Ω |
|
|
|
|
|
|
Пусть Ak |
– событие, состоящее в том, что при n-элементном ис- |
||||||
пытании k |
раз выпала единица: |
|
|
n |
|
|
, |
Ak = ω= |
(a1, , an ),∑ai = k |
||||||
k = 0, 1, …, n. |
|
i=1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
Найти вероятность события Ak.
2.205.Обобщениепредыдущейзадачи.Производитсяn-элемент ное испытание, результатом которого являются числовые, в общем случае недвоичные исходы с1, …, сm, т. е. пространство элементарных исходов имеет структуруΩ ={ω= (a1, , an ),ai = c1, ,cm}, где с1, …, сm – заданные числа. Пусть di(ω) – число элементов в последовательности ω= (a1, , an ) , равных сi, i = 1, …, m. Вероят-
ность элементарного исхода |
определяется выражением |
m |
|
p(ω) = p1d1 (ω)...pmdm (ω), где ∑pi =1, |
pi ≥ 0 . |
i=1 |
|
Показать, что ∑ p(ω) =1. |
|
ω Ω |
|
Рассматривается событие B, состоящее в том, что при n-элементном испытании k1 раз выпало число c1, …, km раз – чис ло cm:B ={ω:d1(ω) = k1, , dm (ω) = km}, k = 0, 1, …, n.
Найти вероятность события B.
55
2.206. Проводится эксперимент с n равновозможными исходами. Событию A благоприятствует m из этих исходов. Вместо классического определения вероятности события P(A) = m/n предлагается определение:
а) P(A) = m2 ; n2
б) P(A) = 
mn .
Записать соотношения, соответствующие свойствам сложения и умножения вероятностей для указанных вариантов.
2.207. Проводится эксперимент с n равновозможными исходами. Событию A благоприятствует m из этих исходов. При каком определении вероятности события:
а) содержанию «теоремы сложения» соответствует формула умножения вероятностей;
б) содержанию «теоремы умножения» соответствует формула сложения вероятностей?
2.208. По линии связи передаются данные цифрами от 0 до 9. Появление и искажение отдельных цифр под действием шумов – независимые события, но вследствие способа передачи и свойств канала их вероятности неодинаковы и заданы таблицей.
Вероятность |
|
|
|
|
Цифры |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Появления |
0,10 |
0,08 |
0,12 |
0,06 |
0,14 |
0,10 |
0,09 |
0,10 |
0,11 |
0,10 |
Искажения |
0,01 |
0,03 |
0,03 |
0,02 |
0,02 |
0,06 |
0,03 |
0,04 |
0,03 |
0,01 |
Найти вероятность неискаженного приема сообщения, состоящего из:
а) трех цифр; б) пяти цифр; в) десяти цифр.
56
3. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ
Вероятность pn(k) того, что при n независимых испытаниях (схема Бернулли) ожидаемое событие случится точно k раз, определяется выражением (биномиальным распределением)
p (k) =Ck pk (1− p)n−k , |
(3.1) |
|
n |
n |
|
где p – вероятность однократного события.
Вероятность q(m, n) появления события не менее m раз в последовательности из n испытаний вычисляется по формуле
n |
m−1 |
|
pn (k ≥ m) = ∑ pn (k) =1 |
− ∑ pn (k) . |
(3.2) |
k =m |
k =0 |
|
В частности, вероятность появления хотя бы одного события при n испытаниях
p (k ≥1) =1−(1− p)n . |
(3.2а) |
n |
|
Вероятность того, что при n независимых испытаниях ожидаемое событие появится от k1 до k2 раз,
k2 |
|
pn (k1 ≤ k ≤ k2 ) = ∑ Cnk pk (1− p)n−k . |
(3.3) |
k =k1
Число n испытаний, которые нужно произвести, чтобы с вероятностью не меньшей p0 можно было утверждать: данное событие произойдетпоменьшеймереодинраз,определяетсясоотношением (логарифм берется по любому основанию, например, натуральный)
n ≥ log(1− p0 ) . |
(3.4) |
log(1− p) |
|
Наивероятнейшим числом k0 появления ожидаемого события при n испытаниях называется такое значение k = k0, при котором вероятность pn(k) принимает максимальное значение. Это значение определяется по формуле
np −(1− p)≤ k0 < np +(1− p). |
(3.5) |
57
Если число np – (1 – p) дробное, то неравенство (3.5) определяет одно значение; в противном случае получают два значения наивероятнейшего числа.
Соотношения (3.1)–(3.3) неудобно использовать при больших значениях n. В этом случае для подсчета вероятностей pn(k) можно применять приближенные асимптотические формулы.
Если n велико, p мало, а np = λ конечно, то справедливо асимп тотическое пуассоновское приближение
p (k) ≈ |
λk |
exp(−λ) . |
(3.6) |
n |
k! |
|
|
|
|
|
Если значение np(1 – p) не слишком мало, то можно применить
локальную асимптотику Муавра–Лапласа
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
||
pn (k) ≈ |
|
|
exp |
− |
xk |
|
, |
(3.7) |
||
|
|
|
|
|||||||
2πnp(1− p) |
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
где
x = k −np . |
|
k |
np(1− p) |
|
|
В том же приближении, когда np(1 – p) не слишком мала, при вычислениивероятностей(3.2)и(3.3)удобноиспользоватьинтег ральную асимптотику Муавра–Лапласа
|
|
|
|
|
1 |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
pn (k1 ≤ k ≤ k2 ) ≈ |
|
|
|
∫exp |
− |
|
|
|
dy = F0 (b)− F0 (a), (3.8) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2π a |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где |
|
k1 −np |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k2 −np |
|
|
||||||||
a = |
|
|
|
|
|
; b = |
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
np(1− p) |
|
|
|
np(1− p) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
F0(x) – функция Лапласа, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
||||
F0 |
(x) |
|
|
∫ |
exp |
− |
|
dy . |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2π −∞ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||
58
Одним из наиболее важных следствий асимптотики Муавра– Лапласа является закон больших чисел для схемы Бернулли:
|
|
k |
− p |
|
|
→1 . |
(3.9) |
|
|
||||||
P |
|
n |
|
< ε |
|||
|
|
|
|
n→∞ |
|
||
|
|
|
|||||
3.1.Производится шесть независимых выстрелов по цели. Вероятность p попадания при каждом выстреле равна 0,750.
Найти вероятность:
а) точно пяти попаданий; б) не менее пяти попаданий; в) более трех промахов.
3.2.Пункт A нужно связать с 10 абонентами пункта B. В среднем каждый абонент занимает линию 12 мин в час. Вызовы любых двух абонентов независимы.
Какое минимальное количество N каналов необходимо для того, чтобы с вероятностью 0,99 в любой момент обслужить всех абонентов?
3.3.Партия из 100 радиодеталей подвергается выборочному контролю. Условием непригодности всей партии является наличие среди пяти проверенных радиодеталей хотя бы одной бра кованной.
Определить вероятность того, что партия будет признана непригодной, если содержит 5 % неисправных радиодеталей.
3.4.База снабжает 10 пунктов продаж, от каждого из которых может поступить заявка на очередной день с вероятностью 0,4 независимо от заявок других магазинов.
Каково наивероятнейшее число заявок в день и вероятность получения этого числа заявок?
3.5.Вероятность появления элементарного события A в каждом испытании равна 0,200. Производится 400 независимых испытаний.
Найти вероятность того, что событие A наступит: а) точно 80 раз; б) от 60 до 96 раз включительно.
59
3.6.В поселке 2500 жителей, каждый из которых в среднем шесть раз в месяц ездит в город за продовольствием.
Какой вместимости должен быть поезд, который ходит раз в сут ки, чтобы он переполнялся не чаще чем один раз в 100 дней?
3.7.Вероятность выпуска бракованной детали равна 0,001. Детали упаковываются в ящики по 1000 штук.
Оценить вероятность того, что в случайно выбранном ящике: а) не будет бракованных деталей; б) число бракованных деталей превысит 5.
Какое минимальное число деталей следует добавлять в каждый ящик, чтобы с вероятностью не меньшей 0,99 случайно выбранный ящик содержал не менее 1000 исправных?
3.8.При испытаниях 200 случайно отобранных резисторов в течение времени t оказалось, что относительная частота исправных резисторов равна 0,95.
Определить число исправных резисторов.
3.9.Правильная монета бросается 10 000 раз.
Оценить вероятность того, что «орел» выпадет более 4900 раз. Пусть «орел» выпал 5400 раз.
Согласуется ли это с предположением о правильности монеты?
3.10.При стрельбе по цели производится шесть выстрелов; вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,3.
Найти:
а) наивероятнейшее число попаданий в цель; б) число выстрелов, необходимых для того, чтобы с вероятно-
стью 0,90 поразить цель, если для этого достаточно одного попадания.
3.11.Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,4. Вероятность поражения цели при одном попадании 0,1, при двух попаданиях – 0,3, при трех попаданиях – 0,6. Произведено три выстрела, в результате которых цель была поражена.
Каково наивероятнейшее число попаданий?
3.12.По мишени произведено 200 независимых выстрелов,
врезультате выявлено 116 попаданий.
60