Общая теория связи. Вычисление вероятностей событий сборник задач и упражнений. Практикум

2.30.Игра состоит в бросании трех игральных «костей»; для выигрыша необходимо получить сумму очков, превосходящую 10.

Найти вероятность: а) получить 11 очков; б) получить 12 очков; в) выигрыша.

2.31.Компанию из n человек рассаживают за круглый стол. Какова вероятность того, что два определенных человека ока-

жутся рядом?

2.32.Старинный парадокс бросания игрального кубика. При бросании двух игральных кубиков числа 9 и 10 можно получить двумя способами: 9 = 3 + 6 = 4 + 5; 10 = 4 + 6 = 5 + 5. При броса-

нии трех кубиков числа 9 и 10 можно получить шестью способами: 9 = 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4 = 2 + 2 + 5 = 2 + 3 + 4 = 3 + 3 + 3; 10 = 1 + 3 + 6 = 1 + 4 + 5 = 2 + 2 + 6 = 2 + 3 + 5 = 2 + 4 + 4 = 3 + 3 + 4.

Однако из опыта известен парадокс: 9 очков появляются чаще, ког- дабросаютдвакубика,а10очков–чаще,когдабросаюттрикубика.

Объяснить этот парадокс.

2.33.Два игрока вынимают по очереди по одной «кости» из полного набора домино, содержащего 28 «костей». Каждый имеет право вынуть не более трех «костей», и выигравшим считается тот, кто первым вынет двойную «кость» – «дупель».

Найти вероятность выигрыша каждого игрока.

2.34.Парадокс Льюиса Кэррола. В камере находятся трое заключенных:A, Б и В; двое из них должны быть казнены, но одного освободят. Один из них, например А, рассуждает следующим образом: «Вероятность, что меня не казнят, равна одной трети. Если я попрошу охранника назвать имя одного из двух других, которого казнят, то останется только две возможности: либо другой, кого казнят, – это я, либо нет, следовательно, шансы, что я выживу, увеличиваются до половины». Однако, перед тем как А спросит охранника, А уже знает, что одного из сокамерников казнят, т. е. охранник не сообщит никакой новой информации.

Почему в рассуждениях А изменилась вероятность казни?

21

2.35.Игра в «кости» с тремя кубиками. Участники азартной игры по очереди бросают три игральных кубика, выигрывает тот,

укого выпадет большая сумма очков. Опыт показывает, что сумма очков, равная 11, выпадает чаще, чем 12, хотя на первый взгляд кажется: вероятность выпадения 11 и 12 очков одинакова, поскольку число вариантов выпадения в обоих случаях равно 6.

Найти ошибку в рассуждениях.

2.36.Идея пропорциональности критических значений. При бросании игрального кубика четыре раза подряд вероятность того, что по меньшей мере один раз выпадет 1 очко, такова: 1 – (5/6)4 = 0,518. Это больше 1/2. Однако если бросать кубик три раза, то вероятность составляет 1 – (5/6)3 = 0,421. Таким образом, 4 – критическое число бросаний, при котором вероятность искомого события становится больше 1/2. Выдвигается идея «пропорцио­ нальности критических значений»: уменьшение вероятности события в n раз приводит к увеличению в n раз критического числа.

На основании идеи «пропорциональности критических значений» проверить следующее утверждение: производится эксперимент, состоящий в m-кратном бросании двух кубиков.

Найти критическое число, при котором вероятность выпадения по крайней мере один раз двух единиц больше 1/2.

Поскольку вероятность выпадения двух единиц в шесть раз меньше вероятности выпадения одной единицы, то критическое значение таково: 4 · 6 = 24.

2.37.Раздел приза при преждевременном окончании игры. Два игрока Р и Г играют в игру, состоящую из нескольких партий, причем шансы победить в каждой партии у игроков одинаковы (ничьей не бывает). Предположим, что вместо запланированного числа партий игроки сыграли меньшее число, к этому моменту один из игроков ведет в счете с перевесом и игра остановлена.

Вкакой пропорции следует разделить приз? Рассмотреть варианты, когда игра идет:

а) до двух побед, но остановлена после первого выигрыша игрока Р;

22

б) четырех побед, но остановлена после счета 3 : 1 в пользу игрока Г;

в) шести побед, но остановлена после счета 5 : 3 в пользу иг­ рока Г;

г)Q побед,ноостановленапослесчета(Q – n) : (Q – m)впользу игрока Р.

2.38.Парадокс раздачи подарков. N > 2 друзей решили сделать друг другу подарки. Каждый купил свой подарок, затем подарки были перемешаны и розданы случайным образом. Пусть A – событие, состоящее в том, что, как минимум, одному человеку достался свой собственный подарок.

Показать,чтовероятностьсобытиянамногобольшевероятности противоположного события (т. е. никто не получил своего подарка).

2.39.Санкт-Петербургский парадокс. Эксперимент состоит

вбросании игроком правильной монеты до тех пор, пока не выпадет «решка». Если это выпадение происходит на n-м шаге, то игрок получает приз 2n рублей из банка.

Сколько должен заплатить игрок за свое участие в игре, чтобы обеспечить ее «безобидность», т. е. среднее значение выигрыша было равно нулю?

2.40.Парадокс теории игр. Владимир и Тимур играют в следующую игру. Оба одновременно показывают один или два пальца; если число показанных пальцев четное, то Тимур платит Владимиру; если число показанных пальцев нечетное, то Владимир платит Тимуру. В обоих вариантах сумма соответствует общему числу показанных пальцев.

Является ли игра справедливой для обоих участников?

2.41.Прием радиосигналов производится независимым образом на два разнесенных приемника. Вероятность правильного

приема в первом приемнике равна p1, во втором – p2. Найти вероятность правильного приема радиосигналов.

2.42.В урне a белых и b черных шаров.

Какова вероятность того, что случайным образом шар окажется белым?

23

Изурнывынимаетсяшар.Оноказалсябелым,егооткладывают в сторону, затем из урны выбирается еще один шар.

Какова вероятность того, что шар белый?

2.43.Отдел контроля качества проверяет продукцию из партии, состоящей из N изделий первого сорта и M изделий второго сорта.

Впроцессе проверки первых n < M изделий, выбранных случайным образом, выяснилось, что все они второго сорта.

Найти вероятность того, что при проверке: а) двух; б) трех; в) четырех

следующих изделий по крайней мере одно из них окажется второго сорта.

2.44.Из набора, содержащего M изделий, для проверки выбирают k изделий, и если среди k изделий окажется менее m бракованных, то весь набор считается прошедшим проверку.

Найти вероятность того, что набор пройдет проверку, если число бракованных изделий во всем наборе равно N.

2.45.Вероятность ухода частоты принимаемого радиосигнала за пределы полосы пропускания приемника из-за нестабильности частоты гетеродина в передатчике равна 0,10, а из-за нестабильности частоты гетеродина в приемнике – 0,20.

Найти вероятность того, что частота принимаемого радиосигнала не выйдет за пределы полосы пропускания приемника.

2.46.Случайным образом выбирается двузначное число. Какова вероятность того, что:

а) цифры числа одинаковы; б) число простое;

в) число простое и сумма его цифр равна 5?

2.47.Случайным образом называют месяц и число невисокосного года.

Какова вероятность того, что это будет воскресенье, если всего в году 53 воскресенья, а соответствие чисел дням недели неизвестно?

24

2.48.Игральный кубик бросается дважды. Результатом эксперимента является двузначное число ab, где a и b – числа, выпавшие соответственно при первом и втором бросании.

Найти вероятность того, что у полученного двузначного числа: а) цифры различные; б) цифры одинаковые; в) цифры нечетные;

г) одна цифра четная, другая нечетная;

д) a > b; е) a = 2b; ж) a2 = b; з) a + b = 7;

и) 6 ≤ a + b ≤ 12; к) a – b = 1.

2.49.Парадокс Бернштейна для монет. Бросают две правиль-

ные монеты. Пусть событие A1 означает, что на первой монете выпал «орел», A2 – что на второй монете выпал «орел», A3 – что только на одной монете выпал «орел».

Являются ли независимыми:

а) попарно события A1 и A2, A1 и A3, A2 и A3; б) тройка событий A1A2A3?

2.50. Парадокс Бернштейна для тетраэдра. На плоскость случайным образом бросается тетраэдр (правильный четырехгранник), три грани которого окрашены в красный, синий и зеленый цвета, а на четвертую грань нанесены все три цвета. Пусть событие A1 означает, что при бросании выпал красный цвет (с учетом разноцветной грани), A2 – синий цвет, событие A3 – зеленый цвет.

Являются ли независимыми:

а) попарно события A1 и A2, A1 и A3, A2 и A3; б) тройка событий A1A2A3?

2.51. Имеются три попарно независимых события, которые вместе произойти не могут.

Предполагая, что все события имеют одинаковую вероятность P, определить ее наибольшее значение.

25

2.52.Случайным образом выбирается натуральное число, не превосходящее 20.

Какова вероятность того, что число: а) кратно 5;

б) имеет вид 3k + 1, где k – натуральное число?

2.53.Из набора натуральных чисел {1, …, 100} случайным образом выбирается одно число.

Какова вероятность того, что выбранное число имеет простые делители большие 10?

2.54.Игральный кубик бросается трижды. Пусть z – сумма очков, полученных при всех попытках бросания.

Что более вероятно: z = 11 или z = 12?

2.55.Найти вероятность того, что среди k случайно выбранных цифр нет цифры:

а) 0; б) 0 и 1;

в) 0 или 1.

2.56.Лотерея «6 из 49». На карточке представлены числа от 1 до 49; участник лотереи отмечает шесть из них. Затем карточка сдается и производится случайная выборка шести чисел из указанного диапазона.

Найти вероятность того, что совпадут: а) три числа; б) четыре числа; в) пять чисел; г) шесть чисел;

д) больше двух чисел.

2.57.Обобщение предыдущей задачи. Из урны, содержащей M белых и M – N шаров, случайным образом извлекают n шаров.

Найти вероятность того, что среди выбранных шаров окажется k белых?

2.58. Найти вероятность того, что в группе, состоящей из n < 365 человек (365 – число дней в году), ни у кого из двух человек не совпадают дни рождения.

26

2.59.Обобщение предыдущей задачи. Урна содержит M различимых шаров, пронумерованных числами 1, 2, …, M. Производится n-элементная (n < M) упорядоченная выборка с возвращением.

Какова вероятность того, что среди выбранных шаров не будет повторений?

2.60.Некоторое событие может произойти в любой из дней недели равновероятно.

Какова вероятность того, что во вторники и четверги подряд выпадут:

а) 10; б) 12; в) 14

таких событий? Согласуется ли это с предположением о равновероятности события в любой день недели?

2.61.В условиях предыдущей задачи проверить гипотезу о равновероятностинаступлениясобытиявлюбойденьнедели,еслипри 12 наступлений события оно ни разу не произошло в воскресенье.

2.62.Из колоды, содержащей 32 игральные карты, вынули наугад 4 карты.

Найти вероятность того, что среди выбранных карт окажется хотя бы один туз.

2.63.Из колоды, содержащей 32 игральные карты, вынули наугад 10 карт.

Найти вероятность того, что среди вынутых карт восемь окажутся одной масти.

2.64.Из колоды, содержащей 52 карты, вынули наугад 3 карты. Какова вероятность того, что среди вынутых карт будет:

а) хотя бы одна карта черной масти; б) тройка, семерка и туз (в указанном порядке).

2.65.Колода, содержащая 52 карты, случайным образом делится на две равные части.

Какова вероятность того, что в каждой половине окажутся: а) два короля; б) два короля и два туза;

в) два короля, две дамы и два туза.

27

2.66.В колоде, содержащей 36 карт, все возможные положения карт равновероятны.

Найти вероятность того, что:

а) четыре туза расположены рядом; б) места расположения тузов образуют арифметическую про-

грессию с шагом 7.

2.67.Из колоды, содержащей 36 карты, случайным образом вы-

бирают:

а) четыре карты; б) пять карт; в) шесть карт.

Какова вероятность того, что будут представлены все четыре масти?

2.68.Решить предыдущую задачу, если выбор производится из колоды, содержащей 52 карты.

2.69.Какое наименьшее число m карт нужно взять из колоды,

содержащей 52 карты, чтобы вероятность pm того, что среди них найдутся две одномастные карты, была больше 0,5?

2.70.Р играет три партии с соперниками Г и А. Для общей победы он должен выиграть два раза подряд, затем игра прекращается. Ему известно, что Г играет лучше, чем А, причем нельзя играть дважды подряд с одним и тем же соперником.

Считая вероятности исхода каждой партии независимыми, определить, какой порядок встречи с игроками предпочтительнее: А, Г, А или Г, А, Г.

2.71.При приближении к объекту самолет посылает по радио заданную группу символов, состоящую из «точек» и «тире».

Какова вероятность того, что радист, не знающий парольной группы, угадает ее, передав какую-нибудь группу наугад, если известно: число элементов в группе равно:

а) 5; б) 7; в) 11?

28

2.72.Каковавероятностьтого,чтоизколоды,содержащей36карт, получится достать три короля подряд, если карты выбираются:

а) без возвращения; б) с возвращением.

2.73.Каждая из букв слова ИНТЕГРАЛ написана на одной из восьми карточек. Карточки перемешиваются, затем случайным образом извлекаются три карточки.

Какова вероятность того, что (в порядке выхода карточек) появится слово ТРИ?

2.74.Каждая из букв слова ПОТОП написана на одной из пяти карточек. Карточки перемешиваются, затем случайным образом извлекаются и выкладываются на стол.

Каковавероятностьтого,что(впорядкевыходакарточек)опять появится слово ПОТОП?

2.75.Каждая буква русского алфавита написана на карточке. Карточки перемешивают, затем случайным образом извлекают четыре из них.

Какова вероятность того, что (в порядке выхода карточек) появится слово ПЯТЬ?

2.76.Из слов МАМА и ДАМА случайным образом выбирается по одной букве.

Какова вероятность того, что выбранные буквы оказались: а) одинаковыми; б) различными.

2.77.Эксперимент состоит в десятикратном бросании игрального кубика.

Найти вероятности событий:

а) A1 = {5 очков выпало трижды};

б) A2 = {5 очков выпало хотя бы один раз}; в) A3 = {5 очков не выпало ни одного раза}.

2.78.Бросают n игральных кубиков.

Какова вероятность того, что выпадут n1 единиц, n2 двоек, …, n6 шестерок?

29

2.79. Бросают n игральных кубиков.

Найти вероятность того, что выпадет сумма, равная:

а) n; б) n + 1;

в) заданному числу m.

2.80.Каждая цифра 1, 3, 5, 6, 8 написана на одной из пяти карточек. Их перемешивают, затем случайным образом раскладывают в ряд.

Какова вероятность того, что получившееся пятизначное число делится на 4?

2.81.Каждая цифра 1, 2, 3, 4, 5 написана на одной из пяти карточек. Случайным образом выбирают две карточки.

Какова вероятность того, что сумма чисел равна 7?

2.82.Каждая цифра 1, 2, 3, 4, 5 написана на одной из пяти карточек. Случайным образом выбираются три карточки, и цифры на них записываются:

а) в прямом порядке (слева направо); б) обратном порядке (справа налево).

Найти вероятность того, что полученное трехзначное число будет четным.

2.83.Телефонный номер состоит:

а) из пяти цифр; б) семи цифр.

Найти вероятность того, что все цифры различны.

2.84.В компании, состоящей из 5 женщин и 10 мужчин, случайным образом формируют пять групп из трех человек.

Какова вероятность того, что в каждой группе будет: а) женщина; б) мужчина;

в) одна женщина и двое мужчин.

2.85.Девятьпассажировслучайнымобразомсадятсявтривагона. Какова вероятность того, что:

а) в каждый вагон сядут по три пассажира;

б) в один вагон сядут четыре, в другой три, в третий два пас­ сажира;

в) в два вагона сядут по одному, а в третий – семь пассажиров.

30