Общая теория связи. Случайные величины и их распределения сборник задач и упражнений. Практикум

1.10. Случайная величина ξ имеет на интервале [a; b] равновероятное распределение Ud(a, b, m), т. е. все ее значения

xk = a + ∆(k −1), ∆ = bm−−a1 , k = 1, …, m

имеют одинаковую вероятность, равную 1/m.

Найти и построить функцию распределения. Найти математическое ожидание, дисперсию и начальный момент r-го порядка.

1.11. Дискретная случайная величина ξ задана таблицей:

Найти и построить функцию распределения. Найти математическое ожидание, дисперсию, моду и коэффициент асимметрии­ .

1.12.Испытания радиотехнических изделий производятся при перегрузочных режимах. Вероятности для каждого изделия пройти испытания одинаковы и равны 0,9. Испытания заканчиваются после того, как обнаружится первое изделие, не выдержавшее перегрузки.

Найти закон распределения случайного числа испытаний ξ.

1.13.Обобщение предыдущей задачи — геометрическое распределение Geom(p). Рассматривается последовательность независимых испытаний с вероятностью элементарного исхода («успеха»), равной p. Случайная величина ξ — номер испытания, при котором произошел первый успех.

Найти распределение ξ, ее математическое ожидание и дисперсию. Чему равны коэффициенты асимметрии и эксцесса?

1.14.Производится стрельба по цели пятью независимыми выстрелами, вероятность однократного попадания равна 0,8. Случайная величина ξ — число попаданий в цель.

Найти и построить функцию распределения ξ. Найти математическое ожидание и дисперсию.

11

1.15.Эксперимент состоит в независимом бросании двух правильных игральных кубиков. Рассматривается случайная ве­ личина:

а) ξ = (i + j – 2) / 5; б) ξ = (i – j) / 5,

где i, j — число выпавших очков на гранях кубиков.

Найти и построить числовой ряд и интегральную функцию распределения. Чему равны математическое ожидание и дисперсия? Найти симметричный по отношению к математическому ожиданию интервал значений, в пределах которого вероятность нахождения составляет не менее 0,75.

1.16.Эксперимент состоит в независимом вынимании одной из 100 карточек, на которых изображены числа от 00 до 99. Пусть

ξ1 и ξ2 — соответственно сумма и произведение цифр на вынутой карточке.

Найти математическое ожидание и дисперсию случайных ве-

личин ξ1 и ξ2.

1.17. Из урны, содержащей m белых и n черных шаров, последовательно вынимаются шары без возвращения. Эксперимент продолжается до тех пор, пока не появится белый шар.

Найти закон распределения числа извлеченных черных шаров. 1.18.РассматриваетсясхемаБернулли—последовательностьизn однотипных независимых испытаний с вероятностью одного «успеха» (благоприятствующего исхода), равнойp. Случайной величиной ξ является число «успехов» k = 0, 1, …, n. Вероятности pn(k) значенийслучайнойвеличиныподчиняютсябиномиальному­ распределе­

нию Bi(n, p): pn (k) ≡ P(ξ = k) = Cnk pk (1− p)n−k, k = 0, 1, …, n.

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины ξ. Чему равна мода распределения? Построить закон распределения и интегральную функцию распределения для n = 5

иn = 10 при двух значениях вероятностей p = 0,1 и p = 0,5.

1.19.Найти коэффициент асимметрии и коэффициент эксцесса для биномиального распределения Bi(n, p).

12

1.20. Воспроизводимость биномиального распределения. Пусть случайные величины ξ1, …, ξK независимы, и каждая из них подчиняется биномиальному распределению Bi(nk, p), k = 1, …, K.

Доказать, что случайная величина ξ = ξ1 + + ξK подчиняется

биномиальному распределению Bi(n1 + …+ nK, p).

1.21. Случайная величина ξ имеет биномиальное распределе-

ние Bi(n, p).

Найти математическое ожидание случайной величины:

а) η = cos(πξ/2); б) η = sin(πξ/2).

1.22. Показать, что центральные моменты биномиального распределения связаны рекуррентно-дифференциальным соотношением

µr+1 = p(1− p) nrµr−1 + dµr , r = 2, 3, … .

dp

1.23.Рассматривается схема Бернулли с неопределенным числом испытаний и вероятностью «успеха» p. Случайной величиной

ξявляется число «неуспехов», предшествующих появлению r-го (r = 1, 2, …) «успеха». Вероятности p(k, r) значений случайной величины ξ подчиняются отрицательному биномиальному рас-

пределению Bi(r, p):

p(k,r) ≡ P(ξ = kr , p) = Crk+k −1 pk (1− p)r , k = 0, 1, … .

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины ξ. Чему равна мода распределения? Построить закон распределения и интегральную функцию распределения для r = 4

иr = 10 при двух значениях вероятностей p = 0,1 и p = 0,5.

1.24.Найти коэффициент асимметрии и коэффициент эксцесса

для отрицательного биномиального распределения Bi(r, p).

1.25. Воспроизводимость отрицательного биномиального распределения. Пусть случайные величины ξ1, …, ξK независимы и каждая из них подчиняется отрицательному биномиальному рас-

пределению Bi(rk , p) , k = 1, …, K.

13

Доказать, что случайная величина ξ = ξ1 + + ξK подчиняется отрицательному биномиальному распределению Bi(r1 + + rK , p) .

1.26. Случайная величина ξ имеет пуассоновское распределение Π(λ), если

P(ξ = k) = λk exp(−λ), λ > 0 , k = 0, 1, … . k!

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины ξ.

1.27.Найти коэффициент асимметрии и коэффициент эксцесса для пуассоновского распределения Π(λ).

1.28.Воспроизводимость пуассоновского распределения. Пусть

случайные величины ξ1, …, ξK независимы и каждая из них подчиняется пуассоновскому распределению Π(λk), k = 1, …, K.

Доказать, что случайная величина ξ = ξ1 + + ξK подчиняется

пуассоновскому распределению Π(λ1 + … + λK).

1.29. Показать, что центральные моменты пуассоновского распределения связаны рекуррентно-дифференциальными соотношениями

k−2

µr = λ∑Cki −1µi ; i=0

µr+1 = rλµr−1 + λ ddµλr , r = 2, 3, … .

1.30.Случайная величина ξ имеет пуассоновское распределе-

ние Π(λ).

Найти вероятности событий A = {ξ — четное}, B = {ξ — нечетное}.

1.31.Обобщенное геометрическое распределение. Производится последовательность из однотипных независимых испытаний, вероятность одного «успеха» равна p. Случайной величиной ζ является число испытаний, потребовавшихся до появления второго «успеха». Вероятности значений случайной величины

14

подчиняются обобщенному геометрическому распределению

P(ζ = k) = (k −1)(1− p)k −1 p2 , k = 0, 1, … .

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной вели­ чины ζ.

1.32. Гипергеометрическое распределение. Проверяется партия продукции, содержащая L изделий, из которых M годных и L – M бракованных, на основе выбора тестовой партии из N изделий. Случайной величиной ξ является число k годных изделий в тестовой партии. Вероятности значений случайной величины подчиняются гипергеометрическому распределению

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины ξ.

1.2.Непрерывные случайные величины

1.33.Случайная величина ξ имеет равномерное распределение U(a, b) на интервале [a; b]:

Найти и построить функцию распределения. Найти математическое ожидание, дисперсию, коэффициенты асимметрии и эксцесса, начальный момент r-го (r = 1, 2, …) порядка.

1.34.Показать, что при увеличении m числовые характеристики дискретного равновероятного распределенияUd(a, b, m) стремятся к аналогичным характеристикам равномерного распределения U(a, b).

1.35.Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределенной случайной величины равны соответственно:

а) 5 и 10; б) m и σ2.

15

Найти наибольшее xmax и наименьшее xmin значения случайной величины.

Найти и построить функцию распределения. Найти математическое ожидание, дисперсию, коэффициенты асимметрии и эксцесса.

1.38.Эксперимент заключается в случайном выборе точки из единичного квадрата. Пусть x и y — координаты точки. Рассматривается случайная величина:

а) ζ = x + y; б) ζ = x – y.

Найти и построить плотность вероятности и функцию распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию σ2. Чему равна вероятность того, что случайная величина отклонится от математического ожидания на величину ±σ?

1.39.Решить предыдущую задачу при условии, что точка выбирается из прямоугольной области [a; b] × [c; d].

1.40.Во сколько раз дисперсия случайной величины ξ, равномерно распределенной на интервале [–a; a], больше дисперсии

16

случайной величины η, подчиняющейся симметричному тре­ угольному распределению на том же интервале? Каким должно быть распределение на данном интервале для обеспечения максимальной дисперсии?

1.41.Случайная величина ξ в интервале (–1; 1) распределена равномерно, а каждое из значений –1 и +1 принимается с вероятностью 0,25.

Найти плотность вероятности и функцию распределения случайной величины ξ. Какова вероятность того, что ξ окажется в ин-

тервале 0,5–2,0?

1.42.Случайная величина ξ подчиняется гауссовскому распределению N(a, σ2):

Найти и построить интегральную функцию распределения. Чему равны математическое ожидание и дисперсия распределения? Найти центральный момент r-го (r = 1, 2, …) порядка, коэффициенты асимметрии и эксцесса. Найти и построить функцию распределения.

1.43.Случайная величина ξ подчиняется гауссовскому распре-

делению N(0, σ2). Рассматривается интервал [x1; x2], не включающий в себя значение x = 0.

При какой дисперсии вероятность попадания ξ в интервал

[x1; x2] достигает максимума? Получить приближенную формулу для малого интервала [x0 – ε; x0 + ε], оценить погрешность.

1.44.Гауссовское распределение N(a, σ2) на интервале [x1; x2] приближенно заменяется равномерным распределением U(x1, x2).

Найти значения границ интервала, обеспечивающие сохранение математического ожидания и дисперсии.

1.45.Случайная величина ξ подчиняется распределению Коши

C(x0, b): b

wξ (x) = π(b2 + (x − x0 )2 ), b > 0.

17

Найти и построить функцию распределения при различных соотношениях между параметрами x0 и b. Чему равны математическое ожидание и дисперсия? Найти медиану и моду распределения.

1.46. Случайная величина ξ подчиняется распределению Рэлея

R(σ):

wξ (x) = σx2 exp − 2xσ22 , x ≥ 0, σ ≥ 0.

Найти и построить функцию распределения. Найти математическое ожидание, дисперсию, коэффициенты асимметрии и эксцесса. Чему равны мода и медиана распределения?

1.47. Случайная величина ξ подчиняется распределению Райса (обобщенному распределению Рэлея) Ri(c, σ):

где I0 — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

Показать, что функция распределения может быть записана в виде

Построить функцию распределения для σ = 0,5 и с = 0,1, с = 0,5,

с= 1,0.

1.48.Показать, что начальные моменты распределения Райса могут быть выражены через тригонометрическую функцию и гам- ма-функцию следующим образом:

Записать выражения для математического ожидания и дисперсии.

18

1.49. Случайная величина ξ подчиняется распределению арксинуса:

Найти и построить функцию распределения. Чему равны математическое ожидание и дисперсия?

1.50. Случайная величина ξ подчиняется (одностороннему) экспоненциальному распределению Еxp(λ):

wξ (x) = λexp(−λx) , x ≥ 0.

Найти и построить функцию распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию. Чему равен начальный момент r-го

(r = 1, 2, …) порядка?

1.51.Найти медиану, коэффициенты асимметрии и эксцесса экспоненциального распределения Еxp(λ).

1.52.Случайная величина ξ подчиняется двухстороннему экспоненциальному распределению (распределению Лапласа) Lap(λ, β):

wξ (x) = λ2 exp(−λ | x −β|).

Найти и построить функцию распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию. Чему равен начальный момент r-го

(r = 1, 2, …) порядка?

1.53. Случайная величина ξ подчиняется гамма-распределению

Γ(α, β):

wξ (x) = βα+1Γ1(α+1) xα exp(−x /β), x > 0, α > –1, β > 0.

Найти и построить функцию распределения при различных соотношениях между параметрами α и β. Найти математическое ожидание, дисперсию, коэффициенты асимметрии и эксцесса. Чему равна мода распределения? Найти начальный момент r-го

(r = 1, 2, …) порядка.

19

1.54.Показать, что для начальных моментов гамма-распределе­

ния справедливо рекуррентное соотношениеmr+1[ξ] = (α + r +1)βmr[ξ], r = 1, 2, … .

1.55.Показать, что одностороннее экспоненциальное распределение Еxp(λ) является частным случаем гамма-распределения

Γ(0, 1/λ).

1.56.Случайная величина ξ подчиняется бета-распределению

Β(a, b):

Построить график плотности вероятности и функции распределения при различных соотношениях между параметрами a и b. Найти математическое ожидание, дисперсию, коэффициенты асимметрии и эксцесса. Чему равна мода распределения и начальный момент r-го (r = 1, 2, …) порядка?

1.57.Показать, что стандартное равномерное распределение U(0, 1) является частным случаем бета-распределения Β(1, 1).

1.58.Случайная величина ξ подчиняется хи-квадрат распре­ ­ делению с n степенями свободы χ2(n):

wξ (x) = 2n/2Γ1(n / 2) x(n−2)/2 exp(−x / 2), x > 0, n = 1, 2, … .

Чему равна функция распределения? Построить графики плотности вероятности и функции распределения для n = 1, 5, 10. Найти математическое ожидание, дисперсию, коэффициенты асимметрии и эксцесса. Чему равна мода распределения и начальный момент r-го (r = 1, 2, …) порядка?

1.59. Случайная величина ξ подчиняется распределению Стьюдента S(n) с n степенями свободы:

20