Общая теория связи. Случайные величины и их распределения сборник задач и упражнений. Практикум

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

стью wη(y, N), PN =

∫ wη(y,N)dy −1

∫ wη(y,N)dy −1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

916 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Найти безусловную плотность вероятности η.

4.45. Найти условный закон распределения случайной ве

личины

ξ,

полученной

из

распределения

Лапласа wλ(x) =

= (λ / 2)exp

(−λ| x |), когда ее значения ограничены диапазоном

−aσξ ≤ x ≤ aσξ , a > 0, где

σ2ξ

— дисперсия лапласовского распре-

деления.

4.46. Найти условную плотность wη(y / ξ = x),

если известно,

что совместная плотность распределения ξ и η

(2)

x2 + y2

− 2rxy

wξη (x,y) =

exp −

2σ

− r

2πσ2 1− r2

)

4.47. Двумерная случайная величина (ξ, η) называется централь- но-симметричной,еслиеераспределениезависиттолькоотрасстоя ния между рассматриваемым значением и началом координат .

Показать, что независимые центрально-симметричные случайные величины подчиняются гауссовским распределениям с нулевым средним и одинаковой дисперсией.

5. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МНОГОМЕРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Пусть случайные величины ξ1 и ξ2 (случайный вектор ξ), описываемые совместной плотностью распределения wξ(2)(x1,x2 ), подвергаются детерминированному преобразованию

f(x) = ( f (x ,x		2	), f	2	(x ,x	2	)),	(5.1)
1	1	2		2	1	2

порождающему результирующие случайные величины (случайный вектор η)

η1 = f1 (ξ1,ξ2 ); η2 = f2 (ξ1,ξ2 ).

(5.2)

Если преобразование (5.1) взаимно однозначное и существует пара обратных преобразований

ξ1 = ϕ1 (η1,η2 ); ξ2 = ϕ2 (η1,η2 ),

(5.3)

то совместная плотность распределения wη(2)(y1,y2 )

η1

и η2 опре-

деляется соотношением

∂(x1,x2 )

wη(2)(y1,y2 ) = wξ(2) (x1 (y1,y2 ),x2

(y1,y2 ))

(5.4)

∂(y ,y

)

в котором

∂(x1,x2 )

∂x1

∂y1

∂y2

∂x

∂(y ,y

)

∂y1

∂y2

представляет собой якобиан преобразования (5.2), причем после его вычисления переменные x1 и x2 должны быть выражены через

переменные y1 и y2.

В том случае, когда преобразование (5.2) не взаимно однозначное, множество значений случайных величин ξ1 и ξ2 разбивается на двумерные области монотонности по отношению к преобразованию (5.2), в каждой такой области ищутся обратные преобразования (5.3), затем результирующий закон распределения записывается в виде

wη(2)(y1	,y2 ) = ∑wξ(2) (x1k (y1,y2 ),x2k (y1,y2 ))		∂(x1k ,x2k )	,	(5.4а)
	Q

	k =1		∂(y1,y2 )
где Q — число областей монотонности.
Обобщением является функциональное преобразование
	f(x) = ( f1 (x1, , xn ), , fn (x1,	, xn ))			(5.5)

совокупности из n случайных величин ξ1, …, ξn, порождающее случайные величины (случайный вектор η) η1 = f1 (ξ1,...,ξn ) , …,

ηn = fn (ξ1,...,ξn ).

В этом случае выражение для многомерной плотности wη(n)(y1,..., yn ) после преобразования (5.5) имеет следующий вид:

= ∑wξ(2)	wη(2)(y1, ,yn ) =
= ∑wξ(2)	(x1k (y1, ,yn ), , xnk (y1, ,yn )) ∂(x1k , , xnk ) , (5.6)
Q
k =1	∂(y1, ,yn )

где Q — число областей монотонности.

Зачастую интерес представляет не двумерное (многомерное) распределение (5.4) или (5.6), а одномерное распределение случайной величины, являющейся результатом известного функционального преобразования совокупности случайных величин. Для двумерного случая, когда η1 ≡ ξ1, η2 = f (ξ1, ξ2) и существует однозначное обратное преобразование f −1 = ϕ(η1,η2 ), искомое одномерное распределение

	∞	(2)	(y1,ϕ(y1,y2 ))	dy1		.	(5.7)
wη2	(y2 ) = ∫	wξ
				∂f (x ,x )/ ∂x	2
				∂f (x ,x )/ ∂x
	−∞			1 2

При этом, если случайные величины ξ1 и ξ2 независимы, то двумерная плотность факторизуется:

	∞	dy1
wη2	(y2 ) = ∫ wξ1 (y1 )wξ2 (ϕ(y1,y2 ))			. (5.7а)
		∂f (x ,x )/ ∂x	2

	−∞	1 2

Формула (5.7), в частности, позволяет найти распределение суммы, разности, произведения и отношения двух случайных величин.

Для η = ξ1 ± ξ2 результирующее распределение

wη(y) = ∞∫ wî(2) (y1,y y1 )dy1.		(5.8)
−∞
Если при этом ξ1 и ξ2 независимы, то
∞	(y y1 )dy1.
wη(y) = ∫ wξ1 (y1 )wξ2	(y y1 )dy1.	(5.8а)
−∞

Для η = ξ2 ξ1 результирующее распределение

wη(y) = ∞∫ wξ(2) (y1,y		y1 )	dy1		.
			y
−∞			1
Если при этом ξ1 и ξ2 независимы, то
∞	(y y1 )			dy1
wη(y) = ∫ wξ1 (y1 )wξ2						.
				y
−∞				1

Для η = ξ2/ξ1 результирующее распределение

wη(y) = ∞∫ wξ(2) (y1,yy1 ) y1 dy1.

−∞

Если при этом ξ1 и ξ2 независимы, то

∞

wη(y) = −∞∫ wξ1 (y1 )wξ2 (yy1 ) y1 dy1.

(5.9)

(5.9а)

(5.10)

(5.10а)

Аналогично одномерному случаю для многомерной случайной величины можно ввести многомерную характеристическую функцию как математическое ожидание случайной величины

η= exp[j(v1ξ1 +...+ vnξn )].

(5.11)

Например, для непрерывной многомерной случайной вели чины

ϕξ (v1, ,vn ) =

	∞		∞
	= ∫ ... ∫ exp[j(v1x1 +...+ vn xn )]wξ(n) (x1, , xn )dx1 dxn ; (5.12)
	−∞		−∞
				wξ(n) (x1, , xn )=
	1		∞	∞
=	1		∫ ... ∫ exp[− j(v1x1 +...+vn xn )]ϕξ (v1, ,vn )dv1 dvn .(5.12а)
=	(2π)	n
	(2π)		−∞	−∞

5.1.Какие распределения случайной величины ξ на конечном симметричном интервале обеспечивают некоррелированность ξ

илюбой четной детерминированной функции η = f(ξ)?

5.2.Пусть ξ и η — независимые гауссовские величины, имею-

щие:

а) нулевые математические ожидания и единичные дисперсии; б) математические ожидания aξ, aη и дисперсии σξ2 , ση2 соответ-

ственно.

Найти распределение случайной величины ζ = c1ξ + c2η.

5.3. Пусть ξ и η — независимые гауссовские величины, имеющие:

ственно.

Найти распределение случайной величины ζ = ξ / η.

5.4.Пусть ξ и η — независимые гауссовские величины, имеющие нулевые математические ожидания и единичные дисперсии. Формируются случайные величины ρ = ξ2 + η2; φ = arctg(ξ/η).

Найти плотности распределения ρ и φ. Являются ли ρ и φ независимыми?

5.5.Какова вероятность того, что сумма двух случайных величин, равномерно распределенных на интервале [–a; a], не превысит a?

5.6.Гауссовские случайные величины ξ1 и ξ2 независимы, имеют нулевые математические ожидания и одинаковую дисперсию σ2.

Найти распределение, математическое ожидание и дисперсию случайной величины:

а) η = |ξ1| + |ξ2|; б) η = |ξ1| – |ξ2|; в) η = |ξ1| |ξ2|; г) η = |ξ1|/|ξ2|.

5.7. Гауссовские случайные величины ξ1 и ξ 2 независимы, имеют нулевые математические ожидания и одинаковую дисперсию σ2.

Верно ли равенство P(|ξ1| + |ξ2| ≤ y) = P2(|ξ1 + ξ2| ≤ y)?

5.8. Показать, что плотность распределения произведения двух зависимых гауссовских величин с нулевыми математическими ожиданиями, дисперсиями σ12 , σ22 и коэффициентом корреляции r

wη(y) =			1	K0	\| y \|					ry
								exp					,
					σ1σ2 (1− r	2			σ1σ2	(1− r	2
	πσ σ		1− r2			2					2
	πσ σ	2	1− r2				)					)
1		2

где K0 — модифицированная функция Бесселя второго рода нулевого порядка.

5.9. Пусть ξ1 и ξ2 — гауссовские случайные величины, характеризуемые соответственно математическими ожиданиями a1, a2, дисперсиямиσ12 , σ22 и коэффициентом корреляции r. Формируется

случайная величина η= ξ1ξ2. Показать, что:

а) используя результат

∞

2m−k −1

∫x

exp −

dx =

2(1

− r

)

σ1 | y |

2m−k

y |

K(2m−k )/2

σ2

(1− r2 )σ1σ2

плотность распределения η можно записать в виде

(y) =

1 exp −

− 2r(y + a1a2 )

2(1

− r2 )

σ2

σ1σ2

∞ 2k

2k −m

m−k

m−k −1

×∑ ∑

| y |

σ1

(2k)!(1− r2)2k +1/2σm2

−k +1

k =0 m=0

ra2

ra1

2k −m

| y |

−

Km−k

σ12

σ22

σ1σ2

(1− r2 )σ1σ2

где Kn(z) — модифицированная функция Бесселя второго рода n-го порядка;

б) при a1 = 0, a2 = 0 (см. предыдущую задачу)

y |

wη(y) =

exp −

;

σ σ(1

− r

2 )

(1− r2 )σ σ

πσ1σ2 1− r

1 2

в) при r = 0

(y)

= 1 exp

−

2(1− r2 )

σ2

∞ 2k

2k −m

m−k

y |

×∑ ∑ a1 a2

| y |

Km−k

;

m+k +1 3k −m+1

σ1σ2

k =0 m=0 (2k)!σ1

σ2

г) при r = 0, a1 = 0, a2 = 0

wη(y) =

| y |

;

πσ σ

σ σ

д) при r = 0, a1 = 0, σ1 = σ2 = σ

∞

a2k

| y |k

| y |

wη(y)

exp

−

∑

(2k)!σ

4k +2

2σ

k =0

Согласно полученным выражениям получить численные результаты расчета wη(y) при конечном числе N слагаемых в сумме. В качестве ошибки вычисления можно использовать выражение εN = 20lg| PN −1|, дБ, где PN — площадь под усеченной плотно

Чтобы учесть влияние «хвостов» отдельных слагаемых, число y0 должно быть достаточно большим (порядка десятков).

5.10. Показать, что плотность распределения отношения двух зависимых гауссовских величин ξ1 и ξ2 с математическими ожида-

ниями a1 иa2, дисперсиями σ12 и σ22 соответственно и коэффициентом корреляции r

1− r2

σ σ

wη(y) =

σ12 − 2rσ1σ2 y + σ22 y2

×exp −

(a1

σ2 −

2ra1a2 + a2

σ1 )

2(1− r

2 )σ2σ2

z exp

(z)−

× 1+

2) F0

где

a2σ2

− ra σ σ

+ a2σ2 y − ra σ σ

;

z = 2 1

1 1 2

1 2

2 1 2

σ1σ2

(1− r2 )(σ22 y − 2rσ1σ2 y + σ12 )

– функция Лапласа.

(y), когда a = a

= 0.

Найти частный вид распределения w

5.11. Случайные величины ξ1

и ξ2 независимы и распределены

равномерно на интервале [–c; c].

Найти распределение, математическое ожидание и дисперсию

случайной величины:
а) η = \|ξ1\| + \| ξ2\|;
б) η = \|ξ1\| – \| ξ2\|;
в) η = \|ξ1\| \| ξ2\|;
г) η = \|ξ1\| / \| ξ2\|.		и ξ2		независимы и подчиняются
5.12. Случайные величины ξ1		и ξ2		независимы и подчиняются
рэлеевским распределениям R(σ1) и R(σ2) соответственно.
Показать, что плотность распределения случайной величины
η = ξ1ξ2 описывается выражением
	y				y
wη(y) =	y		K0		y	,
wη(y) =	(σ1σ2 )2		K0			,
	(σ1σ2 )2				σ1σ2

где K0 — модифицированная функция Бесселя второго рода нулевого порядка.

5.13.Найти плотность распределения случайной величины

η= ξ1 + ξ2, где ξ1 подчиняется гауссовскому распределению N(a, σ), а ξ2 распределена равномерно на интервале [c1; c2].

5.14.Случайная величина η представляет собой сумму двух не-

зависимых случайных величин: ξ1 — гауссовской с нулевым математическим ожиданием и дисперсией σ2 и ξ2 = Acosϕ, где φ рас-

пределена равномерно на интервале [0; 2π].

Показать, что плотность вероятности η может быть представлена в виде

wη(y) =

exp

−

2σ2

2π

∞

× I0

+ 2∑(−1)

I2k

4σ

k =1

5.15. Случайная величина ξ подчиняется распределению Коши

wξ (x) = π1 1+1x2 .

Найти распределение случайной величины η= ∑ξk .

5.16. Случайные величины ξ1 и ξ2 независимыkи=1подчиняются распределению Коши:

wξi (x) = µπi µi +1 x2 , i = 1, 2.

Найти распределение случайной величины:

а) η = ξ1 + ξ2; б) η = ξ1 ξ2.

5.17. Случайные величины ξ1 и ξ2 независимы и подчиняются распределению Лапласа:

а) wξi (x) = 12 exp(−| x |), i = 1, 2;

б) wξi (x) = λ2 exp(−λ| x −β|), i = 1, 2.

Найти распределение случайной величины η = ξ1 + ξ2.

5.18. Пусть ξ1, …, ξn — независимые, одинаково распределенные случайные величины, подчиняющиеся экспоненциальному распределению Еxp(λ).

	n
Показать, что случайная величина	η = ∑ξk	подчиняется гам-
ма-распределению Γ(1/ λ, n).	k =1
ма-распределению Γ(1/ λ, n).

5.19. Пусть ξ1, …, ξn — независимые случайные величины, каждая из которых подчиняется экспоненциальному распределе-

нию Еxp(λk), k = 1, …, n.
Показать, что случайная величина η = min{ξ1,...,ξk } подчиня-
		n
ется экспоненциальному распределению Exp		∑λk .
	k =1
5.20. Случайные величины ξ и η независимы,			причем wξ(x) =
= 0,5δ(x)+ 0,5δ(x −1), а
0,	y < 0;

Fη(y) = y, 0≤ y ≤1;
	y >1.
1,	y >1.

Найти функцию распределения, плотность вероятности, математическое ожидание и дисперсию случайной величины:

а) ζ1= ξ + η; б) ζ2= ξη.

5.21. Случайные величины ξ1 и ξ2 независимы и распределены

по закону wξ (x) = Acos(πx2a), |x| ≤ a, a > 0.

Чему равно A? Найти плотность вероятности случайной величины:

а) η = ξ1 + ξ2; б) η = ξ1 – ξ2.

Чему равны математическое ожидание и дисперсия результирующего распределения?

5.22. Случайные величины ξ1 и ξ2 независимы и подчиняют-

ся гауссовским распределениям N(0, σ12 ) и N(0, σ22 ) соответственно.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]