Общая теория связи. Случайные процессы непрерывного времени сборник задач и упражнений. Практикум

3.21.Записать совместное распределение стационарного гауссовского процесса x(t) с нулевым математическим ожиданием, корреляционной функцией bx(τ) и его производной η(t) = xʹ(t)

всовпадающие моменты времени.

3.22.Записать совместное четырехмерное распределение стационарногогауссовскогопроцессаx(t)снулевымматематическим

ожиданием, корреляционной функцией bx(τ) и его производной η(t) = xʹ(t) в моменты времени t и t + τ.

3.23.Гауссовский узкополосный процесс представлен в ква-

дратурном виде: z(t) =x(t)cosω0t + h(t)sinω0t , где гауссовские квадратурные компоненты ξ(t) и η(t) имеют нулевое математи-

ческое ожидание, одинаковую дисперсию σ2, стационарны и стационарно связаны. Автокорреляционная функция обоих процессов r(τ); взаимная корреляционная функция bξη(τ) = = b(τ).

Записать:

а) ковариационную матрицу M совместного четырехмерного распределения процессов ξ(t) и η(t) и их производных ξʹ(t) и ηʹ (t) в совпадающие моменты времени, найти ее определитель и обратную матрицу;

б)вявном(нематричном)видесовместноечетырехмерноераспределение процессов ξ(t), η(t), ξʹ(t) и ηʹ (t) в совпадающие моменты времени.

Найти совместное четырехмерное распределение огибающей ρ(t) = x2 (t)+h2 (t) , начальной фазы tgϕ(t) =x(t)/h(t), а также

их производных ρʹ(t) и φʹ(t) в совпадающие моменты времени. 3.24. Гауссовский узкополосный процесс представлен в ква-

дратурном виде: z(t) =x(t)cosω0t + h(t)sinω0t , где гауссовские

квадратурные компоненты ξ(t) и η(t) имеют нулевое математическое ожидание, одинаковую дисперсию σ2, стационарны и стационарно связаны. Автокорреляционная функция обоих процессов r(τ); взаимная корреляционная функция bξη(τ) = = b(τ).

31

производных ρʹ(t) и φʹ(t) в совпадающие моменты времени; б) совместное двумерное распределение огибающей и ее про-

изводной в совпадающие моменты времени; в) совместное двумерное распределение начальной фазы и ее

производной в совпадающие моменты времени.

3.25. В условиях предыдущей задачи гауссовский узкополосный процесс z(t) =x(t)cosω0t + h(t)sinω0t суммируется с детерминированным узкополосным процессом g(t) = u(t)cos ω0t +

+ ν(t)sinω0t.

Представляя суммарный процесс μ(t) в виде μ(t) = ρ(t)cos[ω0t –

–φ(t)],где ρ(t) = (x(t)+u(t))2 +(h(t)+ v(t))2 ; tgϕ(t) = xs (t)+ v(t), xc (t)+u(t)

найти совместное четырехмерное распределение огибающей ρ(t), начальной фазы φ(t) и их производных ρʹ(t) и φʹ(t) в совпадающие моменты времени.

3.26. В условиях предыдущей задачи детерминированный сигнал представлен в виде одной квадратуры, т. е. имеет вид

g(t) = u(t)cosω0t .

Записать:

а) совместное двумерное распределение огибающей ρ(t) и ее производной ρ′(t) в совпадающие моменты времени;

б) совместное двумерное распределение начальной фазы φ(t) и ее производной φ′(t) в совпадающие моменты времени;

в) одномерное распределение производной начальной фазы

φ′(t).

Конкретизироватьрезультатдляварианта,когдаg(t)–гармони- ческое колебание амплитуды A0.

3.27. Пусть ξ(t) – стационарный узкополосный гауссовский процесс c нулевым средним, центральной частотой ω0 и симмет­

32

ричным относительно центральной частоты энергетическим спектром G(ω). Процесс ζ(t) есть сумма ξ(t) и детерминированного сигнала s(t) = A(t)cos[ωct −θ(t)], причем в общем случае

Dω= ωc −ω0 ≠ 0 .

водной начальной фазы.

t2

3.27. Показать, что интеграл h(t) = ∫x(t)h(t,t)dt от гауссов-

t1

ского процесса x(t) с математическим ожиданием ax(t) и корреляционной функцией bx(t1, t2) также является гауссовским процессом. Чему равны математическое ожидание и дисперсия

η(t)?

3.28. Стационарный случайный процесс x(t) задан корреляционной функцией bx(τ). Процесс η(t) образуется при помощи преобразования Гильберта

Физический смысл преобразования Гильберта состоит в том, что все компоненты спектра (преобразования Фурье) Sy(ω) любой реализации η(t) сдвинуты на π/2 по отношению к спектруSx(ω) реали-

заций x(t): Sy (ω) = − jSx (ω)sign(ω).

На основании определения и свойств преобразования Фурье показать:

а)корреляционнаяфункцияпроцессаη(t)совпадаетскорреляционной функцией процесса x(t);

б) энергетический спектр процесса η(t) совпадает с энергетическим спектром процесса x(t);

в) корреляционная функция процесса x(t) и взаимная корреляционная функция процессов x(t) и η(t) связаны преобразованием

33

Гильберта:

bxh(t) = 1 ∞∫ bx (uu)du;

π −∞ t−

г) энергетический спектр процесса x(t) и взаимный энергетический спектр процессов x(t) и η(t) связаны соотношением

д) взаимная корреляционная функция процессовx(t) иη(t) связана с энергетическим спектром процесса x(t) соотношением

bxh(t) = −bhx (t) = 1 ∞∫Gx (ω)sinωtdω.

2π 0

3.29. Узкополосный стационарный процесс x(t) представлен в виде x(t) =ρ(t)cos[ω0t −ϕ(t)], где ρ(t) – огибающая; φ(t) – начальная фаза, причем по сравнению с сosω0t функции ρ(t) и φ(t) медленно меняющиеся.

С помощью ρ(t) и φ(t) записать процесс η(t) как преобразование Гильберта от процесса x(t).

3.30. Узкополосный процесс ζ(t) представлен в квадратурном виде:z(t) =x(t)cosω0t + h(t)sinω0t , где квадратурные компоненты ξ(t) и η(t) стационарны и стационарно связаны.

Выразить квадратурные компоненты ξ(t) и η(t) через исходный процесс ζ(t) и его преобразование Гильберта χ(t) = H[ζ(t)]. Найти связь между:

а) автокорреляционными функциями квадратурных компонент и взаимокорреляционными функциями процессов ζ(t )

и χ(t);

б) взаимокорреляционными функциями квадратурных компонент и взаимокорреляционными функциями процессов ζ(t )

и χ(t);

34

в) автокорреляционной функцией процесса ζ(t), автокорреляционной функцией процесса ξ(t) и взаимокорреляционной функцией квадратурных компонент;

г) корреляционными функциями квадратурных компонент и энергетическим спектром процесса ζ(t) (что можно сказать о дисперсиях процессов ξ(t), η(t), ζ(t)?);

д) взаимокорреляционными функциями квадратурных компонент и энергетическим спектром исходного процесса ζ(t).

3.31. Узкополосный процесс ζ(t), характеризуемый энергети­ ческим спектром Gz (ω), представлен в квадратурном виде: z(t) =x(t)cosω0t + h(t)sinω0t , где квадратурные компоненты ξ(t) и η(t) стационарны и стационарно связаны.

Найти:

а) автокорреляционные функции производных ξʹ(t) и ηʹ(t), а также дисперсии этих производных;

б) взаимокорреляционные функции между ξ(t) и ηʹ(t) и между

η(t) и ξʹ(t).

3.32. Спектральная плотность G(ω) стационарного процесса h(t) имеет постоянное значение на интервале [ω1; ω2]:

Реализации процесса h(t) представлены в виде η(t) = α(t)cos ω0t + + β(t)sin ω0t, где α(t) и β(t) – стационарные и стационарно связанные процессы.

Найти автокорреляционную и взаимокорреляционную функции процессов α(t) и β(t).

3.33. Винеровский процесс ζ(t) определяется с помощью стохастического дифференциального уравнения

dzdt(t) = ν(t),

где ν(t) – белый шум, т. е. стационарный гауссовский процесс с нулевым математическим ожиданием и дельтообразной корреля-

35

ционной функцией

bν (t) = N20 δ(t).

Найти математическое ожидание, дисперсию и ковариационную функцию винеровского процесса. Записать:

а) одномерную плотность вероятности процесса ζ(t) (является ли процесс ζ(t) стационарным?);

б) одномерную и двумерную характеристические функции винеровского процесса.

3.34.Доказать, что винеровский процесс недифференцируем по вероятности.

3.35.Чему равны математическое ожидание и дисперсия при-

ращений винеровского процесса z(t3)−z(t2) , z(t2 )−z(t1 ) , t3 > t2 > t1, на непересекающихся интервалах? Найти взаимную

корреляционную функцию приращений. Зависимы ли они? 3.36. Пусть ζ(t) – винеровский процесс.

Доказать, что процесс z1 (t) = tz(1/t) также винеровский.

3.37. Пусть ζ(t) – стандартный (с параметром σ2 = 1) винеровский процесс.

Найти ковариационную функцию процесса z1 (t) =z(t)−tz(t), рассматриваемого на интервале [0; 1].

3.38. Процесс Орнштейна–Уленбека. Рассматривается процесс h(t) = exp(−at)z(bexp(2at)), где ζ(t) – винеровский процесс;

a, b – произвольные вещественные числа.

Найти ковариационную функцию процесса η(t).

3.39. Пусть ζ(t) – винеровский процесс.

Найти совместное распределение процессов ζ(t) и η(t) =

t

= ∫z(t)dt, t > 0.

0

3.40. Пусть ζ(t) – винеровский процесс с нулевым сносом.

36

Доказать, что процесс

где f, g – детерминированные дифференцируемые функции своих аргументов, удовлетворяющие условию Липшица

f (t,x)+ f (t,y) + g (t,x)+ g (t,y) ≤ C | x − y |, C = const > 0;ν(t)–бе­ лый гауссовский шум с характеристиками

E[ν(t)]= 0; bν (t1,t2 ) = N20 δ(t2 −t1 ),

называется стохастическим дифференциальным уравнением.

Используя стохастический дифференциал dζ(t) винеровского процесса,уравнение(3.6)можнозаписатьвэквивалентныхформах:

= limN∑−1 g (tk ,x(tk ))[z(tk +1 )−z(tk +1 )]через предел (в среднеквад­

D→0 k =0

ратическом смысле) интегральных сумм результат в общем случае зависитотспособавыбораточекτk: tk +1 = (1−α)tk + αtk +1 , 0≤α ≤1.

Если α = 0 (значения функции g вычисляются на левой стороне каждого интервала), то стохастический интервал понимается

37

всмысле Ито. Если α = 1/2 (значения функции g вычисляются

всередине каждого интервала), то стохастический интервал понимается в смысле Стратановича (симметризованный интеграл).

Векторный стохастический дифференциал для векторного слу-

чайного процесса x(t) = (x1 (t), ,xM (t)) определяется системой

где fk (t,x(t)), gkm (t,x(t)) – дифференцируемые функции, удовлетворяющие условию Липшица; zm (t) – независимые винеровские процессы.

3.41. Показать, что между произвольным стохастическим интегралом Jα и стохастическим интегралом Ито J0 существует соотношение

t

3.42. Вычислить стохастический интеграл Jα = ∫z(t)dαz(t),

t0

гдеζ(t)–винеровскийпроцесс,еслиинтегралпонимаетсявсмысле: а) Ито; б) Стратановича.

3.43. Случайный процесс ξ(t) задан стохастическим дифференциаломdx(t) = f (t,x(t))dt + g (t,x(t))dz(t). Пусть произвольная функция G(x, t) имеет непрерывные производные

38

Показать, что для процесса G(t, ξ(t)) существует стохастический дифференциал

3.44. Случайный процесс ξ(t) задан стохастическим дифференциальным уравнением

dxdt(t) + ax(t) = cν(t), x(t0 ) = x0 ,

где a, c – константы; ν(t) – стационарный гауссовский процесс с нулевым математическим ожиданием и дельтообразной корреляционной функцией

bν (t) = N20 δ(t).

Записать решение дифференциального уравнения. Найти математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию процесса ξ(t). Является ли процесс стационарным?

4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Любое линейное устройство с постоянными параметрами описывается либо во временной области своей импульсной характеристикой h(t), представляющей собой отклик системы на воздействие в виде дельта-функции, либо эквивалентно в спектральной области своей спектральной (частотной) характеристикой H(ω),

39

которая связана с h(t) преобразованием Фурье

−∞

Если x(t) – произвольная реализация процесса ξ(t) на входе устройства, реализация y(t) выходного процесса η(t) представляет собой свертку входной реализации с импульсной характеристикой:

Для физически реализуемых систем должен выполняться принцип причинности h(t) = 0, если t < 0, так, что в (4.2) пределы

оказываются конечными:

Энергетические спектры Gξ(ω) и Gη(ω) соответственно на входе и выходе линейного устройства со спектральной характеристикой H(ω) связаны соотношением

Под шириной полосы пропускания Π линейного устройства обычно понимают ширину основания прямоугольника, высота которого равна максимальному значению квадрата модуля

спектральной­ характеристики H (ω)2max , а площадь – соответствующему значению площади под кривой |H(ω)|2:

40