Общая теория связи. Случайные процессы непрерывного времени сборник задач и упражнений. Практикум

1.17.Показать,чтоплотностьвероятностисуммынезависимых

n

гармонических колебаний x(t) = ∑Ak cos(2πfk t + ϕk ) с постоян-

k =1

ными амплитудами Ak, частотами fk и случайными равномерно распределенными на интервале [0; 2π] начальными фазами φk можно представить в виде

треть­ частный случай одинаковых амплитуд Ak = A (k = 1, …, n) и определить вероятность P(| x| ≤ cA), где с – заданное значе-

ние.

1.18. Найти двумерную плотность распределения стационарного процесса ξ(t) = A0cos[w0t + ψ], где A0, w0 – детерминированные константы; ψ – случайная начальная фаза, равномерно распределенная на интервале [–π; π], если известна двумерная характери-

стическая функция ϕ(ν1,ν2 ,t) = J0 (A0 ν12 + 2ν1ν2 cosω0t+ ν22 )

(J0 – функция Бесселя первого рода нулевого порядка).

1.19. Пусть ξ и η – случайные величины, причем η имеет симметричное распределение, и P(η = 0) = 0.

Найти вероятность того, что реализации случайного процесса

ζ(t) = ξ + t(η + t) возрастают.

1.20. Узкополосный процесс ζ(t) представлен в квадратурном видеz(t) =x(t)cosω0t + h(t)sinω0t .

Полагая известным совместное распределение wxh(2n) (x1, , xn ,y1, , yn ,t1, ,tn ) значений квадратурных компонент в n моментах времени, найти n-мерное распределение огиба-

ющейρ(t) = x2 (t)+h2 (t) и начальной фазы tgϕ(t) =x(t)/h(t).

11

1.21. Пусть ξ и η – независимые гауссовские величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. На интервале наблюдения [0; T] формируется процесс

z(t) =xcosπTt + hsin πTt .

Найти совместное распределение величин z1 = z(t1 ) и z2 = z(t2 ).

Пусть ρ = x2 + h2 ; tg θ = xh.

Найти совместное распределение ρ и θ. Показать, что z(t) =ρsin 2Tπt + θ .

1.22.Гауссовский узкополосный процесс ξ(t) = ξ c(t)cosω0t +

+ξs(t)sinω0t , у которого квадратурные компоненты ξc(t) и ξs(t) стационарны и стационарно связаны, имеют нулевое математическое ожидание и одинаковую дисперсию σ2, суммируется с детерминированным узкополосным процессом s(t) = u(t) cosω0t +

+v(t)sinω0t.

Представляя суммарный процесс η(t) в виде η(t) = ρ(t)cos[ω0t –

–ϕ(t)], где ρ(t)= (xc (t)+u(t))2 +(xs (t)+v(t))2 ; tgφ(t)=(ξs(t) +v(t)) /

/ (ξc(t) + u(t)), найти:

а)совместноедвумерноераспределениеогибающейρ(t)ифазы φ(t) в совпадающие моменты времени;

б) одномерные распределения ρ(t) и φ(t);

в) совместное четырехмерное распределение огибающей ρ(t) = x2 (t)+h2 (t) и начальной фазы tgϕ(t) =x(t)/h(t) в момен-

ты времени t и t + τ;

г) двумерное распределение огибающей в моменты времени t

и t + τ.

12

1.23. В условиях предыдущей задачи детерминированный узкополосный процесс s(t) представляет собой гармоническое колебание c амплитудой A0 и частотой ω0.

Найти двумерное распределение огибающей.

2.КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ

ИЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР

Ковариационная функция Bξ(t1, t2) вещественного случай-

ного процесса ξ(t) характеризует вероятностную связь между двумя отсчетными значениями процесса и определяется соотношением

вкоторомслагаемое bx (t1,t2 ) = E[x(t1 )x(t2 )] называетсякорреляционной функцией процесса ξ(t). Для процессов с нулевым средним ковариационная и корреляционная функции совпадают.

КоэффициенткорреляцииRξ(t1,t2)–этонормированнаяковариа­ ционная функция:

Для стационарных процессов ковариационная (корреляционная) функция зависит только от разностного аргумента

а математическое ожидание E[ξ(t)] = mξ и дисперсия D[x(t)]= σx2 не зависят от времени, поэтому

13

В большинстве практических задач ковариационные (корреляционные) функции убывают с возрастанием разностного аргумента. Интервал корреляции стационарного процесса ξ(t) – это временной промежуток, на котором (и, следовательно, за которым) отсчетные значения ξ(t) и ξ(t +Δ) можно считать некоррелированными. Существуют различные рекомендации к определению интервала корреляции; часто используется подход, основанный на вычислении интеграла от коэффициента корреляции:

Следует помнить, что некоррелированность не означает независимость, хотя для некоторых классов процессов, например гауссовских, эти понятия эквивалентны.

Спектральный анализ случайных процессов основан на конструкции энергетического спектра. Пусть ξ(t) – случайный процесс, задаваемый совокупностью всех своих реализаций:

x(t) ={x(k )(t)}, k = 1, 2, … . Выбирается произвольная, усеченная на (конечном) интервале [0; T] реализация xT(k ), для которой вычисляется преобразование Фурье

T

ST(k )(ω) = ∫xT(k )(t)exp(− jωt)dt,

0

и затем периодограмма

представляющаясобойспектральнуюплотностьмощностиреализации. Тогда энергетический спектр Gξ(ω) определяется следую­ щим образом:

14

Частовнаучно-техническойлитературенарядустермином«энер­ гетический спектр» используется термин «спектральная плотность­ мощности».

Для стационарного процесса справедливы соотношения Вине- ра–Хинчина, связывающие корреляционную функцию и энергетический спектр парой преобразований Фурье:

Наряду с «собственными» характеристиками (2.1)–(2.8), рассчитываемыми по реализациям одного процесса, для решения ряда задач часто используют взаимные характеристики, определяемые по реализациям различных процессов.

Взаимная ковариационная функция Bξη(t1, t2) вещественных случайных процессов ξ(t) и η(t) характеризует вероятностную связь между двумя отсчетными значениями различных процессов:

где bxh(t1,t2 ) = E[x(t1 )h(t2 )] – взаимная корреляционная функция

процессов ξ(t) и η(t).

Если взаимные ковариационные (корреляционные) функции зависят лишь от разностного аргумента τ = t2 – t1, то процессы ξ(t) и η(t) называются стационарно связанные и для них справедливы соотношения

15

Взаимный коэффициент корреляции Rξη(t1, t2) – это нормиро-

ванная взаимная ковариационная функция:

Если процессы ξ(t) и η(t) стационарны и стационарно связаны, то

В отличие от взаимной ковариационной (корреляционной) функции взаимный энергетический спектр Gξη(ω) не имеет ясного физического толкования. Его проще всего определить формально, какпреобразованиеФурьеотвзаимнойкорреляционнойфункции:

−∞

2.1. Доказать следующие свойства корреляционной функции вещественного случайного процесса ξ(t):

a) симметричность: bξ(t1, t2) = bξ(t2; t1);

б) положительная полуопределенность: для любых временных отсчетов t1, …, tn и для произвольных вещественных чиселc1, …, cn

n n

справедливо неравенство ∑∑ck cibx (tk ,ti )≥ 0;

k =1 i=1

в)неравенствоКоши–Буняковского: bx(t1,t2 )≤ bx(t1,t1)bx(t2 ,t2 ); г) для стационарного процесса bx (t)≤ bx (0) = σx2 .

2.2. Случайные процессы x(t) и η(t) заданы математическими ожиданиями ax(t) и aη(t), корреляционными bx(t1, t2) и взаимными корреляционными bη(t1, t2) функциями.

Определить математическое ожидание и ковариационную функцию суммарного (разностного) процесса ζ(t) = ξ(t)±η(t).

16

2.3. Пусть энергетический спектр G(ω) стационарного процесса ξ(t) представлен в рациональном виде:

G(ω) = c (ω−α1 )...(ω−αm ) . (ω−β1 )...(ω−βn )

Доказать следующие утверждения:

а) G(ω) = G*(ω);

б) константа c вещественная;

в) все корни числителя и знаменателя, имеющие ненулевые мнимые части, входят в G(ω) в виде комплексно-сопряженных пар;

г) любой вещественный корень числителя имеет четную кратность;

д) ни один корень знаменателя не может быть вещественным.

2.4.Доказать справедливость соотношенияGz(ω)=Gξ(ω) +Gη(ω), где Gξ(ω), Gη(ω) и Gz(ω) – соответственно энергетические спектры случайных процессов ξ(t), η(t) и ζ(t), причем ζ(t) = ξ(t) + η(t), а ξ(t)

иη(t) – независимые случайные процессы.

2.5.Для стационарно связанных процессов x(t) и η(t) доказать

справедливость равенства bξη(τ) = bηξ(–τ) и изобразить на графике возможный вид bξη(τ) и bηξ(τ).

2.6. Случайный процесс x(t) имеет вид x(t) = αcos(ω0t) + + βsin(ω0t), где α, β – независимые случайные величины; ω0 – детерминированное значение.

Определив условия, при которых процесс x(t) стационарен, найти его корреляционную функцию.

2.7. Случайный процесс η(t) задается четырьмя равноверо-

ятными реализациями: y(ω1, t) = 1; y(ω2, t) = –2; y(ω3, t) = sinπt;

y(ω4, t) = sinπt.

Найти математическое ожидание и корреляционную функцию. Является ли процесс η(t) стационарным?

2.8.Рассматривается случайный процесс ξ(t) = ξ 1exp(jω1t) +

+ξ2exp(jω2t), где ξ1 и ξ2 – комплексные случайные величины с нулевым математическим ожиданием.

17

При каких условиях ξ(t) будет стационарным? Найти корреляционную функцию стационарного процесса ξ(t). При каких условиях процесс ξ(t) будет вещественным?

2.9.Случайный процесс имеет реализации видаx(t) = A0cos(ω0t +

+ϕ), где ϕ – случайная начальная фаза, не зависящая от времени и имеющая равномерное распределение на интервале [0; 2π];

А0, ω0 – детерминированные константы. Найти корреляционную функцию.

2.10. Случайный процесс имеет реализации вида ξ(t) =

= a1exp(–c1t) + a2exp(–c2t), t ≥ 0, где a1 и a2 — некоррелирован-

ные случайные величины с нулевыми средними и дисперсиями D1 и D2; c1, c2 – детерминированные константы.

Найти математическое ожидание и корреляционную функцию процесса ξ(t).

2.11. На интервале [0; T] наблюдаются реализации случайного процесса вида

x(t) = Tt + αcosω0t +βsinω0t,

где w0 – детерминированная константа; α, β – некоррелированные случайные величины, подчиняющиеся:

а) равномерному распределению на интервале [–c; c]; б) гауссовскому распределению N(0, σ2).

Изобразить реализации процесса, выбрав значения ω0 = 2π/T и ω0 = 8π/T. Найти математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию ξ(t). Стационарен ли ξ(t)? Будет ли отвечать условию стационарности центрированный случайный процесс

ζ(t) = ξ(t) – E[ξ(t)]?

2.12. На сумматор поступают два стационарных и стационарно связанных процесса x(t) и η(t) с автокорреляционными функциями bx(τ) и bη(τ) и взаимной корреляционной функцией

bxη(Найтиτ) = bηxавтокорреляционную(τ). функцию и дисперсию процесса ζ(t) = ξ(t) + η(t), функцию взаимной корреляции процессов ζ(t) и

18

ξ(t), а также энергетический спектр ζ(t) при условии, что процессы ξ(t) и η(t) не коррелированы.

2.13. Независимые стационарные процессы ξ(t) и η(t), имеющие корреляционные функции bξ(t) и bη(t) соответственно, поступают на входы перемножителя, образуя на его выходе процесс

ζ(t) = ξ(t)η(t).

Найти:

а) корреляционную функцию bζ(t) и энергетический спектр Sζ(ω) процесса ζ(t);

б) взаимную корреляционную функцию bζξ(t) процессов ζ(t) и ξ(t) и взаимный энергетический спектр Sζη(ω) процессов ζ(t) и η(t).

Рассмотреть частный случай, когда ξ(t) – гармоническое колебание ξ(t) = A0cos(ω0t + ϕ) со случайной, равномерно распределенной начальной фазой, а η(t) – белый процесс с корреляционной функцией bη(τ) = N0 δ(τ)/2.

2.14. Гауссовские стационарные и стационарно связанные процессы ξ(t) и η(t) имеют нулевые средние, одинаковые автокорреляционные функции bξ(τ) = bη(τ) = σ2r(τ), r(0) = 1, и четную взаим-

ную корреляционную функцию bξη(τ) = bξη(–τ) = σ2R(τ) = σ2R(–τ). Пусть α – значение в момент времени t1 процесса ξ(t) + η(t),

а β – значение в момент t2 процесса ξ(t) – η(t). Записать совместное распределение α и β.

2.15. Какие из функций не могут быть корреляционными функциями стационарного случайного процесса, рассматриваемого на интервале [0; T], и почему:

19

2.16. Являются ли стационарными (в узком и широком смыслах) гауссовские случайные процессы с нулевым средним и следующими корреляционными функциями:

2.17. Является ли гауссовский процесс с нулевым средним

константы, строго стационарным?

2.18. Показать, что изменение в а раз масштаба аргумента корреляционной функции случайного процесса влечет за собой изменение спектральной плотности мощности в соответствии с равенством

Ga (ω) = Ga (ωa / a) .

Привести примеры.

2.19.Стационарный сигнал ξ(t) с корреляционной функцией

bξ(τ) подается на линию задержки так, что сигнал на выходе имеет вид ζ(t) = ξ[t – a(t)], где a(t) – заданная функция времени.

Чему равна корреляционная функция ζ(t)? Стационарен ли сигнал ζ(t)? Как изменится ситуация, если a(t) = –kt, k = const. Найти

вэтом случае энергетический спектр выходного сигнала.

2.20.С помощью прямого преобразования Фурье найти энерге-

тический спектр Gξ(ω) стационарного процесса ξ(t), если его корреляционная функция bξ(τ) имеет вид:

а) bx (t) = N20 δ(t), N0 > 0;

20