Общая теория связи. Случайные процессы непрерывного времени сборник задач и упражнений. Практикум

4.1. Записать соотношения между одномерными моментными функцияминавходеивыходелинейногоустройства.Вчастности, показать, что для математического ожидания выполняется соотношениеE[h(t)]= ∫t E[x(t − t)]h(t)dt .

0

4.2. На вход линейного устройства, описываемого импульсной характеристикой h(t), поступает стационарный процесс ξ(t) с математическим ожиданием mξ.

Каково математическое ожидание процесса η(t)? Является ли выходной процесс стационарным?

4.3. Записать соотношение, связывающее входную и выходную корреляционные функции случайных процессов ξ(t) и η(t) соответственнонавходеивыходелинейногоустройствасимпульсной характеристикой h(t). Конкретизировать это соотношение для варианта, когда входной процесс стационарный.

4.4. На вход линейной системы со спектральной характеристикой H(ω) воздействует стационарный процесс ξ(t), характеризуемый энергетическим спектром Gξ(ω).

Чему равна дисперсия процесса на выходе?

4.5. Спектральная характеристика H(ω) имеет вид:

Баттерворта второго порядка).

Найти и изобразить импульсную характеристику h(t).

4.6. Стационарный процесс ξ(t) с постоянным энергетическим спектром N0 /2 воздействует на вход:

а) простейшей интегрирующей RC-цепи;

б) простейшей дифференцирующей RC-цепи;

в)одиночногоколебательногоконтурасбольшойдобротностью.

41

Найти корреляционную функцию, энергетический спектр и дисперсию процесса ζ(t) на выходе цепи. Является ли выходной процесс непрерывным, дифференцируемым?

4.7.Стационарныйпроцессξ(t),энергетическийспектркоторо-

го имеет постоянное значение N0 /2 в полосе |ω| ≤ Ω, воздействует на вход простейшей RC-цепи:

а) интегрирующей; б) дифференцирующей.

Найти дисперсию процесса ζ(t) на выходе цепи.

4.8.На вход идеального полосового фильтра с центральной частотой ω и полосой пропускания 2Ω поступает белый шум с двух-

сторонней спектральной плотностью G(ω) = N0 /2.

Найтикорреляционнуюфункциювыходногопроцесса,атакжевзаимную корреляционную функцию входного и выходного процессов.

4.9.Стационарный процесс x(t) с корреляционной функцией

bx (t) =σ2 exp(−α|t|)воздействует на фильтр нижних частот со спектральной характеристикой вида:

а) H (ω) = H0, |ω|≤ W;

0, |ω|> W;

Найти дисперсию выходного процесса.

4.10. На вход фильтра Баттерворта второго порядка, описываемого спектральной характеристикой

поступает белый шум, имеющий спектральную плотность средней мощности, равную N0/2.

Определить корреляционную функцию и дисперсию процесса η(t) на выходе фильтра.

42

4.11.На вход интегрирующей RC-цепи подается белый шум со

спектральной плотностью мощности N0 /2.

Найти постоянную времени τ = RC, при которой в установившемся режиме вероятность превышения отсчетом выходного случайного процесса заданного порогового уровня U не превышает значения р.

4.12.На простейшую интегрирующую RC-цепь воздействует стационарный сигнал ξ(t) с корреляционной функцией

b(τ) = b0exp(–α |τ|).

Найти корреляционную функцию, энергетический спектр

идисперсию процесса ζ(t) на выходе цепи.

4.13.Через интегрирующую RC-цепь с постоянной времени

τ = RC пропускается гармонический сигнал вида ξ(t) = Umcos(ω0t + + φ), где Um, ω0 – детерминированные константы; φ – случайная величина, равномерно распределенная на интервале [0; 2π], и бе-

лый шум с двухсторонней спектральной плотностью N0/2. Найти корреляционную функцию выходного процесса в уста-

новившемся режиме и определить отношение сигнал-шум на выходе.Какспомощьюизмереннойнавыходецепикорреляционной функции оценить отношение сигнал-шум?

4.14.Непрерывный авторегрессионный процесс первого порядка. Процесс η(t) представляет собой случайное напряжение на конденсаторе емкостью C, включенном в последовательный контур с резистором сопротивлением R и внешним источником (рис. 4.1) – стационарным случайным процессом ξ(t) с математи-

ческим ожиданием mξ и корреляционной функцией bξ(τ). Записать дифференциаль-

43

б) математическое ожидание, дисперсию, ковариационную и корреляционную функции найденного решения, рассмотреть асимптотическое поведение при t → ∞.

Конкретизировать результат, когда ξ(t) – белый гауссовский шум со спектральной плотностью средней мощности N0 /2.

4.15. Непрерывный авторегрессионный процесс второго порядка. Процесс η(t) является решением дифференциального уравнения второго порядка

a2 d 2h2(t) + a1 dh(t) + h(t) =x(t) , dt dt

где ξ(t) – стационарный случайный процесс с математическим ожиданием mξ и корреляционной функцией bξ(τ).

Найти:

а) решение дифференциального уравнения при начальном условии η(0) = η0, где η0 – случайная величина, не зависящая от ξ(t); б) математическое ожидание, дисперсию, ковариационную и корреляционную функции найденного решения, рассмотреть

асимптотическое поведение при t → ∞.

Конкретизировать результат, когда ξ(t) – белый гауссовский шум со спектральной плотностью средней мощности N0 /2.

4.16. На входе блока, состоящего из параллельно включенных линий задержки (ЛЗ) на время Т и из идеального дифференцирующего устройства (рис. 4.2), действует стационарный случайный процесс ξ(t) с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией

44

4.18.Найти отно-

корреляции­ телеграфного сигнала с амплитудной A0, образованного на основе пуассоновского процесса с параметром λ, будет совпадать с коэффициентом корреляции процесса, полученного посредством пропускания белого шума со спектральной плотностью N0 /2 через интегрирующую RC-цепь с постоянной времени γ?

4.20. Стационарный гауссовский случайный процесс ξ(t) с нулевым математическим ожиданием и энергетическим спектром G(ω) подается на вход линейного фильтра, импульсная характеристика которого имеет вид прямоугольника длительностью T и амплитудой A0. В момент времени t = T на выходе фильтра наблюдают выборочное значение ξ.

Найти математическое ожидание и дисперсию ξ.

45

4.21.На входы двух фильтров с импульсными характеристика-

миh1(t)иh2(t)поступаетстационарныйпроцессскорреляционной функцией b(t).

Найти взаимную корреляционную функцию и взаимный энергетический спектр процессов на выходе фильтров. Каковы необходимые и достаточные условия некоррелированности этих процессов, если входной шум белый?

4.22.Найти совместную плотность вероятностей отсчетов, взятых в установившемся режиме в один и тот же момент времени, на выходах двух интегрирующих RC-цепочек с постоянными вре-

мени T1 и T2, на общий вход которых подается белый гауссовский шум с двухсторонней спектральной плотностью мощности N0 /2.

4.23.Процесс η(t) является решением дифференциального уравнения n-го порядка:

an d nhn(t) + an−1 d n−1nh−1(t) + + a0h(t) =x(t), dt dt

где ξ(t) – стационарный случайный процесс с математическим ожиданием mξ и корреляционной функцией bξ(τ).

Найти корреляционную функцию процесса η(t).

5. ЭРГОДИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ

При теоретическом исследовании случайных процессов обычно оперируют ансамблем реализаций, в частности, получение большинства вероятностных характеристик осуществляется посредством усреднения по ансамблю. Однако на практике за ограниченный промежуток времени можно получить, как правило, лишь одну реализацию. В связи с этим ставится вопрос о возможности работы с аналогами «ансамблевых» характеристик, но полученных на основе временного усреднения по одной реализации. В теории случайных процессов выделяют специальный класс стационарных процессов, называемых эргодическими и обладающих свойством идентичности характеристик, полученных усреднением по ансамб­

46

лю и по времени. Более строго эргодичность определяют по отношению к конкретным вероятностным характеристикам.

Пусть стационарный процесс ξ(t), характеризуемый математическим ожиданием E[ξ(t)] = mξ, дисперсией σx2 и ковариационной

функцией Bξ(τ), наблюдается на временном интервале длительности T и x(t) – наблюдаемая реализация.

Процесс ξ(t) называется эргодическим по отношению к среднему (математическому ожиданию), если

Процессξ(t)называетсяэргодическимпоотношениюкдиспер-

сии, если

Процесс ξ(t) называетсяэргодическимпоотношениюкковариа­ ционной функции, если

α, φ – независимые случайные величины, причем φ равномерно распределена на интервале [0; 2π].

Является ли ξ(t) эргодическим процессом? Если да, то по отношению к какой характеристике?

47

5.2.Вкачествестатистическойоценкиматематическогоожидания mξ стационарного процесса ξ(t) с известной ковариационной функцией Bξ(τ) рассматривается интегральное среднее наблюдаемой реализации x(t) на интервале наблюдения T:

mT = 1 T∫x(t)dt.

T 0

Является ли такая оценка несмещенной? Найти дисперсию оценки mT. При каких условиях, накладываемых на ковариационную функцию, оценка mT будет состоятельной?

5.3. Найти дисперсию среднеинтегральной оценки математического ожидания стационарного процесса ξ(t) с ковариационной функцией:

а) Bx (t) = b0 exp(−λ|t|), b0 > 0, λ > 0;

в) Bx (t) = b0 exp(−t2 / t02 ), b0 > 0, τ0 > 0;

г) Bx (t) = b0 cos(ω0t), b0 > 0, ω0 > 0;

д) Bx (t) = b0 sin(2πFt) , b0 > 0, F > 0;

2πFt

е) Bx (t) = b0δ(t), b0 > 0.

Рассмотреть варианты «г» и «д» с предельными значениями параметров.

5.4. В качестве статистической оценки дисперсии σx2 стационарного гауссовского процесса ξ(t) с известной ковариационной функцией Bξ(τ) рассматривается

σ2 = 1 T∫(x(t)− m )2 dt ,

T T 0 x

где mξ – математическое ожидание процесса, которое считается известным.

48

Является ли такая оценка несмещенной? Найти дисперсию оценки σT2 . При каких условиях, накладываемых на ковариационную функцию, оценка σT2 будет состоятельной?

5.5. Найти дисперсию величины

являющейся оценкой дисперсии стационарного гауссовского процесса ξ(t) с ковариационной функцией (mξ – известное математическое ожидание):

а) Bx (t) = b0 exp(−λ|t|), b0 > 0, λ > 0;

в) Bx (t) = b0 exp(−t2 / t02 ), b0 > 0, τ0 > 0;

г) Bx (t) = b0 cos(ω0t), b0 > 0, ω0 > 0;

д) Bx (t) = b0 sin(2πFt) , b > 0, F > 0;

2πFt 0

е) Bx (t) = b0δ(t), b0 > 0.

Рассмотреть варианты «г» и «д» с предельными значениями параметров.

5.6.Привести пример стационарного процесса, который эргодичен по отношению:

а) к своему математическому ожиданию, но не эргодичен по отношению к своей дисперсии;

б) своей дисперсии, но не эргодичен по отношению к своему математическому ожиданию.

5.7.В качестве оценки дисперсии σx2 стационарного гауссов-

ского процесса ξ(t) с известной ковариационной функцией Bξ(τ) рассматривается

49

где mT – среднеинтегральная оценка математического ожидания,

mT = 1 T∫x(t)dt.

T 0

Является ли такая оценка несмещенной? Найти дисперсию оценки σT2 . При каких условиях, накладываемых на ковариацион-

ную функцию, оценка σT2 будет состоятельной?

5.8. В качестве статистической оценки ковариационной функ-

h(t) = ∫x(t)dt?

0

50