Общая теория связи. Случайные процессы непрерывного времени сборник задач и упражнений. Практикум

б) bx (t) = b0 exp(−λ|t|), b0 > 0, λ > 0; в) bx (t) = b0 exp(−γ2t2 ), b0 > 0, γ > 0;

n

д) bx (t) = ∑σ2k cosωk t;

k =1

е)

ж) bx (t) = b0 exp(−α|t|) 1+α|t|+13α2t2 .

2.21. С помощью обратного преобразования Фурье найти корреляционнуюфункциюbξ(τ)стационарногопроцессаξ(t),еслиего энергетический спектр Gξ(ω) имеет вид:

г) Gx (ω) = 2b0T sinωωTT , b0 > 0, T > 0.

2.22. Энергетический спектр стационарного случайного процесса

Gx (ω) = ω4 +1ω2 +1 .

21

Найти корреляционную функцию.

2.23. Чем отличаются спектральные плотности мощности процессов с корреляционными функциями:

а) b(t) =σ2 exp (−α|t|); б) b(t) =σ2 exp (−2α|t|);

в) b(t) =σ2 exp(−α|t|)cosω0t; г) b(t) =σ2 exp(−α|t|)cos2ω0t; д) b(t) =σ2 exp(−2α|t|)cosω0t ;

2.24. Рассматривается пуассоновский сигнал π(t) – целочисленный случайный процесс с независимыми приращениями, для которого вероятность того, что будет принято значение, равное k (k = 0, 1, …), определяется выражением

P[π(t) = k]= (λkt!)k exp(−λt), λ > 0.

Найти математическое ожидание, дисперсию и корреляционнуюфункциюпуассоновскогосигнала.Являетсялитакойпроцесс стационарным?

2.25. Решить предыдущую задачу для телеграфного сигнала h(t) =α(−1)π(t) , где π(t) – пуассоновский сигнал (см. задачу 2.24);

α – не зависящая от пуассоновского сигнала случайная величина, равновероятно принимающая значения ±1.

2.26. Чему равен энергетический спектр рассмотренного в предыдущей задаче телеграфного сигнала?

22

2.27.Случайный процесс ξ(t) принимает постоянные значения

ξk в моменты времени tk,совокупность которых образует пуассоновский поток с параметром λ. При этом значения ξk:

а) независимы, имеют нулевое среднее и дисперсию σ2;

б) равновероятно равны ±A0.

Найти корреляционную функцию и энергетический спектр процесса.

2.28.Стационарный узкополосный нормальный процесс ξ(t) с

корреляционной функцией Rx (t) =σ2 exp(−αt2 )cos(ω0t) складывается с независимым от него случайным гармоническим колебаниемh(t) = Acos(ωt + ϕ), где A и φ имеют совместное распределение

Найти корреляционную функцию процесса ζ(t) = ξ(t) + η(t),

атакже распределение значений его огибающей.

2.29.Генератор шума дает случайное напряжение, имеющее равномерную спектральную плотность мощности в диапазоне [0; W]. Полосу W уменьшили в два раза.

Как нужно изменить усиление сигнала на выходе генератора, чтобы действующее значение (т. е. мощность) шума осталось неизменным?Изобразитькорреляционныефункциишумадляобоих вариантов.

2.30.Стационарный случайный процесс x(t) с плотностью ве-

роятности отсчетных значений wx(x), корреляционной функцией bx(τ) и энергетическим спектром Gx(ω) записан, а затем воспроизведен с вдвое большей скоростью.

Как изменятся корреляционная функция, энергетический спектр и плотность вероятности отсчетов получившегося процесса?

23

2.31. Стационарный гауссовский процесс имеет равномерную спектральную плотность мощности в полосе шириной F:

Показать, что отсчеты процесса в моменты времени, отстоящие друг от друга на величину Dt =k/(2F), k = 1, 2, ..., независимы.

2.32.Найти дисперсию суммы N выборочных значений из стационарного случайного процесса с корреляционной функцией b(t) = σ2 exp(–a|τ|), взятых с интервалом ∆τ.

2.33.Случайный процесс x(t) имеет нулевое среднее и диспер-

сию σ2x. Процесс η(t) образуется в результате запоминания на время Т взятых с интервалом Т выборочных значений процесса x(t),

т. е. η(t) = x(nT), nT ≤ t ≤ (n + 1)T.

Считая Т значительно превышающим время корреляции процесса x(t), найти корреляционную функцию процесса η(t) и функцию взаимной корреляции процессов x(t) и η(t).

2.34.Рассматривается разностьΔ(t, t1) = ξ(t + t1) – ξ(t) двух значений стационарного процесса ξ(t) в различные моменты време-

ни. Пусть aξ – математическое ожидание, bξ(τ) – корреляционная функция процесса ξ(t).

Найти:

а) математическое ожиданиеΔ(t, t1);

б) корреляционную функцию и дисперсиюΔ(t, t1);

в) взаимную корреляционную функцию междуΔ(t, t1) и ξ(t); г) энергетический спектрΔ(t, t1);

д) взаимный энергетический спектр между ξ(t) иΔ(t, t1).

2.35.Гауссовский узкополосный процесс представлен в квадратурном виде: z(t) =x(t)cosω0t + h(t)sinω0t , где гауссовские ква­

дратурные­ компоненты ξ(t) и η(t) имеют нулевое математическое ожидание,одинаковуюдисперсиюσ2,стационарныистационарно связаны. Автокорреляционная функция обоих процессовr(τ); взаи­ мокорреляционная функция обоих процессов bxh(t) = b(t).

24

Записать:

а) ковариационную матрицу M совместного четырехмерного распределения процессов ξ(t) и η(t), найти ее определитель и обратную матрицу;

б) совместное четырехмерное распределение процессов ξ(t) и η(t) в явном (нематричном) виде в моменты времени t

и t + τ;

в) совместное четырехмерное распределение огибающей ρ(t) = x2 (t)+h2 (t) и начальной фазы tgϕ(t) =x(t)h(t) в момен-

ты времени t и t + τ.

Найти двумерное распределение огибающей для произвольного значения τ и при τ → ∞.

2.36. Найти одномерную и двумерную плотности распределения, а также корреляционную функцию случайного процесса x(t) =αcos(ωt −ϕ), где ω – детерминированный параметр, α под-

чиняется релеевскому распределению R(σ), а независящая от нее случайная величина φ распределена равномерно на интервале

[0; 2π].

2.37. Пусть ξ и η – независимые гауссовские величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. На интервале наблюдения [0; T] формируется процесс

z(t) =xcosπTt + hsin πTt .

Найти корреляционную функцию процесса ζ(t). Является ли он стационарным?

2.38.Вусловияхпредыдущейзадачирассматриваютсятрислучайные величины, полученные из процесса ζ(t) посредством наблюдения в моменты t = 0, t = T/2, t = T/4.

Записать ковариационную матрицу для этих величин. Существует ли обратная матрица?

2.39.Помехи в канале описываются двумя совместно гауссовскимистационарнымипроцессами ν1(t) и ν2(t)снулевымиматема-

25

тическими ожиданиями, автокорреляционными функциями

Rk (t) = sinπtπt , k = 1, 2,

и взаимной корреляционной функцией

R12 (t) = sin2ππtt .

Найтисовместноераспределениеслучайныхвеличинξ1, ξ2 и ξ3, формируемых следующим образом: x1 = ν1 (t = 0); x2 = ν2 (t = 0);

x3 = ν2(t = 0) .

2.40. Пусть mξ – математическое ожидание, а bξ(τ) – корреляционная функция стационарного гауссовского процесса x (t).

Найти моментные функции:

а) E[x(t1)x(t2)x(t3)x(t4)];

б) E x2 (t1 )x2 (t2 ) .

3. ПРОИЗВОДНАЯ И ИНТЕГРАЛ ОТ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

Понятия непрерывности и дифференцируемости процесса связаны с предельными вероятностными операциями, основанными на различныхпонятияхсходимости,изкоторыхдляпрактическихцелей наиболее широко используется сходимость в среднеквадратическом.

Процесс x(t) называется непрерывным (в среднеквадратиче-

ском) в момент t, если

Процесс η(t) = ξʹ(t) называется (среднеквадратической) произ-

водной случайного процесса ξ(t), если

26

Определенным (в среднеквадратическом) интегралом от слу-

чайного процесса ξ(t) называется случайная величина

a

к которой сходится в среднеквадратичном последовательность {ξn} случайных величин, представляющих собой интегральные суммы:

В общем случае рассматривается интеграл вида

a

где h(t, τ) — заданная функция двух аргументов.

Неопределенным интегралом от случайного процесса ξ(t) на-

зывается случайный процесс

a

3.1. Пусть ax (t) – математическое ожидание процесса ξ(t). Показать, что математическое ожидание производной η(t) = ξʹ(t)

равно ax′(t) .

3.2.Доказать, что критерием среднеквадратической непрерывности стационарного процесса является непрерывность в нуле его корреляционной функции (т. е. существование его дисперсии).

3.3.Доказать, что критерий среднеквадратической дифференцируемости стационарного процесса – существование в нуле второй производной его корреляционной функции. При этом

bx′(t) = − d 2bx2(t) , dt

где bx′(t) – корреляционная функция производной.

27

Чему равна дисперсия производной?

3.4.Пусть ξ(t) – стационарный, дифференцируемый в среднеквадратическом процесс.

Доказать, что для любого фиксированного t значения процесса

иего производной не коррелированы.

3.5.Показать, что математическое ожидание производной стационарного процесса равно нулю.

3.6.Доказать, что критерием существования среднеквадратического определенного интеграла является сходимость обычного интеграла:

b b

bz (t1,t2 ) = ∫∫h(t1,t1 )h(t2 ,t2 )bx (t1,t2 )dt1dt2 .

aa

3.7.Найти взаимную корреляционную функцию процесса ξ(t),

заданного корреляционной функцией bξ(t1,t2), и его определенного интеграла ζ(t).

3.8.Пусть Gξ(ω) – энергетический спектр стационарного процесса ξ(t).

Найти энергетический спектр производной процесса.

3.9.На конденсатор емкостью С начиная с момента времени t = 0 воздействует ток i(t), представляющий собой случайный процесс с нулевым средним и спектральной плотностью мощности

G(f ) = N0 /2.

Найти дисперсию напряжения на конденсаторе.

3.10. Стационарный случайный процесс ξ(t) имеет корреляционную функцию

bx (t) = σ2 sint t .

Найти корреляционную функцию, дисперсию и энергетический спектр процесса

h(t) = dxdt(t) .

28

3.11. Найти математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию производной случайного процесса:

a) x(t) =αcos(ω0t + ϕ), где φ распределена равномерно на ин-

тервале [0; 2π], а не зависящий от φ параметр α подчиняется релеевскому распределению с параметром σ;

б) x(t) =βexp(−γt), t > 0, где β имеет гауссовское распределение

с математическим ожиданием aβ и дисперсией σβ2 , а не зависящий

от β параметр γ – равномерное распределение на интервале [0; c]. 3.12. Корреляционная функция центрированного случайного

процесса ξ(t) имеет вид bx(τ) = exp(–ατ2). Найти корреляционную функцию процесса

h(t) =x(t)+ dxdt(t) .

3.13.Корреляционная функция процесса ξ(t) имеет вид bξ(τ) =

=σ2 (1+α|t|+α2t2 /3)exp(−α|t|).

Найти взаимную корреляционную функцию процесса ξ(t) и его производной

h(t) = dxdt(t) .

3.14. Случайный процесс x(t) имеет математическое ожидание E[x(t)] = t2 – 1 и корреляционную функцию bx(t1, t2) =

= b0 exp −c(t2 −t1 )2 .

Найти математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию процесса:

а) h(t) = tx(t)+t2 +1;

б) h(t) = b0t dxdt(t) + (1−t)2 ;

в) h(t) = d 2x2(t) +1. dt

29

3.15. Определить энергетический спектр Gh(ω) случайного процесса

h(t) = ax(t)+b dxdt(t) ,

где a, b – детерминированные константы; ξ(t) – стационарный процесс с нулевым средним и корреляционной функцией Rbx(τ) = = σ2exp(–α|τ|).

3.16. Показать, что производная η(t) = xʹ(t) гауссовского процесса ξ(t) с математическим ожиданием aξ(t) и корреляционной функцией bx(t1, t2) также является гауссовским процессом. Чему равны математическое ожидание и дисперсия η(t)?

3.17. Стационарный гауссовский процесс ξ(t) с нулевым математическим ожиданием характеризуется корреляционной функцией bx(τ).

Записать двумерное распределение производной η(t) = xʹ(t). 3.18. Случайный процесс x(t) задан корреляционной функцией

bx(t1, t2).

Найти взаимную корреляционную функцию процесса x(t) и его производной η(t) = xʹ(t).

3.19. Стационарный процесс x(t) характеризуется корреляционнойфункциейbx(τ)и(собственным)энергетическимспектромGx(ω).

Для процесса x(t) и его производной η(t) = xʹ(t) найти: а) взаимную корреляционную функцию; б) взаимный энергетический спектр;

в) связь между взаимной корреляционной функцией и собственным энергетическим спектром.

Показать,чтоη(t)иx(t)некоррелированывсовпадающиемоменты времени.

3.20. Стационарный гауссовский процесс x(t) с нулевым математическим ожиданием характеризуется корреляционной функцией bx(τ).

Записать совместное двумерное распределение процесса x(t) и его производной η(t) = xʹ(t) в моменты времени t и t + τ.

30