Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Общая теория связи задачи и задания. Учебное пособие
.pdf
Постройте график характеристики. Найдите коэффициент гармо-
x
x
x
ник для случая, когда на вход усилителя воздействует гармоническое
колебание амплитуды, на 5 % превосходящее значение
Канал с аддитивным гауссовским шумом (АГШ) описывается
14.5.
выражением () () (),
циент передачи канала, ( )
ходе канала, ( )
zt xt t где
t – сигнал на входе, ( )zt – процесс на вы-
t – гауссовский случайный процесс, стационарный в
– частотно-независимый коэффи-
широком смысле и имеющий нулевое среднее и дисперсию
гая, что сигнал ()
случайный процесс с нулевым средним и дисперсией
t представляет собой стационарный гауссовский
определите
/.UK
2
,
2
.
Пола-
отношение сигнал/шум (ОСШ) на выходе канала (сигнал и шум считайте взаимно некоррелированными).
14.6.
В стационарном симметричном дискретном канале без памяти
ошибки при приёме различных символов являются статистически независимыми и происходят с вероятностью
r ошибок при передаче n символов подчиняется биномиальному
ния
закону
() (1 ) .
Pr Cp p
nn
rr nr
Выведите формулы определения
ош ош
.p Вероятность получе-
ош
вероятностей:
безошибочного приёма;
того, что в блоке из n символов будет ошибочно принят хотя бы
один символ;
того, что в блоке из n символов будет m и более ошибок.
15. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ
15.1. Источник сообщений вырабатывает последовательность независимых символов 0 и 1 с одинаковыми вероятностями 0,5. Определите вероятности того, что будут выработаны следующие последовательности: 111; 11111; 01010.
15.2.
Источник сообщений вырабатывает последовательность неза-
висимых символов 0 и 1 с одинаковыми вероятностями 0,5. Определите вероятность того, что на выходе источника появится последовательность из пяти одинаковых символов.
41
15.3. Источник сообщений вырабатывает последовательность неза-
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
висимых символов 0 и 1 с одинаковыми вероятностями 0,5. Каждый
символ в канале связи под действием помех может независимо от других символов с вероятностью 0,01 преобразоваться в противоположный. Определите вероятность следующих событий:
последовательность 11111 преобразуется в последовательность
10101;
последовательность 11111 преобразуется в последовательность
00000.
Источник сообщений вырабатывает последовательность неза-
15.4.
висимых символов 0 и 1 с вероятностями 0,1 и 0,9 соответственно.
Определите вероятности того, что будут выработаны последовательности 11111; 00000.
Источник сообщений вырабатывает последовательность неза-
15.5.
висимых символов 0 и 1 с вероятностями 0,1 и 0,9 соответственно.
Каждый символ в канале связи под действием помех может независимо от других символов с вероятностью 0,1 преобразоваться в противоположный. Определите вероятности получения на выходе канала последовательностей 11111; 00000; 10101.
Марковский источник сообщений вырабатывает символы
2
15.6.
и
с вероятностями 0,4, 0,5 и 0,1 соответственно. Вероятности
3
1
появления пар заданы таблицей.
x
ij
(, )
Px x
ij
x
11
0,1 0,2 0,1 0,2 0,3 0 0,1 0 0
x
12
x
13
x
21
x
22
x
23
x
31
x
32
x
33
Определите условную вероятность появления символа
15.7.
На входе дискретного канала без памяти действует источник
без памяти с алфавитом, содержащим три символа:
выходе канала вырабатываются символы
, 2, 3. Совместные ве-
1
после
1
, 2, 3. На
1
.
2
роятности пар символов определяются таблицей.
,
42
ij
j
j
B
1
2
3
1
2
3
0,1 0,05 0,15
0,2 0,01 0,03
0,09 0,15 0,22
(, )
p
Определите все условные вероятности вида (|)
Найдите безусловные вероятности символов
j
и .
Даны два дискретных источника A и
15.8.
держащими по три символа (
, 2,
1
и
3
но). В таблице заданы все совместные вероятности (, ).
p и (|).
ij
()
p и ()
p для всех i
i
p
с алфавитами, со-
, 2,
1
соответствен-
3
p
ij
i
(, )
p
ij
1
2
3
1
2
3
0,06 0,08 0,06
0,09 0,12 0,09
0,15 0,2 0,15
Проверьте, являются ли источники независимыми.
15.9. На входе двоичного дискретного однородного симметричного
канала со стиранием действует источник без памяти с алфавитом, состоящим из символов
и
1
ми. На выходе канала вырабатываются символы
щие соответственно с
и
отказ приёмника от принятия решения в пользу
, передаваемых с равными вероятностя-
2
и
1
2
1
, и символ стирания ? , означающий
2
или
1
2
, совпадаю-
.
Имеют ме-
сто следующие условные (переходные) вероятности:
| | 0, 7;PP
11 2 2
||0,01;PP
12 21
?| ?| 0,29.PP
12
43
|
B
p
p
p
p
Найдите апостериорные вероятности передачи
и 2 при приёме 1 и
1
, безусловную вероятность ошибочного
2
P
ij
символов
приёма и безусловную вероятность стирания.
15.10.
Дискретный источник без памяти вырабатывает символы
с вероятностями 0,25 и 0,75 соответственно. Определите количе-
и
2
1
ство информации, которое несёт каждый из символов. Определите количество информации, которое источник вырабатывает в среднем на
один символ.
В цифровой системе черно-белого телевидения сообщением
15.11.
является полутоновое изображение, состоящее из точек (пикселов).
Определите количество информации, содержащееся в одном изображении размерами 625×833, считая, что значения яркостей отдельных
пикселов представляют собой независимые случайные величины, которые могут принимать одно из 256 значений с равными вероятностями.
15.12.
Даны два дискретных источника А и В с алфавитами, содер-
жащими по три символа с априорными вероятностями
() ( ) ()1/3pp p и
123
()1/2;( ) ( )1/4ppp соот-
123
ветственно. Сравните энтропии источников.
Имеются два дискретных источника без памяти А и
15.13.
Априорные вероятности символов
,p априорные вероятности символов 1,
и
2
,q
q
равны
1
q
и
2
соответственно. Определите, какой источник обла-
3
и 2 источника А равны
1
и 3 источника В
2
1
дает большей неопределённостью в следующих случаях:
.
а)
б)
15.14.
с одинаковыми вероятностями. На выходе они принимаются как
2
символы
,
p
12
,
q
11
123
qq
223
;qq q
.
По каналу связи передается один из двух символов:
и
1
, причем из-за помех в среднем два символа из ста
2
или
1
принимаются неверно. Определите среднее количество информации на
один символ, передаваемое по такому каналу. Сравните с аналогичной
величиной при отсутствии помех.
44
15.15. Для двоичных дискретных источников без памяти X и Y
x
x
даны совместные вероятности символов (0)(0,1)
Px y Найдите (),HX (),HY (|),HXY (| )HY X
(1)1/3.
и (,).
HXY
15.16.
На входе дискретного канала без памяти действует источник
без памяти с алфавитом, содержащим три символа:
выходе канала вырабатываются символы
Px y Px y
,
,
1
, 2, 3. Совместные ве-
1
.
3
На
2
роятности пар символов определяются таблицей.
(, )
p
ij
1
2
3
1
2
3
0,3 0,02 0,01
0,02 0,3 0,02
0,01 0,02 0,3
Определите среднее количество информации на символ, передава-
емое по каналу.
15.17.
На входе дискретного канала без памяти действует двоич-
ный дискретный источник без памяти
сти символов равны (0) 0,6
p и (1) 0, 4 .p При передаче символа 0
по каналу ошибка происходят с условной вероятностью (1 | 0) 0, 4,
а при передаче символа 1 – с вероятностью (0 |1) 0,6.
канала источником
пию (|).
HAB Оцените качество канала.
В рассчитайте ненадежность как условную энтро-
А с алфавитом {0; 1}, вероятно-
p
p Считая выход
16. ЭФФЕКТИВНОЕ КОДИРОВАНИЕ
16.1. Символы 1,x 2,x
источника без памяти с вероятностями 1/2, 1/4, 1/8 и 1/8.
Задание:
а)
определите энтропию и избыточность источника;
б)
постройте двоичный код Шеннона – Фано и определите вероят-
ности кодовых символов 0 и 1, а также среднюю длину кодового слова
и избыточность кода;
и
3
появляются на выходе дискретного
4
45
в) постройте код Хаффмана и определите для него те же характе-
x
x
ристики;
проверьте, являются ли коды оптимальными.
г)
16.2. Символы
,x 2,x
1
и
3
появляются на выходе дискретного
4
источника без памяти с вероятностями 0,35, 0,30, 0,25 и 0,1.
а)
определите энтропию и избыточность источника;
б)
постройте двоичный код Шеннона – Фано и определите вероят-
ности кодовых символов 0 и 1, а также среднюю длину кодового слова
и избыточность кода;
в)
постройте код Хаффмана и определите для него те же характе-
ристики;
г)
проверьте, являются ли коды оптимальными.
16.3. Источник без памяти вырабатывает два независимых символа:
и 2 с вероятностями 0,9 и 0,1 соответственно. Постройте коды
1
Хаффмана (вариант – коды Шеннона – Фано) для отдельных символов
и групп по два символа. Найдите и сравните для двух полученных кодов:
а)
среднюю длину кодового слова;
б)
избыточность кода;
в)
вероятность появления символа 0 (1) в кодовой последователь-
ности;
г)
скорость передачи информации (длительность посылки примите
равной 1 мкс).
16.4. Для условий предыдущей задачи постройте код Хаффмана
(вариант: код Шеннона – Фано) для групп по три символа. Найдите
среднюю длину кодового слова, избыточность кода, вероятность появления символа 0 (1) в кодовой последовательности и скорость передачи информации. Сравните с аналогичными показателями для случаев
кодирования
отдельных символов и групп по два символа.
16.5. Постройте троичный код Шеннона – Фано для источника без
памяти, вырабатывающего символы
, ..., с вероятностями 0,35,
18
0,20, 0,15, 0,10, 0,08, 0,07, 0,03, 0,02. Определите энтропию и избыточ-
ность источника. Найдите среднюю длину кодового слова, избыточность кода, вероятность появления символов 0, 1 и 2 в кодовой
последовательности и скорость передачи информации (длительность
посылки примите равной 1 мкс). Оцените выигрыш в скорости передачи информации по сравнению с равномерным троичным кодом.
46
16.6. Двоичный стационарный источник без памяти вырабатывает
x
символы
и 2 с вероятностями 0,05 и 0,95 соответственно. По-
1
стройте коды Шеннона – Фано и Хаффмана для случаев кодирования
пар и троек символов. Определите избыточность полученных кодов.
17. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОЕ (КАНАЛЬНОЕ)
КОДИРОВАНИЕ
17.1. Проверьте, является ли матрица
11101 00
⎛⎞
⎜⎟
H
0111 01 0
⎜⎟
⎜⎟
11010 01
⎝⎠
проверочной для кодовой матрицы
1000101
⎛⎞
⎜⎟
0100111
⎜⎟
G
⎜⎟
0010110
⎜⎟
0001011
⎝⎠
Найдите хэммингово расстояние между всевозможными па-
17.2.
рами строк порождающей матрицы (7,4)-кода Хэмминга.
Найдите и исправьте ошибки в комбинациях (7,4)-кода Хэм-
17.3.
минга:
1001101; 0011100; 1110001.
.
17.4.
Найдите количество строк и столбцов кодовой матрицы кода
Хэмминга для
17.5.
Найдите количество разрешённых и запрещённых комбина-
ций кода Хэмминга для
17.6.
Найдите количество строк и столбцов проверочной матрицы
кода Хэмминга для
17.7.
Определите разрядность синдрома кода Хэмминга для m = 4.
Код с проверкой на чётность строится следующим образом:
17.8.
к вектору
m = 4.
( , ..., ),
x
1
k
m = 4.
m = 4.
составленному из k информационных символов,
47
,
x
x
H
приписывается справа (k + 1)-й символ
выражению
xx x
где – знак сложения по моду-
11 2
kk
... ,
x
определяемый согласно
1
k
лю 2. Запишите для этого кода порождающую матрицу. Найдите кодовое расстояние. Сколько ошибок позволяет исправлять этот код?
Сколько ошибок он позволяет обнаруживать? Как следует обозначать
этот код?
Код с повторением формируется путём n-кратного повторе-
17.9.
ния единственного информационного (двоичного) символа. Запишите
все разрешённые кодовые слова для
Запишите порождающую
7.n
матрицу. Найдите кодовое расстояние, определите свойства кода
по обнаружению и исправлению ошибок. Как следует обозначать этот
код?
В канале со стиранием каждый принятый символ считается
17.10.
либо принятым правильно, либо стёртым (решение о «стирании» символа принимается демодулятором в случае «неуверенности» в принятом сигнале). Сколько стираний позволяет исправить семизначный код
с повторением?
18. ОПТИМАЛЬНЫЙ ПРИЕМ
ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ
18.1. На выходе аналогового канала связи наблюдается колебание
(),
zt представляющее собой либо шум ()t (гипотеза
му сигнала ()
t с шумом (гипотеза
).
Считая шум гауссовским
1
с нулевым средним и среднеквадратическим отклонением (СКО) ,
а сигнал – прямоугольным видеоимпульсом амплитуды
выражения плотности вероятности мгновенного значения
для обеих гипотез.
18.2. В условиях предыдущей задачи путём взятия однократного
отсчёта было получено значение
Найдите отношение правдо-
1, 2 .za
подобия. Каким должен быть порог для принятия решения согласно
критерию максимального правдоподобия? Какое решение будет принято оптимальным демодулятором в данном случае?
18.3. В условиях задачи 18.2 известно, что априорная вероятность
присутствия сигнала в смеси ()
zt составляет 0,05, а СКО .a
),H либо сум-
0
,a запишите
z смеси ()zt
48
Найдите порог, оптимальный по критерию идеального наблюдателя.
x
Определите, какое должно быть принято решение при
0,8 .za
18.4. В дополнение к условиям предыдущей задачи учтите, что по-
тери в случае пропуска сигнала в 20 раз выше, чем в случае ложной
тревоги. Определите порог, оптимальный по критерию Байеса. Определите, какое должно быть принято решение при
0,8 .za
18.5. На выходе аналогового канала наблюдается колебание (),zt
представляющее собой либо шум (),t либо сумму сигнала ()
мом. Считая шум гауссовским с нулевым средним и СКО
прямоугольным видеоимпульсом амплитуды ,a запишите отношение
правдоподобия для выборки объёма k в пределах длительности им-
пульса (отсчёты шума считайте некоррелированными).
18.6. Запишите отношение правдоподобия для случая, когда сигнал
имеет форму импульса, показанного на рис. 18.1. Считайте шум аддитивным гауссовским с нулевым средним и СКО
отсчёты смеси (некоррелированные) берутся равномерно в пределах
интервала
(с большим «доверием»)?
(0, ). Какие отсчёты учитываются с большим весом
и
()xt
a
объём выборки k,
,
1, 2 ;za при
1, 2 ;za при
t с шу-
, а сигнал –
0
Рис. 18.1
18.7. Принимаемый сигнал представляет собой радиоимпульс амплитуды a с неизвестной начальной фазой, наблюдаемый на фоне ад-
дитивного гауссовского шума с нулевым средним и дисперсией
Запишите отношение правдоподобия для однократного отсчёта напряжения на выходе детектора огибающей. Определите порог, оптимальный по критерию Неймана – Пирсона при заданном уровне вероятности ложной тревоги
0,01.
49
и
t
2
.
18.8. Некоторое упрощение некогерентного приёмника может быть
достигнуто исключением операции извлечения квадратного корня из
суммы квадратов квадратурных компонент, которая имеет в отсут-
2
ствие сигнала распределение
с двумя степенями свободы, совпа-
дающее с экспоненциальным распределением с плотностью
1
⎧
/2
e
()
⎪
2
⎨
⎪
0, 0,
⎩
w
а при наличии сигнала – нецентральное распределение
,0;
2
с двумя
степенями свободы. Определите порог для такого приёмника, оптимальный по критерию Неймана – Пирсона при заданном уровне вероятности ложной тревоги
0,01.
18.9. Найдите импульсную характеристику согласованного фильтра
для приёма радиоимпульса прямоугольной формы и длительности
и
(начальная фаза высокочастотного заполнения равна /4). Определи-
те форму отклика согласованного фильтра на этот сигнал.
18.10. Найдите импульсную характеристику согласованного фильтра для приёма радиоимпульса пилообразной формы с огибающей, показанной на рисунке к задаче 18.6 (начальная фаза высокочастотного
заполнения равна 0). Определите форму отклика согласованного фильтра на этот сигнал.
18.11.
Определите форму отклика фильтра, согласованного с прямоугольным радиоимпульсом, на пилообразный радиоимпульс (см.
рисунок к задаче 18.6 ), и наоборот.
19. ЦИФРОВАЯ ПЕРЕДАЧА
НЕПРЕРЫВНЫХ СООБЩЕНИЙ
19.1. Покажите, что дисперсия шума квантования равна 2/12,
если его распределение равномерно в интервале от /2 до /2.
19.2. Дан 10-разрядный аналого-цифровой преобразователь с дина-
мическим диапазоном ±5 В. Определите:
а) ширину шага квантования;
б) среднеквадратическое отклонение шума квантования;
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]