Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Общая теория связи задачи и задания. Учебное пособие
.pdf
Постройте спектральные диаграммы (амплитудную и фазовую) од-
x
x
ну под другой, соблюдая одинаковый масштаб по частотной оси. Постройте спектральные диаграммы (амплитудную и фазовую) для этого
сигнала, представленного тригонометрическим рядом Фурье.
4.2. Запишите в виде комплексного ряда Фурье сигнал
( ) sin(2 ) cos(3 / 2),yt A t B t
где
2;T T , A и B – положительные константы.
Постройте спектральные диаграммы (амплитудную и фазовую).
Постройте амплитудную и фазовую спектральные диаграммы для
представления сигнала тригонометрическим рядом Фурье.
4.3. Запишите в виде комплексного ряда Фурье сигнал
() cos( )cos(3 /2)yt A t t ,
где
2;T
T , A и B – положительные константы. Постройте
спектральные диаграммы (амплитудную и фазовую).
Постройте спектральные диаграммы (амплитудную и фазовую) для
представления сигнала тригонометрическим рядом Фурье.
4.4. Найдите спектральную плотность прямоугольного импульса
(/ ),Ar t где () ( 1/2) ( 1/2),rt t t 0, 0A – постоянные.
Постройте графики временной функции и спектральной плотности.
Постройте в тех же масштабах графики временной функции и спектральной
плотности импульса (2 / ).Ar t
4.5. Найдите спектральную плотность сигнала () ().
tt Построй-
те график. Используя результат, найдите спектральную плотность
функции Хэвисайда.
t
te t
4.6. Найдите спектральную плотность сигнала () (),
Постройте графики модуля и аргумента спектральной плот-
0.
ности.
4.7. Найдите спектральную плотность сигнала
() ,
xt e 0.
t
Постройте графики модуля и аргумента спектральной плотности.
21
4.8. Постройте график импульса, описываемого выражением
x
⎧
()
st
⎛⎞
2
t
At
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎜⎟
и
⎝⎠
⎛⎞
2
1,0 ;
At
⎜⎟
⎝⎠
0 в остальных случаях.
1, 0;
и
2
t
и
и
2
Определите спектральную плотность импульса, используя свойства
преобразования Фурье (теоремы дифференцирования и интегрирования); постройте её график. Найдите спектр периодической последовательности таких импульсов с периодом повторения
повторения
2;T с периодом повторения и4.T
и
;T с периодом
и
4.9. Постройте график импульса, описываемого выражением
и
2
и
2
и
()
st
2
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
t
,0 ;
At
и
⎛⎞
2
t
2, ;
At
⎜⎟
и
⎝⎠
0 в остальных случаях.
Определите спектральную плотность, используя результат решения
предыдущей задачи и свойства преобразования Фурье.
4.10. Найдите сигнал, который имеет спектральную плотность
()
Sf
SFfF
⎧
000
⎨
0 в противном случае.
⎩
при ;
Постройте графики сигнала и его спектральной плотности.
4.11. Найдите спектральную плотность сигнала
() cos(2 ) (),
te ftt 0.
t
0
Постройте графики модуля и аргумента спектральной плотности.
22
4.12. Найдите спектр относительно базиса
N
2
⎧⎫
⎪⎪
⎨⎬
⎪⎪
⎩⎭
jkt
1
T
ek
,,
T
следующих сигналов из
,;
At
ии
,;
22
TT
22
а)
б)
в)
г)
()
xt
()
yt
ut
()
()
vt
⎧
⎪
⎨
⎪
0 в противном случае;
⎩
⎧
At t
⎪
⎨
⎪
0 в противном случае;
⎩
⎧
At t
||, ;
⎪
⎨
⎪
0 в противном случае;
⎩
⎧
,;
At t
⎪
⎨
⎪
0 в противном случае.
⎩
ии
22
ии
22
/2; /2LT T при
2
:T
и
4.13. Постройте график пачки импульсов прямоугольной формы,
описываемой выражением
⎧
,,,;
AkT tkT kNN
⎪
()
yt
⎨
⎪
0 в противном случае,
⎩
ии
пп
22
при 1N . Определите спектральную плотность при произвольном
целом .
4.14. Определите спектральную плотность колокольного импульса
2
t
2
2
() .
st Ae
a
(Воспользуйтесь приёмом, называемым приведением
к полному квадрату, см. справочные материалы.)
23
5. АНАЛИЗ ЛИС-ЦЕПЕЙ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ
j
R
L R
L
R
ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
(СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД)
5.1. Комплексная частотная характеристика ()Hf линейной ста-
ционарной цепи может быть найдена как отношение выходного
и входного сигналов, если входным сигналом является комплексное
2
fte
.
гармоническое колебание
рис. 5.1. Постройте графики АЧХ и ФЧХ.
L
Найдите КЧХ цепей, показанных на
Рис. 5.1
5.2. Найдите КЧХ последовательного контура, показанного на
рис. 5.2. Постройте графики АЧХ и ФЧХ.
Рис. 5.2
5.3. Определите амплитуду и начальную фазу колебания на выходе
интегрирующей RC-цепи (рис. 3.3, а) с параметрами R = 1 кОм,
= 0,1 мкФ, если на его вход воздействует гармоническое колебание
C
с амплитудой 1 В, частотой 1,5 кГц и начальной фазой /4.
24
C
5.4. Определите амплитуду и начальную фазу колебания на выходе
f
f
цепи, схема которой показана на рис. 5.1, б, с параметрами R = 100 Ом,
L = 1 мГн, если на его вход воздействует гармоническое колебание с
амплитудой 0,1 В, частотой 20 кГц и начальной фазой
Определите количество спектральных составляющих перио-
5.5.
/4.
дической последовательности прямоугольных импульсов с амплитудой 5В,A периодом 0,001T с и длительностью
и
0,0001,
укладывающихся в полосу пропускания идеального фильтра нижних
частот с граничной частотой 10 кГц (подразумевается комплексный
ряд Фурье).
6. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ СИГНАЛОВ.
АНАЛИТИЧЕСКИЙ СИГНАЛ
6.1. Дискретизации подлежит аналоговый сигнал, спектральная
плотность которого лежит в полосе частот 300…3400 Гц (стандартная
полоса для телефонной связи). Определите требуемый шаг дискретизации и частоту дискретизации. Постройте график КЧХ идеального
интерполирующего фильтра, предназначенного для восстановления
аналогового сигнала. Постройте график импульсной характеристики
этого фильтра с указанием масштабов по осям.
6.2.
При амплитудной модуляции речевым сигналом несущего ко-
лебания с частотой 10 МГц получается сигнал, занимающий полосу
частот от 9 996 600 до 10 003 400 Гц. Определите частоту дискретизации исходя из верхней частоты модулированного сигнала.
0,001
Сигнал со спектральной плотностью
6.3.
подвергается дискретизации с частотой
FT
() 0,1
Xf e
1/ 10 000
dd
делите энергию аналогового сигнала и энергию ошибки восстановления сигнала с учётом явления подмены частот. (Интерполирующий
фильтр считайте идеальным.)
6.4.
Найдите минимальную частоту дискретизации сигнала со
0,001
спектральной плотностью
()
Xf Ae
В/Гц из условия, чтобы
энергия ошибки восстановления сигнала по отсчётам не превосходила
1 % от энергии сигнала.
6.5.
Применение противоподменного (противомаскировочного)
фильтра нижних частот, ограничивающего ширину спектра сигнала до
В/Гц
Гц. Опре-
25
дискретизации, позволяет уменьшить энергию ошибки восстановления
вдвое (при идеальном интерполирующем фильтре). Определите минимальную частоту дискретизации для условий предыдущей задачи при
использовании противоподменного ФНЧ.
Узкополосный сигнал занимает полосу частот от 9900 до
6.6.
10 100 кГц. Определите полосу частот, занимаемую квадратурными
компонентами и комплексной огибающей. Определите минимальную
частоту дискретизации данного узкополосного сигнала, позволяющую
восстановить его без потери информации. Дискретизацию и интерполяцию считайте идеальными.
Определите частоту дискретизации для условий задачи 6.2, ис-
6.7.
ходя из ширины спектра модулированного сигнала.
7. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ВЕЛИЧИНЫ
7.1. Видеозапись объёмом 1,5 гигабайта передается по цифровому
каналу связи с помехами. Какой должна быть допустимая вероятность
ошибки при приёме одного двоичного символа, чтобы вероятность
безошибочного приёма видеозаписи в целом составляла 99 %? (Ошибки при приёме отдельных символов считайте независимыми.)
По каналу связи с помехами передаётся сигнал, соответствую-
7.2.
щий символу 0 или 1 с вероятностями 0,7 и 0,3 соответственно. Под
действием помех любой из символов может быть в приёмнике ошибочно принят за другой с вероятностью 0,1. С какой вероятностью будет принято решение о передаче символа 1?
В условиях предыдущей задачи принят символ 1. Какова веро-
7.3.
ятность того, что был передан этот же символ?
По каналу связи с помехами передается одна из двух кодовых
7.4.
комбинаций 11111 или 00000 с вероятностями соответственно 0,6 и
0,4. Из-за помех в канале каждый символ (1 или 0) может быть принят
за другой с вероятностью 0,2 независимо от соседних символов. Определите вероятность того, что будет принята комбинация 10101.
По каналу связи с помехами передаётся одна из двух кодовых
7.5.
комбинаций: 11111 или 00000 с вероятностями соответственно 0,6
и 0,4. Из-за помех в канале каждый символ (1 или 0) может быть принят за другой с вероятностью 0,2 независимо от соседних символов.
26
В приёмном устройстве принята комбинация 01011. Определите вероятность того, что была передана комбинация 11111.
7.6.
Преобразование случайного аналогового сигнала в цифровой
приводит к появлению шума квантования, имеющего равномерное
распределение с плотностью вида
1/ , / 2 / 2;
⎧
()
w
⎨
0 в противном случае.
⎩
Здесь – ширина шага квантования, равная значению младшего
удержанного двоичного разряда. Постройте графики плотности вероятности и функции распределения, определите математическое ожидание и дисперсию шума квантования.
7.7.
Мгновенное значение случайного процесса описывается функ-
цией распределения
1exp(2), 0;
()
Fx
⎧
⎨
0, 0.
⎩
xx
x
Найдите плотность распределения вероятностей. Постройте графики плотности распределения вероятностей и функции распределения
вероятностей (друг под другом в одном масштабе). Определите математическое ожидание и дисперсию.
7.8.
Мгновенное значение случайного процесса имеет распределе-
ние вероятностей с плотностью вида
( ) exp( 0,5 ).wx C x Найдите
константу С. Постройте графики плотности распределения вероятностей и функции распределения вероятностей (один под другим в одинаковом масштабе). Определите математическое ожидание и дисперсию.
7.9.
Определите функцию распределения вероятностей и моменты
первого и второго порядков случайной величины с плотностью
⎧
⎪
⎪
() 4( 5), 4,5 5;
wx x x
⎨
⎪
⎪
⎩
4( 4), 4 4,5;
xx
0, в остальных случаях.
27
7.10. Определите ПРВ и моменты первого и второго порядков слу-
чайных величин со следующими функциями распределения:
2
⎧
/2, 0 1;
xx
⎪
⎪
()
Fx
⎨
1,12;
а)
⎪
⎪
0, 0 или 2;
⎩
0, 0;
⎧
⎪
⎪
(2)4
б)
Fx xx
⎨
() , 0 2;
⎪
⎪
1, 2 ;
⎩
0, 0;
⎧
⎪
1
⎪
() ,0 2;
Fx x xx
в)
7.11.
⎨
4
⎪
⎪
1, 2 .
⎩
Определите функцию распределения вероятностей, моменты
первого и второго порядков и связь между величинами
2
(2)
x
x
2
xx
x
2
x
4
x
2
a , b и c для
случайной величины с ПРВ:
()
wx
caxb
⎧
⎨
0 в противном случае.
⎩
при ;
Постройте графики функции распределения и ПРВ.
Найдите вероятность превышения порога, равного единице,
7.12.
отсчётом (мгновенным значением) процесса с гауссовским распределением (математическое ожидание m = 0 и СКО )1. Сделайте то же
для порогов, равных 2 и 3.
7.13.
Найдите вероятность превышения отсчётом процесса с гаус-
совским распределением (математическое ожидание m = 2 и СКО
5)1, порога, равного 3,0.
28
8. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
x
D
x
x
f
F
x
F
8.1. Функция автокорреляции стационарного случайного процесса
a
() ,
RDe
имеет вид
где a и D – некоторые постоянные. Найди-
те спектральную плотность мощности случайного процесса. Постройте
графики. Постройте графики АКФ и СПМ для удвоенного параметра
a и неизменного
Определите интервал корреляции стационарного случайного
8.2.
процесса с АКФ
уменьшается до 0,1 своего максимального значения.
8.3.
Спектральная плотность мощности стационарного случайного
процесса ()
t имеет вид
.
a
()
RDe
как интервал, на котором АКФ
⎧
,;
С fF
⎪
()
x
⎨
0, ,
⎪
⎩
где
C и
Wf
– некоторые постоянные. Найдите автокорреляционную
функцию процесса. Постройте графики.
8.4.
Спектральная плотность мощности стационарного случайного
процесса ()
C и
где
t имеет вид
⎧
1/, ;
С fF f F
()
⎪
⎨
0, ,
⎪
⎩
fF
Wf
x
– некоторые постоянные. Найдите автокорреляционную
функцию процесса. Постройте графики.
8.5.
Реализации случайного процесса представляют собой функции
времени cos( )
чении
и случайной начальной фазе , имеющей распределение,
равномерное в интервале (0, 2 ).
t, ( , ),t при некотором фиксированном зна-
Определите, является ли процесс
стационарным и эргодическим.
8.6.
Реализации случайного процесса представляют собой функции
времени cos( )
чении
и случайной начальной фазе , имеющей распределение,
t, ( , ),t при некотором фиксированном зна-
F
29
равномерное в интервале (0, 2 ). Найдите плотность распределения
f
f
f
x
x
вероятностей мгновенного значения этого процесса.
8.7.
Белый шум со спектральной плотностью мощности
действует на интегрирующую
времени
8.8.
Определите АКФ процесса на выходе цепи.
.
ц
Спектральная плотность мощности стационарного случайного
RC-цепь (см. рис. 3.3, а) с постоянной
/2N воз-
0
процесса имеет вид
2
Wf
() .
222
4
Найдите АКФ и интервал корреляции как интервал, на котором
АКФ уменьшается до 0,1 своего максимального значения.
8.9.
Идеальный полосовой фильтр имеет коэффициент передачи,
равный единице, в полосе частот
и
стотах (здесь
– положительные константы). Найдите АКФ
0
[/2]ff
0
и 0 на остальных ча-
процесса на выходе фильтра, если на вход воздействует белый шум с
СПМ
лением, имеющим математическое ожидание
/2.N
0
8.10.
Случайный аналоговый сигнал ()
t с нормальным распреде-
m и СКО , подвергает-
ся квантованию на три уровня при помощи квантователя с характеристикой, показанной на рис. 8.1. Найдите вероятности значений
0,q
q
2
0,5
m , 0,5, 2, 5.a
квантованного сигнала при 0,m 1, 1, 5;a при
3
1
q
,q
q
3
a
a
q
1
Рис. 8.1
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]