Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы обработки гидрологической информации. Лабораторный практикум для студентов вузов, обучающихся в бакалавриате по направлению подготовки «Природо
.pdf
3. Проверка соответствия уровней
n..2:1j1n..1:1i =−=
n..3:2j2n..1:2i =−=
n..4:3j3n..1:3i =−=
926.0)Hc,Hg(corr =
1j11j
Hg1Hg =
−
1i1i
Hc1Hc =
920.0)1Hc,1Hg(corr =
2j22j
Hg2Hg =
−
2i2i
Hc2Hc =
901.0)2Hc,2Hg(corr =
3j33j
Hg3Hg =
−
3i3i
Hc3Hc =
876.0)3Hc,3Hg(corr =
1j11j
Hc1Hc =
−
1i1i
Hg1Hg =
916.0)1Hc,1Hg(corr =
2j22j
Hc2Hc =
−
2i2i
Hg2Hg =
896.0)2Hc,2Hg(corr =
3j33j
Hc3Hc =
−
3i3i
Hg3Hg =
871.0)3Hc,3Hg(corr =
( )
Hgsh
g
c
Hcs:)h(C −⋅
σ
σ
+=
1i
Индексы массивов данных
Без сдвига по времени коэффициент корреляции ежедневных уровней во-
ды в двух створах
С прямым сдвигом по времени (уровни в нижнем по течению створе, в
нашем случае – в г. Гвардейске, берутся позже):
На 1 день
На 2 дня
На 3 дня
С обратным сдвигом по времени (уровни в верхнем створе, в нашем слу-
чае – в г.Черняховске, берутся позже):
На 1 день
На 2 дня
На 3 дня
Наибольший коэффициент корреляции между уровнями в двух створах –
без сдвига по времени.
4. Уравнение линейной регрессии
Средние значения измеренных величин
Hcs : = mean(Hc) = 7.611 Hgs : = mean(Hg) = 0.629
Средние квадратические отклонения измеренных величин
σc : = Stdev(Hc) = 0.902 σg : = Stdev (Hg) = 0.461
Так как обе величины являются случайными, найдем уравнение средней
линии между уравнениями прямой и обратной регрессии
Среднее квадратическое отклонение результатов измерений уровня воды
р. Преголи в г.Черняховске от линейной зависимости C(h) (м)
:1
=σ
−
1
n
∑
2n
=
( )( )
2
ii
347,0HgCHc
=−⋅
81
Относительное среднее квадратическое отклонение восстановления уров-
( )
57.4
HgC
Hc
1
2n
1
100:1
n
1i
2
i
i
=
−⋅
−
⋅=ε
∑
=
( )
∑
=
=−=
n
1i
2
i
21.77HgsHg:SO
( )
SO
Hgsh
n
1
1t)h(C:)h(1f
2
−
+⋅σ⋅γ−=
( )
SO
Hgsh
n
1
1t)h(C:)h(2f
2
−
+⋅σ⋅γ+=
ней воды р. Преголи в г.Черняховске по результатам измерений уровня в
г. Гвардейске в 2009 г. по линейной зависимости C(h) составит (%)
Сумма квадратов отклонений результатов измерений уровня воды р. Пре-
голи в Гвардейске от среднего выборочного значения (м
Нижний и верхний доверительные интервалы для уравнения линейной
регрессии (tγ:=1.96)
2
)
,
.
Рис. 11.3. Связь уровней (м) р. Преголи в створе г. Черняховска Нс
и г. Гвардейска Hg: точки – данные наблюдений; сплошная линия – уравнение
линейной регрессии; штриховые линии – его доверительный интервал
Выводы:
1. Уровни р. Преголи в створах г. Гвардейска и Черняховска в 2009 г. имели
тесную стохастическую связь, приближающуюся к линейной функциональной.
82
2. Наиболее тесная связь – без сдвига по времени с коэффициентом корре-
ляции r = 0,926.
3. Средний уклон водной поверхности между гидростворами изменялся от
12,1 см/км в межень до 16,7 см/км в половодье.
4. Относительное среднее квадратическое отклонение восстановления уров-
ней воды р. Преголи в г.Черняховске по результатам измерений уровня в
г. Гвардейске в 2009 г. по линейной регрессионной зависимости составит
4,57 %.
Контрольные вопросы:
1. Как визуально оценить соответствие уровней воды в двух створах?
2. Как рассчитать средний уклон водной поверхности между створами?
3. Как изменяется в году средний уклон водной поверхности между створами?
4. Как получить уравнение линейной регрессии, связывающее ежедневные
уровни в двух створах водотока?
5. Что характеризуют доверительные интервалы для уравнения линейной
регрессии?
6. В каких источниках имеются данные о ежедневных уровнях рек России?
7. В каком случае более тесная связь между уровнями воды двух створов
получается с прямым сдвигом по времени?
8. Как рассчитать относительное среднее квадратическое отклонение вос-
становления уровней воды реки в одном створе по результатам измерений
уровня в другом створе по линейной регрессионной зависимости?
Лабораторная работа № 12.
РАСЧЕТ МАКСИМАЛЬНЫХ РАСХОДОВ ВОДОТОКА ЗАДАННОЙ
ОБЕСПЕЧЕННОСТИ
Расчетные характеристики максимального стока воды рек весеннего по-
ловодья и дождевых паводков следует определять согласно требованиям СП-
2003. Для рек с продолжительностью стояния максимальных расходов воды весеннего половодья и дождевых паводков, равной суткам и более, расчет производят по среднесуточным значениям, менее суток - по срочным расходам воды.
При прохождении максимального расхода воды между сроками наблюдений
его значение определяют на основе установления соотношения между мгновенными и среднесуточными его значениями по данным измерений других лет
с наибольшими расходами воды или по данным рек-аналогов.
При невозможности разделения максимальных годовых расходов воды на
максимумы дождевых и талых вод допускается построение кривых распределения ежегодных вероятностей превышения максимальных расходов воды независимо от их происхождения.
83
При неоднородности максимальных расходов воды используют состав-
0 /2
()
nv
xx C= ϕ
/2
n
00
xx
Cp
xx
2/n
x
2
1/vCγ=
/22n
λ
/22n
λ
/2
/2
1
/2
2
lg
/2
n
n
i
n
x
x
n
∑
λ=
/22n
λ
/22n
λ
0,01% 0,01% 0,01%
/Q EQ N∆=α
ные кривые распределения. Допускается также применение усеченных распределений, которые разработаны для частного случая, - разделение на две однородные совокупности по медианному значению. Сущность усечения кривой
распределения состоит в том, что рассматривают только верхнюю часть кривой
распределения максимальных расходов воды.
Основное расчетное выражение для оценки среднего х0 по методу при-
ближенно наибольшего правдоподобия имеет следующий вид:
/2
n
x
∑
i
x
,
1
=
/2
n
() 1
ϕ=+
,
v
2
γ
me me
1
−
, (12.1)
где
ванного ряда;
– среднеарифметическое значение верхней половины ранжиро-
.
Оценку максимального правдоподобия коэффициента изменчивости Cv
определяют через статистику
, где
– статистика, вычисляемая по верх-
ней половине ранжированного ряда (аналогично полному распределению):
. (12.2)
Порядок расчетов при использовании усеченного гамма-распределения
следующий: исходный ряд располагается по убыванию; по выражению (12.1)
находят среднее значение верхней половины ранжированного ряда x
ражению (12.2) вычисляют статистику
; по полученному значению
; по вы-
n/2
в
соответствии с табл. Б.5 [13] находят значение коэффициента Cv; по выражению (12.1) находят оценку х0.
Расчетные максимальные расходы воды зарегулированных рек определя-
ют исходя из расчетного максимального расхода воды рек в естественном состоянии с учетом изменения его в результате хозяйственной деятельности в
бассейне реки и трансформации проектируемыми или действующими водохранилищами.
К значениям расчетных максимальных расходов воды Qp% вероятностью
превышения 0,01 % следует прибавлять гарантийную поправку ∆Qp%, определяемую по формуле
где α – коэффициент, характеризующий гидрологическую изученность
рек; принимают равным 1,0 для гидрологически изученных рек, во всех остальных случаях 1,5; N – число лет наблюдений с учетом приведения к многолетнему периоду; Е
тическую ошибку расчетного расхода воды ежегодной вероятности превышения Р = 0,01 %.
Поправка ∆Q
максимального расхода Q
тийной поправки не должен быть меньше, чем наибольший наблюденный расход.
, (12.3)
– величина, характеризующая случайную среднюю квадра-
0,01%
должна приниматься равной не более чем 20 % значения
0,01%
. Принимаемый расчетный расход с учетом гаран-
0,01%
84
Задание
txt.NemanMax
)"txt.NemanMax("READPRN:W =
132)W(rows:n ==
><=τ1
W:
><=2
W:Q
1. Из гидрологических ежегодников (см., например, [2]) выбрать не менее
30 значений максимальных годовых расходов (или уровней) водотока в
заданном створе в соответствии с вариантом. Сформировать текстовый
файл и использовать его в среде Mathcad для построения графика.
2. Найти среднеарифметическое значение максимальных годовых расходов
воды, несмещенную оценку коэффициента автокорреляции между смежными членами ряда r1, среднее квадратическое отклонение, среднюю
квадратическую погрешность выборочных средних. Оценить достаточность продолжительности периода наблюдений.
3. Разбить ряд на две части. Найти выборочные средние и исправленные
выборочные дисперсии каждой части. Проверить гипотезы: о равенстве
дисперсий (по критерию Фишера); о равенстве средних (по критерию
Стьюдента). Проверить применимость модели случайной величины.
4. По методу наибольшего правдоподобия найти числовые характеристики
трехпараметрического гамма-распределения максимальных годовых расходов.
5. Построить эмпирическую и теоретическую кривую обеспеченности мак-
симальных годовых расходов. Найти максимальные годовые расходы с
вероятностью превышении: 1, 5%.
Пример выполнения лабораторной работы (р. Неман, г. Смалининкай)
Поиск и ввод данных измерений
Выбираем данные о максимальных годовых расходах р. Неман
(г.Смалининкай) из гидрологических ежегодников (например, [2]) и формируем
текстовый файл
.
Составляем программу в среде Mathcad:
ORIGIN : = 1
Считываем массив данных
Объем выборки
Индексы массивов i : = 1..n i1 : = 2..n
Формируем векторы: годы наблюдений, максимальные расходы
На рис. 12.1 показаны максимальные годовые расходы р. Неман близ
г. Смалининкай. Осреднение получено по расходам пяти смежных лет с помощью оператора
Q5 : = medsmooth(Q,5)
85
Простейшие характеристики ряда рассчитываются с помощью операто-
2675)Q(mean:Qs ==
1141)Q(Stdev: ==σ
427.0
Qs
:Cv =
σ
=
Qs
Q
:k
i
i
=
( )
156.1
Cv)2n)(1n(
1kn
Cs
3
n
1i
3
i
=
⋅−−
−⋅
=
∑
=
2682Q
1n
1
:1Qs
n
2i
i
=⋅
−
=
∑
=
2682Q
1n
1
:2Qs
1n
1i
i
=⋅
−
=
∑
−
=
( ) ( )
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
028.0
2QsQ1QsQ
2QsQ1QsQ
:1r
1n
1i
2
i
n
2i
2
i
n
2i
1ii
−=
−⋅−
−⋅−
=
∑∑
∑
−
==
=
−
( )
n
1
ров Mathcad: средний за 132 года максимальный расход, среднее квадратиче-
ское отклонение, коэффициент вариации, соответственно,
Рис. 12.1. Максимальные годовые расходы р. Неман (г. Смалининкай):
точки – данные наблюдений; сплошная линия – результат осреднения
Модульные коэффициенты и коэффициент асимметрии
Определим коэффициент автокорреляции между смежными членами ряда. Вспомогательные средние по формулам (Б.3) из [13]
Смещенная оценка коэффициента автокорреляции между смежными членами ряда по формуле (Б.2) из [13]
Несмещенная оценка коэффициента автокорреляции между смежными
членами ряда по формуле (Б.1) из [13]:
86
22
1r69.51r46.666.11r06.01r98.001.0:1R
026.0
−=⋅⋅+⋅++⋅−⋅+−=
Проверка достаточности объема ряда
75.96
1R1
1R1
n
:Qs =
−
+
⋅
σ
=∆
%6.3100
Qs
Qs
: =⋅
∆
=ε
08.0
125
1
132
Cs1R
33
1R
250
Cv
1n
1R1
:1R
22
=
−
⋅
+++
−
−
=∆
645.1)1,0,95.0(qnorm:tn ==
1R131.01Rtn:Rz >=∆⋅=
QsQ:DQ
ii
−=
i
DQ
0N
←
2
1n
:mN+=
2
1n:N−
=σ
[ ]
NtnmN;NtnmN σ⋅+σ⋅−
[ ]
75;57
Случайные средние квадратичные погрешности выборочных средних при
R1<0,5 определяют по приближенной зависимости (5.26) из [13]
.
Относительная погрешность выборочного максимального расхода
По п. 5.1 из [13] продолжительность периода наблюдений считается достаточной для максимальных и минимальных значений, если относительная
средняя квадратичная погрешность не превышает 20 %.
Проверку применимости модели случайной величины выполним по
двум критериям.
1) Нулевая гипотеза: коэффициент автокорреляции генеральной совокуп-
ности равен нулю.
Абсолютная погрешность коэффициента автокорреляции
Квантиль нормального распределения (и других распределений) может
быть найден по встроенной функции Mathcad
Критическое значение
. Следовательно, нулевая
гипотеза не отвергается.
2) Критерий общего числа серий. Сформируем массив
Серия состоит из следующих подряд элементов
одного знака. Об-
щее число серий будет равно количеству изменений знака в соседних элементах
указанного массива. Программа позволяет сосчитать это число
∈
:Ns
=
N
n..2jfor
0DQDQif1NN
<⋅+←
1jj
−
В рассматриваемом случае Ns = 66. Математическое ожидание числа серий и среднее квадратическое отклонение для случайной величины
Доверительный интервал для числа серий случайной величины
или
87
.
Так как Ns принадлежит найденному интервалу, нулевая гипотеза не от-
66:1n =
661nn:2n =−=
2666Q
1n
1
:1Qg
1n
1i
i
=⋅=
∑
=
2684Q
2n
1
:2Qg
2n
11ni
i
=⋅=
∑
+=
( )
6
1n
1i
2
i
10701.11QgQ
11n
1
:1D ×=−⋅
−
=
∑
=
( )
5
2n
11ni
2
i
10245.92QgQ
12n
1
:2D ×=−⋅
−
=
∑
+=
840.1
2D
1D
:Ff ==
( )
508.112,11,95.0: =−−= nnqFFc
1146
22n1n
2D)
12n(1D)11n(
:Sf =
−+
⋅−
+⋅−
=
091.0
2n1n
2n1n
Sf
2Qg1Qg
:Tf =
+
⋅
⋅
−
=
( )
657.12,95.0: =−= nqtTc
)Q(sort:11Q =
1ini
11Q:1Q+−=
вергается.
Разбиваем ряд на две части, так как нет причин вводить иное разбиение:
Проверка однородности ряда
;
1) Нулевая гипотеза: дисперсии двух частей ряда равны.
Выборочные средние расходы каждой части ряда
Исправленные выборочные дисперсии каждой части ряда
Параметр критерия Фишера
Критическое значение находится по встроенной функции Mathcad
Так как Ff > Fc, нулевая гипотеза о равенстве дисперсий отвергается.
2) Нулевая гипотеза: математические ожидания двух частей ряда равны.
Оценка средневзвешенной величины отклонения
.
Значение параметра для проверки гипотезы о равенстве средних расходов
Критическое значение по распределению Стьюдента
Так как Тf < Тc, нулевая гипотеза о равенстве математических ожиданий
расходов не отвергается.
Таким образом, данные выборки не противоречат гипотезе однородности,
кроме гипотезы о равенстве дисперсий.
Построим эмпирическую и теоретическую кривые обеспеченности ряда
максимальных расходов р. Неман. Сортировка гидрологического ряда по убыванию выполняется с помощью оператора
Эмпирическая ежегодная вероятность превышения расхода
88
1n
i
:P
+
( )
0864.0kln
1n
1
:2
n
1i
i
−=⋅
−
=λ
∑
=
( )
0dt)texp()tln(t
)(
b
)(
b
ln2
0
1
=
−⋅⋅⋅
αΓ
−
αΓ
+αΓ
+λ
∫
∞
−α
( )
( ) ( )
0bkkln
1n
1
)
(
b
2
n
1i
b
1
ii
b
1
=+
⋅⋅
−
⋅
αΓ
+αΓ
−λ⋅α
∑
=
( )
21
A:bA:b,Find:A ==αα=
∫
=
x
0
dt)t(f:)x(F
−⋅=
Qs
Qw
F1100:)Qw(P
( )
6044Qw,1)Qw(Proot:01Q =−=
( )
4754Qw,5)Qw(Proot:05Q =−=
=
i
100
⋅
И современные нормативные документы [13], и учебные пособия по статистической гидрологии [11] рекомендуют для построения теоретической кривой обеспеченности использовать специальные таблицы. Покажем, что можно
решить поставленную задачу с помощью нескольких операторов универсального пакета Mathcad.
В первую очередь вычислим параметр
Затем численно решим систему интегральных уравнений [10] с помощью
следующих операторов
Given
Найденные параметры позволяют записать плотность трехпараметрического гамма-распределения максимальных расходов
α
α
−
1
=
:)x(f
⋅
αΓ⋅
)(b
+αΓ
( ) ( )
αΓ
b
b
)(
1
b
−⋅⋅
expx
+αΓ
b
αΓ
)(
1
b
⋅
x
Функция распределения и теоретическая вероятность превышения (обеспеченность) максимальных расходов
;
Собственно говоря, полученная функция P(Q) позволяет находить максимальный расход любой заданной обеспеченности. Например, при Р = 1 и 5%
можно получить:
89
Но для наглядности кривая обеспеченности может быть показана на графике рис. 12.2.
Рис. 12.2. Эмпирическая (точки) и теоретическая (линия) обеспеченности мак-
симального годового расхода р. Неман (г. Смалининкай)
Выводы:
1. Продолжительность периода наблюдений достаточна, так как относи-
тельная средняя квадратическая погрешность максимального годового
расхода не превышает 20 %.
2. Данные противоречат гипотезе об однородности ряда максимальных годовых расходов, так как нулевая гипотеза о равенстве дисперсий отвер-
гается. В инженерной практике в этом случае применяется специальная
методика расчета.
3. Данные не противоречат гипотезе о равенстве нулю коэффициента автокорреляции; применима модель случайной величины.
4. Теоретическая кривая обеспеченности максимальных годовых расходов,
построенная по
трехпараметрическому гамма-распределению, согласует-
ся с эмпирической функцией обеспеченности везде, кроме самых больших расходов. При обеспеченности менее 5% между ними наблюдается
различие.
5. Теоретическая кривая обеспеченности позволяет с помощью оператора
root вычислять максимальный годовой расход заданной обеспеченности.
Контрольные вопросы
1. Как оценить достаточность длины ряда максимальных годовых расходов?
2. С помощью каких критериев проверяют однородность ряда?
3. С помощью каких критериев проверяют применимость модели случайной
величины?
4. Что такое обеспеченность (вероятность превышения) максимального го-
дового расхода водотока в заданном створе?
5. В каких проектных расчетах используется понятие обеспеченности?
6. Как получить эмпирическую кривую обеспеченности для заданного ряда?
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]