Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы обработки гидрологической информации. Лабораторный практикум для студентов вузов, обучающихся в бакалавриате по направлению подготовки «Природо
.pdf
bQokr:)Qo(Qiv +⋅=
086.0
1ni
ria1
:r
2
=
−
−
=σ
983.9
r
ria
=
σ
296.0
1ni
ria1
a
i
:k
2
=
−
−
⋅
σ
σ
=σ
k
kr
σ
( )
3ni,95.0qt:t −=γ
( )( )
335.6QaQivQi
2ni
1
:D
ni
1i
2
ii
=−⋅
−
=
∑
=
( )
23.457QasQa:SS
ni
1i
2
i
=−=
∑
=
( )
SS
Qasx
ni
1
Dt)x(Qiv:)x(1
2
−
+⋅⋅γ−=ϕ
( )
SS
Qasx
ni
1
Dt)x(Qiv:)x(2
2
−
+⋅⋅γ+=ϕ
Уравнения линейной регрессии можно рекомендовать для практических
расчетов, если выполнены условия гидрологического подобия и четыре неравенства [13]:
1) количество совместных наблюдений ni не менее 10 – выполнено;
2) коэффициент парной корреляции ria не менее 0,7 – выполнено;
3) отношение коэффициента парной корреляции ria к погрешности его
вычисления не менее 2;
4) отношение коэффициента регрессии kr к погрешности его вычисления
не менее 2.
Убедимся, что последние два условия выполнены. Погрешность вычисления коэффициента парной корреляции ria
Погрешность вычисления коэффициента регрессии kr
Коэффициент Стьюдента с доверительной вероятностью 0,95
Найдем границы доверительных интервалов уравнения регрессии и покажем их на рис. 4.1:
788.4
=
Рис. 4.1. Уравнение линейной регрессии и границы его доверительных интерва-
3
лов: Qa – расходы ряда-аналога, м
/с; Qi – восстанавливаемого ряда;
точки – данные совместных наблюдений за 10 лет
31
Генерация случайной составляющей, распределенной по нормальному за-
( )
ni..1:j1,0,nrnorm: ==ψ
( )
jjnin
2
iii
Qi:Qvria1iQQiv:Qv =−⋅σ⋅ψ+=
+−
)Qv(sort:11Q =
1ini
11Q:1Q+−=
1n
i
+
кону (с.к.о. равно 1), выполняется с помощью оператора
Рассчитываем восстановленный гидрологический ряд и показываем его
на рис. 4.2:
Рис. 4.2. Гидрологические ряды (м
3
/с): Q – аналог; Qv – восстановленный;
i – номер года
Средний многолетний расход по восстановленному гидрологическому ряду
Qvs : = mean(Qv) = 49.16
Найдем эмпирическую вероятность превышения ежегодного расхода по
восстановленному гидрологическому ряду (рис. 4.3)
:P
=
i
100
⋅
Рис. 4.3. Эмпирическая вероятность превышения P (%) среднегодовых расходов
3
/с) по восстановленному ряду
32
Q1 (м
Выводы:
17,1Qo42,1)Qo(Qiv −⋅=
10ni =
7,0861,0ria >=
2983.9r/ria >=σ
2788.4k/kr >=σ
1. Получено уравнение линейной регрессии, связывающее среднегодовые рас-
ходы (м
3
/с) базового и восстанавливаемого ряда
2. Уравнения линейной регрессии можно рекомендовать для практических
расчетов, так как выполнены все четыре условия нормативного документа
[13]:
;
;
;
.
3. Восстановленный гидрологический ряд имеет средний многолетний расход
3
49,16 м
/с.
Контрольные вопросы:
1. Как найти уравнение линейной регрессии двух гидрологических рядов в
среде Mathcad?
2. Как найти границы доверительных интервалов уравнения линейной регрес-
сии?
3. Назовите условия, при выполнении которых уравнение линейной регрессии
можно рекомендовать для практических расчетов.
4. Как выполнить расчет восстанавливаемого гидрологического ряда?
5. Для чего в данной лабораторной работе используется генератор псевдослу-
чайных чисел?
6. Как построить эмпирическую кривую вероятности превышения
среднегодовых расходов?
7. Напишите формулы для погрешностей вычисления коэффициента парной
корреляции и коэффициента регрессии.
Лабораторная работа № 5.
ГЕНЕРАЦИЯ ГИДРОЛОГИЧЕСКОГО РЯДА ПО ОСНОВНЫМ
ХАРАКТЕРИСТИКАМ
При решении некоторых гидрологических задач необходимо иметь ряды
продолжительностью в несколько сотен и даже тысяч лет. Поскольку ряды
такой продолжительности отсутствуют, были разработаны методы
моделирования искусственных гидрологических рядов. При использовании
этих методов вначале производится оценка параметров распределения
имеющегося эмпирического ряда, а затем моделируется искусственный ряд с
такой же статистической структурой, но гораздо большей продолжительности.
В основе моделирования искусственных гидрологических рядов лежит
метод Монте-Карло – это метод решения математических задач при помощи
моделирования СВ. Если вероятностная структура ряда соответствует модели
СВ, процесс моделирования включает следующие этапы.
33
На первом этапе требуется получить последовательность случайных
t
X
xtt
t
ξ
σ
t1t1t
−
0j,rr
1j1j
>Θ=
−
j
1
j
r Θ=
чисел, равномерно распределенных на интервале [0;1]. Различают три способа
получения случайных чисел: таблицы случайных чисел, генераторы случайных
чисел и метод псевдослучайных чисел. При работе на компьютере удобнее
пользоваться так называемыми псевдослучайными числами; нужно только
помнить, что каждый запуск программы генерирует новую выборку.
На следующем этапе моделирования каждое значение СВ, равномерно
распределенной на интервале [0;1], рассматривается как вероятность
непревышения и по нему рассчитывается соответствующий квантиль заданного
закона распределения (см. рис. 5.1). Переход от случайных чисел, равномерно
распределенных на отрезке [0;1], к случайным числам с заданным законом
распределения выполняется аналитически с использованием обратной функции
от интегрального закона распределения. Если аналитического решения
обратной задачи не существует, то она решается с использованием численных
методов.
Применяя изложенную схему, можно написать компьютерную программу
на любом языке программирования. Однако довольно часто достаточно
воспользоваться уже готовыми программами. Например, "Пакет анализа",
который входит в состав Microsoft Excel, позволяет моделировать ряды для 7
законов распределения. Еще большими возможностями обладают специальные
статистические пакеты.
Если вероятностная структура ряда соответствует модели случайного
процесса (как в лабораторной работе № 5), то алгоритм несколько сложнее.
Вначале должна быть принята одна из моделей случайного процесса (СП).
Для описания стационарных СП в настоящее время довольно часто
используются модели авторегрессии и их комбинация. В модели авторегрессии
p-го порядка АР(р) текущие значения СП выражаются как конечная линейная
комбинация предыдущих p его значений и случайной составляющей:
, (5.1)
t3tp2t21t1t
где
– центрированный СП,
X...XXX ξ+Θ++Θ+Θ=
−−−
; Θi – коэффициенты модели;
mXX −=
– СВ с нормальным законом распределения, нулевым МО, равным
В лабораторной работе № 5 используется модель авторегресси первого
порядка АР(1) или модель марковского процесса выражается формулой
XX ξ+Θ=
. (5.2)
Для процесса АР(1) коэффициент и ординаты автокорреляционной
функции связаны соотношением
. (5.3)
Учитывая, что r
= 1, получаем:
0
. (5.4)
Таким образом, для АР(1) АКФ полностью определяется своей первой
ординатой. При этом Θ
= r1.
1
34
СКО.
ξ
При моделировании гидрологических рядов по модели авторегрессии
ξ
σ
jj2211x
r...rr1 Θ−−Θ−Θ−σ=σ
ξ
ii1i
)xx(rxx ξ+−⋅+=
+
x
xx1=
i
ξ
i
ξ
необходимо также знать среднеквадратическое отклонение шума. В общем
случае СКО
определяется формулой
. (5.5)
При описании вероятностной структуры гидрометеорологических рядов с
шагом дискретности менее года (месяц, декада) необходимо учитывать
ритмику колебаний, связанную с годовой цикличностью. А при шаге
дискретности менее суток следует учитывать суточный ход
гидрометеорологических элементов. В качестве математической модели в этом
случае можно использовать модель периодически нестационарного случайного
процесса.
Для генерации ряда по модели АР(1) в лабораторной работе № 5 используется рекуррентная формула:
. (5.6)
Для моделирования необходимо иметь следующие параметры: среднее
значение
начальное значение моделируемой гидрологической характеристики х
, СКО σх, отношение Cs/Cv, коэффициент автокорреляции r = rx(1) и
. В
1
качестве начального значения можно в большинстве случаев принять среднее
значение (
). Кроме того, требуется указать тип распределения.
При моделировании по формуле (5.6) на каждом шаге генерируется
значение случайной величины
распределения для шумовой составляющей
, по ранее изложенной схеме. Тип
, и отношение Cs/Cv
принимаются такими же, как для исходного ряда, среднее значение может быть
принято равным нулю, а СКО в соответствии с формулой определяется
выражением
2
. (5.7)
ξ
x
r1−σ=σ
Задание
1. Найти параметры и построить график теоретической функции гамма-
распределения F(k) в соответствии с основными характеристиками своего
варианта из табл. 5.1.
2. С помощью генератора случайных чисел рассчитать гидрологический ряд Q
длиной n, полагая, что он подчиняется распределению F(k).
3. Найти характеристики сгенерированного ряда.
4. Сравнить величины заданных и рассчитанных по ряду характеристик.
35
Таблица 5.1 – Основные характеристики гидрологических рядов
Параметр
Вариант
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
11
12
13
14
15
N
80
70
60
50
85
75
65
55
90
45
95
82
73
68
57
Qst, м3/с
53
49
64
71
96
37
24
58
85
63
76
33
42
50
81
100 Cvt
33
31
29
27
25
23
34
32
30
28
26
24
36
38
22
100 Cst
63
64
56
55
50
48
65
67
61
57
53
49
73
75
44
100 rt
35
33
29
27
25
23
21
19
34
32
30
28
26
24
22
0.2
Cvt
Cst
:Stv ==
( ) ( )
⋅
αΓ
+αΓ
−⋅⋅
αΓ
+αΓ
⋅
αΓ⋅
=α
−
α
α
b
1
1
b
b
k
)(
b
expk
)(
b
)(b
1
:)b,,k(1f
( )
∫
∞
α⋅−=
0
2
dk)b,,k(f1kCvt
( )
∫
∞
α⋅−⋅=
0
3
3
dk)b,,k(f1k
Cvt
1
Cst
00.1ab:b16.8ab:)b,(Find:ab
21
====αα=
)b,,k(1f:)k(f α=
∫
=
k
0
dt)t(f:)k(F
−⋅=
Qst
Qx
F1100:)Qx(Po
Примечание:
Qst – средний многолетний расход;
Cvt – коэффициент вариации гидрологического ряда;
Cst – коэффициент асимметрии гидрологического ряда;
rt – коэффициент автокорреляции среднегодовых расходов смежных лет.
Пример выполнения лабораторной работы
ORIGIN : = 1
Заданные характеристики
n : = 100 Qst : = 40 Cvt : = 0.35 Cst : = 0.7 rt : = 0.3
i : = 1..n j : = 2..n u : = 1 α : = 5 b : = 5
Плотность трехпараметрического гамма-распределения для модульных
коэффициентов k имеет вид
Параметры гамма-распределения α, b найдем из системы интегральных
уравнений по заданным параметрам Cvt, Cst (3-й параметр Qst – задан в условии):
Given
Теоретическая плотность и функция трехпараметрического гаммараспределения для модульных коэффициентов (см. рис. 5.1), теоретическая вероятность превышения среднегодовых расходов
36
Рис. 5.1. Теоретическая плотность f(k) и функция F(k) трехпараметрического
)1,0,n(runif:=ξ
)u,)u(F(root:
ii
ξ−=φ
ii
:k φ=
( ) ( )
Qstk:Q
ii
⋅=
гамма-распределения: k – модульный коэффициент среднегодового расхода
Генерируем n псевдослучайных чисел, равномерно распределенных на
отрезке [0;1]:
Расчет случайных чисел с гамма-распределением проводим в последовательности, показанной на рис. 5.1:
Ряд модульных коэффициентов с гамма-распределением и внутренними
связями рассчитываем по формулам:
−
j1jj
2
rt111krt1:k −⋅−φ+−⋅+=
Соответствующий ряд среднегодовых расходов (рис. 5.2)
Рис. 5.2. Сгенерированный гидрологический ряд Q (м
37
3
/с): i – номер года
Найдем числовые характеристики сгенерированного ряда, как в работах
( )
62.13QStdev: ==σ
342.0
Qs
:Cv =
σ
=
( )
579.0
Cv)2n)(1n(
1kn
Cs
3
n
1i
3
i
=
⋅−−
−⋅
=
∑
=
693.1
Cv
Cs
:Cdv ==
15.40Q
1n
1
:1Qs
n
2i
i
=⋅
−
=
∑
=
80.39Q
1n
1
:2Qs
1n
1i
i
=⋅
−
=
∑
−
=
( ) ( )
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
227.0
2QsQ1QsQ
2QsQ1QsQ
:ro
1n
1i
2
i
n
2i
2
i
n
2i
1ii
=
−⋅−
−⋅−
=
∑∑
∑
−
==
=
−
( )
n
1
( )
065.0kln
1n
1
:2
n
1i
i
−=⋅
−
=λ
∑
=
( )
0dt)texp()tln(t
)(
b
)(
b
ln2
0
1
=
−⋅⋅⋅
αΓ
−
αΓ
+αΓ
+λ
∫
∞
−α
( )
( ) ( )
0bkkln
1n
1
)(
b
2
n
1i
b
1
ii
b
1
=+
⋅⋅
−
⋅
αΓ
+αΓ
−λ⋅α
∑
=
( )
544.1A:b37.18A:b,Find:A
21
====αα=
( ) ( )
⋅
αΓ
+αΓ
−⋅⋅
αΓ
+αΓ
⋅
αΓ⋅
=
−
α
α
b
1
1
b
b
x
)(
b
expx
)(
b
)(b
1
:)x(f
∫
=
k
0
dt)t(f:)k(F
)Q(sort:11Q =
1ini
11Q:1Q+−=
1n
i
+
№ 1 и 2:
Qs : = mean(Q) = 39.85
22
ro69.5ro46.666.1ro06.0ro98.001.0:1r
=⋅⋅+⋅++⋅−⋅+−=
243.0
Given
100:)Qx(Pg
−⋅=
F1
Qx
Qs
38
:P
=
i
100
⋅
Характеристика
Величина
Отклонение
теоретическая
рассчитанная
абсолютное
относительное
Qs, м3/с
40
39,85
–0,15
–0,38 %
Cv
0,35
0,342
–0,008
–2,29 %
Cs
0,7
0,579
–0,121
–17,3 %
Cs/Sv
2,0
1,693
–0,307
–15,4 %
r
0,3
0,243
–0,057
–19,0 %
Α
8,16
18,37
10,21
125 %
B
1,0
1,544
0,544
54,4 %
Рис. 5.3. Эмпирическая (точки) и теоретические кривые обеспеченности
среднегодовых расходов Qx: сплошная линия – по исходным данным,
пунктирная линия – по сгенерированному ряду; P – обеспеченность, %
Таблица 5.2 – Сравнение заданных и рассчитанных по ряду характеристик
(параметр)
Выводы:
1. Рассчитанные величины среднего многолетнего расхода и коэффициента
вариации мало отличаются от заданных величин (менее чем на 3 %).
2. Рассчитанные величины коэффициентов асимметрии и автокорреляции
отличаются от заданных величин более существенно (на 17 и 19 %, соответственно).
3. Наибольшее отличие получено у параметров трехпараметрического гам-
ма-распределения α, b: 125 и 54 %. Но по рис. 5.3 графики теоретических
кривых обеспеченности среднегодовых расходов практически не
различаются. Следовательно, сгенерированный ряд имеет распределение,
близкое к заданному.
Контрольные вопросы:
1. Какие требуются параметры, чтобы задать функцию трехпараметрическо-
го гамма-распределения среднегодовых расходов?
39
2. Какими числовыми параметрами характеризуется гидрологический ряд
среднегодовых расходов?
3. Как найти параметры α, b функции трехпараметрического гамма-
распределения?
4. Для чего в данной лабораторной работе используется генератор псевдо-
случайных чисел?
5. Какие из параметров гидрологического ряда при генерации воспроизво-
дятся более точно, какие менее точно?
6. Как упростится процедура генерации ряда, если будет задан коэффициент
автокорреляции r = 0?
7. Поясните смысловое содержание стрелок на рис. 5.1.
8. Как проверить, соответствует ли сгенерированный гидрологический ряд
заданным параметрам?
Лабораторная работа № 6.
АНАЛИЗ ВНУТРИГОДОВОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТОКА РЕКИ
В ЗАДАННОМ СТВОРЕ
В соответствии с СП-2003 определение расчетного календарного внутри-
годового распределения стока при длительности рядов наблюдений n, равной
15 годам и более, производят следующими методами: компоновки; реального
года; среднего распределения стока за годы характерной градации водности.
Расчеты внутригодового распределения стока рек производят по водохо-
зяйственным годам (ВГ), начинающимся с первого месяца многоводного сезона. В отдельных случаях возможно выполнение расчетов внутригодового распределения стока для гидрологических лет, начинающихся с первого месяца
периода накопления влаги, или для обычных календарных лет. При расчетах
внутригодового распределения стока целесообразно переводить расходы в объемы стока в км3 или в тыс. м3, так как при этом учитывают различие в числе
дней не високосных и високосных лет и в числе секунд в разные месяцы года.
В зависимости от типа водного режима реки и преобладающего вида ис-
пользования стока реки водохозяйственный год делят на два различающихся по
длительности периода: лимитирующий (ЛП) и нелимитирующий (НП), а лимитирующий период соответственно на два сезона: лимитирующий (ЛС) и нелимитирующий (НС). Границы сезонов назначают едиными для всех лет с округлением до месяца.
Расчетное внутригодовое распределение месячного (а в отдельных случа-
ях и декадного) стока определяют для водохозяйственного года расчетной вероятности превышения P
, соответствующей заданной проектной обеспечен-
расч
ности гарантированной отдачи. Длительность n многолетнего периода, необходимая для определения расчетного календарного внутригодового распределения стока, должна удовлетворять требованиям. В зависимости от достаточной
длительности наблюдений n, определенной по указанному критерию точности,
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]