Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы обработки гидрологической информации. Лабораторный практикум для студентов вузов, обучающихся в бакалавриате по направлению подготовки «Природо
.pdf
Задание
=
i
i
1QMmean:Qm
1. Сформировать файл в формате .txt со среднемесячными расходами реки в
заданном створе (за 30 лет или более), как в лабораторной работе № 6.
2. Считать его в среде Mathcad. Выполнить первичную обработку ряда. По-
строить гидрологический ряд. Построить график среднемесячных расходов.
3. Рассчитать матрицу парной корреляции между расходами всех месяцев в
году. Найти наибольшие и наименьшие по модулю значения коэффициентов парной корреляции r.
4. Построить уравнение регрессии для отклонений месяцев с наибольшим
значением r. Оценить погрешность прогноза по этому уравнению.
Пример выполнения лабораторной работы (р. Неман, г. Смалининкай)
1. Формирование файла со среднемесячными расходами реки
Данные о среднемесячных расходах р. Неман (г.Смалининкай) имеются в
архиве [15] в разделе Hydro-Station list of LITHUANIA. Копируем всю таблицу
в word-файл, удаляем строки за те годы, за которые данные отсутствуют или
они не полные. Преобразуем таблицу в текст и сохраняем документ в формате
NeS.txt (как в лабораторной работе № 6): первый столбец – год наблюдений, 213 – среднемесячные расходы в указанном году, 14 – средний расход за этот
год.
2. Считывание файла и первичная обработка данных
ORIGIN : = 1
Построчное считывание данных WW : = READPRN(“NeS.txt”)
Количество строк n : = rows(WW) = 174
Индексы массивов i : = 1.. 12 k : = 1.. 12 j : = 1.. n
Матрица-столбец с годами tg : = submatrix(WW,1,n,1,1)
Матрица-столбец среднегодовых расходов Qg : = submatrix(WW,1,n,14,14)
Матрица среднемесячных расходов QM1 : = submatrix(WW,1,n,2,13)
Транспонирование матрицы QM : = QM1
T
Среднемесячные расходы за все годы
51
3
=
ki
k,i
1QM,1QMcorr:r
Рис. 7.1. Гидрологический ряд р. Неман (г. Смалининкай) Qg, м
/с:
tg – годы наблюдений
3
Рис. 7.2. Среднемесячные расходы р. Неман (г. Смалининкай) Qm, м
/с:
i – номер месяца
3. Расчет матрицы парной корреляции между расходами всех месяцев в году
Выводим результаты расчета
52
72,0r
10,9
=
69,0r
9,8
=
65,0r
11,10
=
9
r:09P =
10
r:10P =
11
r:11P =
12
r:12P =
i13i
09P:09r
−
=
i13i
10P:10r
−
=
i13i
11P:11r
−
=
i13i
12P:12r
−
=
Наибольшие по модулю значения коэффициентов парной корреляции
между расходами сентября и октября
; между расходами августа и
сентября
; между расходами октября и ноября
Наименьшие по модулю значения коэффициентов парной корреляции
между расходами января и августа, января и декабря (–0,01).
Рассчитаем коэффициенты корреляции расходов в сентябре, октябре, но-
ябре и декабре с расходами предыдущих месяцев
.
Рис. 7.3. Коэффициенты корреляции расходов в сентябре r
ноябре r
и декабре r
11
с расходами предыдущих месяцев:
12
, октябре r10,
09
i – интервал в месяцах
53
4. Уравнение регрессии и прогноз месячного расхода
i
ii
Qm1QM:O −=
109
O:OcO:Se ==
( ) ( )
==
==
547.0
000.0
1
3
3
1,Se,Ocregress:1vs
942.0
000.0
1
3
3
1,Oc,Seregress:1v
( )
2,Oc,Seregress:2v =
( ) ( )
se,Oc,Se,2verpint:)se(2Ocse,Oc,Se,1verpint:)se(1Oc ==
600..100,200:se −−=
Отклонения расходов текущего месяца от многолетних среднемесячных
Отклонения расходов сентября и октября (с самой тесной стохастической
связью) месяца от многолетних среднемесячных
Коэффициенты уравнений регрессии первого и второго порядка
Уравнения регрессии первого и второго порядка
54
Рис. 7.4. Уравнения регрессии первого и второго порядка отклонений расхода
( ) ( )
900..100,300:ocSeStdev:cOcStdev:o −−==σ=σ
c
o
σ
σ
( )
40.22
OcQm
Se
OCOc
2n
1
100:
n
1i
2
i10
ii
=
+
−
⋅
−
⋅=ε
∑
=
октября Ос и сентября Se: точки – данные наблюдений
:)se(C_Ooc547.0:)oc(SEse942.0:)se(OC ⋅
=⋅=⋅=
se
Рассчитаем среднюю квадратическую погрешность предсказания расхода
октября по среднему расходу сентября с помощью уравнения линейной регрессии (в процентах)
Рис. 7.5. Уравнения прямой и обратной регрессии отклонений расхода: Oc – Se,
Se – Oc и ось эллипса рассеивания; точки – данные наблюдений
55
Выводы:
72,0r
10,9
=
1. Среднемесячные расходы р. Неман (г. Смалининкай) наибольшие в апреле
и почти в два раза больше, чем в марте.
2. Наибольшие по модулю значения коэффициентов парной корреляции
между расходами сентября и октября
.
3. Коэффициенты корреляции расходов r с интервалом в три месяца не пре-
вышают 0,3; с дальнейшим увеличением интервала наблюдения величина r
падает практически до нуля.
4. Уравнения регрессии первого и второго порядка отклонений расхода октября и сентября мало различаются в исследованном диапазоне.
5. Средняя квадратическая погрешность предсказания расхода октября по
расходу сентября с помощью уравнения линейной регрессии составляет
22,4 процента.
Контрольные вопросы:
1. В каких источниках можно найти данные о внутригодовом распределении
стока рек Калининградской области и других регионов России?
2. В чем сходство и отличие внутригодового распределения стока рек Неман
и Преголя?
3. Как сформировать файл со среднемесячными расходами реки?
4. Как среде Mathcad оценить тесноту стохастической связи между расхода-
ми разных месяцев?
5. Какой характер имеет зависимость коэффициентов корреляции месячных
расходов реки от интервала наблюдений между ними?
6. С помощью каких операторов в среде Mathcad можно найти уравнения ре-
грессии первого и второго порядка?
7. Различаются ли уравнения прямой и обратной регрессии между двумя ря-
дами?
8. Как рассчитать среднюю квадратическую погрешность предсказания рас-
хода последующего месяца по расходу предыдущего месяца?
Лабораторная работа № 8.
СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СРЕДНЕМЕСЯЧНЫХ РАСХОДОВ
В ТРЕХ ГИДРОСТВОРАХ
Расчет матрицы парной корреляции и построение уравнения регрессии
случайной функции одной переменной описаны в лабораторной работе № 7.
Полученное на основе эмпирических данных уравнение линейной регрессии
может использоваться в качестве прогностической зависимости или расчетной
формулы, однако это является корректным только в случае, если данное урав-
56
нение обеспечивает необходимую точность расчета, или, проще говоря, являет-
7,0r >
2
r
y
2
r
2
r
y
)n/()y
~
y(
n
1i
2
ii)x(y
θ−−=σ
∑
=
i
y
~
( )
2
y
2
y)x(y
r1
2n
)1n(r1
−σ≈
−
−⋅−
σ
=σ
( )
2
r
2
222
r
n2
13r75
n2
r11
1
1n
r1 −
++⋅
−
−
=σ
ся надежным.
Ранее отмечалось, что в качестве меры линейной зависимости между
двумя переменными используется коэффициент парной корреляции. В
соответствии с действующими в гидрологии нормативными документами [13]
зависимость может использоваться для практических расчетов, если
.
Смысл этого неравенства будет понятен, если рассмотреть величину
которую называют коэффициентом детерминации. Коэффициент детерминации характеризует долю общего разброса относительно среднего значения
объясняемую регрессией. Если зависимость функциональная и точки относительно линии регрессии лежат без разброса, то весь разброс относительно у
объясняется регрессией, т.е.
= 1. При r = 0,7 коэффициент детерминации
= 0,49 ≈ 0,5. Таким образом, в гидрологии зависимость может использоваться для практических расчетов, если регрессия объясняет 50 % или более разброса относительно
. Коэффициент корреляции – важный, но не единствен-
ный показатель надежности уравнения регрессии. Рассмотрим еще ряд статистических характеристик, позволяющих судить о точности полученного уравнения.
Cтандартная ошибка уравнения линейной регрессии. Эта величина
характеризует СКО точек от принятой линии регрессии:
, (8.1)
,
,
где y
уравнению регрессии (в зависимости от х
– наблюденная величина;
i
– величина, рассчитанная по
). Параметр (θ – 2) называют числом
i
степеней свободы. Число степеней свободы равно количеству наблюдений
минус число параметров, определяемых по эмпирическим данным. В данном
случае таких параметров два: коэффициент регрессии а и свободный член b.
Используя коэффициент корреляции, выражение (8.1) можно представить
. (8.2)
Cтандартная ошибка коэффициента парной корреляции:
1n/r1
−−=σ
. (8.3)
При малой длине выборки (n < 25) рекомендуется в формулу (8.3) вво-
дить поправку
. (8.4)
Cтандартная ошибка коэффициента регрессии:
57
( )
2n
r1
xx
2
x
y
n
1i
2
i
)x(y
−
−
σ
σ
=
−
σ
=σ
∑
=
a
. (8.5)
1i
2/;2/r;7,0r;10n
r
≥σ≥σ≥≥
a
a
( ) ( ) ( )
NN
22
11
N21
,...,, aaa
N21
x,...,x,x
N21
,...,, aaa
Стандартная ошибка свободного члена:
n
2
)x(
=
1i
n
( )
=
i
⋅σ=
y
2
x
xn
−
i
2
−
r1
−
2n
+⋅
1
∑
σ=σ
b
)x(y
∑
2
x
. (8.6)
σ
x
Сформулируем теперь полный набор требований, предъявляемых в
гидрологии к уравнению линейной регрессии:
. (8.7)
Условия (8.7) использованы и в действующих нормативных документах
[13].
При изучении многих гидрологических процессов требуется установить
вид линейной зависимости между несколькими переменными. Для решения
этой задачи привлекается аппарат множественной линейной корреляции. Сущность этого подхода состоит в распространении основных положений метода
линейной корреляции двух переменных на случай зависимости интересующей
нас переменной Y от произвольного числа аргументов. Основой для поиска такой зависимости служат материалы наблюдений за величиной Y и определяющими ее величинами (X
1,X2,X3
,...,XN). Опираясь на данные указанных наблю-
дений, требуется найти параметры уравнения множественной линейной регрессии, которое согласно методу наименьших квадратов будет наилучшим образом
описывать связь между зависимой переменной и предикторами. Уравнение линейной регрессии в этом случае будет иметь вид:
, (8.8)
xx...xxxxyy −++−+−=− aaa
N
– средние значения
где
1
2
– коэффициенты регрессии;
аргументов.
Для решения поставленной задачи нужно решить систему нормальных
уравнений относительно коэффициентов
. Обычно эта задача реша-
ется на компьютере с использованием численных методов.
В соответствии с действующими нормативными документами уравнение
множественной линейной регрессии должно удовлетворять требованиям,
аналогичным (8.7). При этом третье условие считается выполненным, если оно
выполняется для каждого коэффициента регрессии в отдельности. Что касается
четвертого условия, то оно в данном случае является слишком слабым.
Практика показывает, что при использовании одного аргумента длина рядов n
должна быть не менее 10, при двух – минимальная длина рядов должна
составлять 25-30, при четырех 50-60 и т.д. Только в этом случае можно
получить более или менее надежные оценки параметров уравнения регрессии.
58
Задание
1. Сформировать три файла в формате .txt со среднемесячными расходами
рек со сходными гидрологическими условиями за 30 лет или более совместных наблюдений по данным Гидрологических ежегодников или Интернет-ресурса [15].
2. Считать три файла и выполнить первичную обработку в среде Mathcad.
Построить гидрологические ряды на одном графике.
3. Рассчитать внутригодовое распределение стока трех рек в процентах от
годового стока. Вывести результаты в табличной и графической форме.
4. Выполнить корреляционный анализ среднегодовых и среднемесячных
расходов трех рек. Сделать заключение о тесноте стохастической связи
между ними.
5. Построить уравнения регрессии первого и второго порядка при одном и
двух аргументах. Оценить погрешность расчетов по этим уравнениям.
Пример выполнения лабораторной работы
(р. Преголя, г. Гвардейск; р. Анграпа, д. Берестово; р. Инструч, с. Ульяново)
1. Формирование файлов со среднемесячными расходами реки
Данные о среднемесячных расходах трех указанных рек имеются в архиве
[15] в разделе Hydro-Station list of LITHUANIA. Для каждого створа копируем
всю таблицу в word-файл, оставляем строки только за те годы, в которые были
совместные наблюдения на трех гидропостах. Преобразуем таблицу в текст и
сохраняем документы в формате txt (как в лабораторной работе № 6)
2. Считывание файлов и первичная обработка данных
ORIGIN : = 1
Построчное считывание данных WP : = READPRN(“PrG.txt”)
WA : = READPRN(“AnB.txt”)
WI : = READPRN(“InU.txt”)
Проверяем количество строк
n : = rows(WP) = 62 n : = rows(WA) = 62 n : = rows(WI) = 62
Индексы массивов i : = 1.. 12 k : = 1.. 12 j : = 1.. n
Матрица-столбец с годами tg : = submatrix(WP,1,n,1,1)
Матрицы среднемесячных расходов QP1 : = submatrix(WP,1,n,2,13)
QA1 : = submatrix(WA,1,n,2,13)
QI1 : = submatrix(WI,1,n,2,13)
Транспонирование матриц
QP : = QP1
T
QA : = QA1T QI : = QI1
T
59
Среднегодовые расходы
=
j
j
QPmean:QgP
( )
j
j
QAmean:QgA =
=
j
j
QImean:QgI
( )
7.84QgPmean:sp ==
( )
6.14QgAmean:sa ==
( )
88.3QgImean:si ==
( )
4.26QgPStdev:p ==σ
( )
63.4QgAStdev:a ==σ
( )
49.1QgIStdev:i ==σ
=
i
i
1QPmean:QPm
=
i
i
1QAmean:QAm
=
i
i
1QImean:ImQ
( )
313031303131303130312831:1m =
T
1m:d =
( )
∑
=
⋅=
12
1i
ii
QPmd:P
( )
∑
=
⋅=
12
1i
ii
QAmd:A
( )
∑
=
⋅=
12
1i
ii
ImQd:I
P01.0
QPmd
:WPm
ii
i
⋅
⋅
=
A01.0
QAmd
:WAm
ii
i
⋅
⋅
=
I01.0
ImQd
⋅
⋅
WPm:1W
1
=
WAm:1W
2
=
ImW:1W
3
=
T
1W:W =
Средние значения и СКО годовых расходов рек
3
Рис. 8.1. Среднегодовые расходы Q (м
/с) рек Преголя (г. Гвардейск), Анграпа
(д. Берестово), Инструч (с. Ульяново) за годы совместных наблюдений
3. Расчет внутригодового стока рек
Среднемесячные расходы за все годы
Задаем количество дней в месяцах
Найдем проценты стока каждой из трех рек по всем месяцам
:ImW
=
i
ii
Выводим результаты расчета
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]