Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы обработки гидрологической информации. Лабораторный практикум для студентов вузов, обучающихся в бакалавриате по направлению подготовки «Природо
.pdf
)t()t(
)t,t(K
)t,t(r
xx
x
x
′
σ⋅σ
′
=
′
. (3.3)
1)t,t(r
x
=
′
)t,t(r)t,t(r
xx
′
=
′
1|)t,t(r|
x
≤
′
τ=−21tt
)(k)t,t(K
x21x
τ=
)0(k
)(k
D
)(k
)(r
x
x
x
x
x
τ
=
τ
=τ
)(r)(r
xx
τ−=τ
1)0(r
x
=
1|)(r|
x
≤τ
∞→τ
Свойства нормированной НКФ:
1) при равенстве аргументов (t = t') НКФ равна единице,
;
2) НКФ симметрична относительно своих аргументов,
3) НКФ по модулю не превышает единицу,
.
;
К числу наиболее простых для изучения СП относятся стационарные СП,
у которых все вероятностные характеристики не зависят от времени. В
частности, у стационарного СП математическое ожидание и дисперсия из
функций аргумента t превращаются в константы. Это означает, что все сечения
стационарного СП имеют одинаковое МО и СКО.
СП называется стационарным в узком смысле, если его n-мерная
плотность распределения не изменится при сдвиге всех его временных
аргументов на одинаковую произвольную величину θ. Это означает, что
плотность распределения стационарного СП не зависит от того, в какие
моменты t
сечениями
и t2 рассматриваются сечения, а зависит от расстояния между этими
1
. СП называется стационарным в широком смысле, если
его математическое ожидание постоянно, а корреляционная функция - есть
функция сдвига между аргументами:
.
Если СП является стационарным в узком смысле, то он является
стационарным и в широком смысле (обратное утверждение не всегда верно).
Нормированная корреляционная функция стационарного СП или
автокорреляционная функция (АКФ):
.
(3.4)
Свойства АКФ стационарного СП:
;
;
.
(3.5)
Стационарный СП может обладать или не обладать эргодическим
свойством. Эргодическое свойство состоит в том, что по любой, достаточно
продолжительной реализация СП, можно составить представление о СП в
целом.
Поясним это на примере МО. МО стационарного СП – это постоянная
величина, и, следовательно, его можно оценить по любому сечению, имея
достаточно много реализаций. Для стационарного эргодического СП то же
самое можно сделать по одной реализации, если она имеет достаточно
большую продолжительность. Например, для стационарного эргодического СП
среднее значение по любому сечению можно заменить на среднее значение по
одной достаточно продолжительной реализации.
Достаточное условие эргодичности стационарного СП: при увеличении
сдвига между сечениями АКФ затухает и в пределе при
стремится к нулю.
Однако стационарный СП может быть и неэргодическим. Неэргодичность
СП может быть вызвана, например тем, что в качестве слагаемого СП фигурирует случайная величина.
21
На практике, имея всего одну реализацию СП (например, тридцатилетний
x
S,x
)xx()xx(
1n
1
)(k,
S
)(k
)(r
i
n
1i
ix
2
x
x
x
−⋅−
−τ−
=τ
τ
=τ
τ+
τ−
=
∑
)xx()xx(
S
)2n(
1
)1(r
1i
1n
1i
i
2
x
x
−⋅−
⋅−
=
+
−
=
∑
=
8.51
...
2.48
7.29
:
Q
Qs
Q
:k
i
i
=
1n
i
+
)Q(sort:11Q =
1ini
11Q:1Q+−=
( )
014.0kln
1n
1
:2
n
1i
i
−=⋅
−
=λ
∑
=
1:b1: ==α
ряд среднегодовых расходов воды), гидролог вынужден принимать гипотезу о
стационарности и эргодичности. Так как только в этом случае оценки
статистических характеристик, полученные по этой реализации, можно считать
характеристиками всего СП. При этом формулы для точечных оценок МО и
СКО СП (
) практически совпадают с формулами, используемыми в
модели случайной величины. В лабораторной работе № 3 АКФ стационарного
и эргодичного СП оценивается по формуле
, (3.6)
где τ – сдвиг между сечениями.
В практике гидрологических расчетов наиболее часто используется
первая ордината АКФ (при τ = 1), которая называется коэффициентом
автокорреляции:
. (3.7)
Задание
1. С помощью модифицированного критерия Пирсона проверить гипотезу о со-
ответствии данных наблюдений из лабораторной работы № 1 трехпараметрическому гамма-распределению, найденному в лабораторной работе № 2.
2. Вычислить приведенные значения модульных коэффициентов среднегодо-
вых расходов и построить разностную интегральную кривую. Установить
по ней периоды малой (большой) водности реки.
3. Построить автокорреляционную функцию среднегодовых расходов реки по
данным лабораторной работы № 1
Пример выполнения лабораторной работы
ORIGIN : = 1 n : = 44 i : = 1..n i1 : = 2..n
100
⋅
Qs : = mean(Q) = 35.7
i
:P
=
Given
22
( )
0dt)texp()tln(t
)(
b
)(
b
ln2
0
1
=
−⋅⋅⋅
αΓ
−
αΓ
+αΓ
+λ
∫
∞
−α
( )
( ) ( )
0bkkln
1n
1
)(
b
2
n
1i
b
1
ii
b
1
=+
⋅⋅
−
⋅
αΓ
+αΓ
−λ⋅α
∑
=
( )
414.1A:b58.69A:b,Find:A
21
====αα=
( ) ( )
⋅
αΓ
+αΓ
−⋅⋅
αΓ
+αΓ
⋅
αΓ⋅
=
−
α
α
b
1
1
b
b
x
)(
b
expx
)(
b
)(b
1
:)x(f
∫
=
x
0
dt)t(f:)x(F
−⋅=
Qs
Qw
F1100
:)Qw(Pо
=
7
7
6
6
6
6
6
:Nt
44Nt
7
1j
j
=
∑
=
0:xp1=
1
11Q:0x =
( )
6
100
n
)0x(Po)xp(Po
1
=⋅−
)0x(Find:xp2=
24.29xp2=
( )
6
100
n
)0x(Po)xp(Po
2
=⋅−
)0x(Find:xp3=
88.31xp3=
Проверка гипотезы о законе распределения
Нулевая гипотеза: среднегодовые расходы являются случайной величиной с трехпараметрическим гамма-распределением.
Для применения модифицированного критерия согласия Пирсона разбиваем весь диапазон расходов на 7 интервалов так, чтобы по теоретическому
распределению в каждый попало по 6-7 измерений. Обозначим матрицустолбец указанных частот Nt:
Левую границу первого интервала зададим раной нулю:
Остальные границы интервалов найдем, решая уравнения с помощью
операторов Given-Find:
Given
Given
23
Given
( )
6
100
n
)0x(Po)xp(Po
3
=⋅−
)0x(Find:xp4=
01.34xp4=
( )
6
100
n
)0x(Po)xp(Po
4
=⋅−
)0x(Find:xp5=
06.36xp5=
( )
6
100
n
)0x(Po)xp(Po
5
=⋅−
)0x(Find:xp6=
30.38xp6=
( )
7
100
n
)0x(Po)xp(Po
6
=⋅−
)0x(Find:xp7=
77.41xp7=
n8
11Q3:xp ⋅=
( )
11Q,xphist:Nh =
( )
8675576NhT=
( )
952.0
Nt
NhNt
:2
7
1j
j
2
jj
=
−
=χ
∑
=
917.0)4,2(pchisq1:pk =χ−=
10.6)Q(Stdev: ==σ
171.0
Qs
:Cv =
σ
=
1n..2:1j1n..1:j +=+=
Cv
1k
:K
i
i
−
=
∑
=
=
i
1v
vi
K:Ir
11j1j1
Ir:IR0:IR
−
==
Given
Given
Given
С помощью оператора hist найдем, сколько, в действительности, наблюдений попадает в каждый из рассчитанных интервалов:
Вычислим значение статистики хи-квадрат
Найденная величина pk является вероятностью того, что отклонение эмпирических частот попадания в интервалы от теоретических частот произошло
из-за случайных причин. Эта вероятность оказалась достаточно большой.
Построение интегрально-разностной кривой среднегодовых расходов
Рассчитаем приведенные модульные коэффициенты расхода K
(см. рис. 3.1) и интегральную разностную кривую расхода IR (см. рис. 3.2)
Рис. 3.1. Приведенные модульные коэффициенты расхода: i – номер года
24
Приведенные модульные коэффициенты расхода по большим значениям
8..1:v =
=
⋅
−
=
∑
+=
368.35
216.35
275.35
369.35
531.35
619.35
612.35
904.35
1QsQ
vn
1
:1Qs
n
1vu
uv
=
⋅
−
=
∑
−
=
311.35
926.35
712.35
718.35
668.35
653.35
445.35
390.35
2QsQ
vn
1
:2Qs
vn
1u
uv
модулей позволяют оценить положительную и отрицательную асимметрию
распределения. Интегрально-разностная кривая обязательно должна выходить
из нуля и заканчиваться в нуле; позволяет по убыванию и возрастанию определить периоды малой и большой водности реки.
Рис. 3.2. Интегрально-разностная кривая среднегодовых расходов
Построение автокорреляционной функции среднегодовых расходов
Пусть глубина автокорреляции 8 лет
Вспомогательные средние
25
( ) ( )
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
∑∑
∑
−
=+=
+=
−
−⋅−
−⋅−
=
vn
1u
2
vu
n
1vu
2
vu
n
1vu
vv
uvu
v
2QsQ1QsQ
2QsQ
1QsQ
:ro
( )
n
1
ro69.5ro46.666.1ro06.0ro98.001.0:r
22
⋅⋅+⋅++⋅−⋅+−=
Несмещенная оценка автокорреляционной функции
Рис. 3.3. Автокорреляционная функция среднегодовых расходов:
v – сдвиг времени наблюдений (годы)
Выводы:
1. Велика вероятность того, что отклонение эмпирических частот попадания в
интервалы от теоретических частот произошло из-за случайных причин,
pk=0,917. Поэтому гипотеза о трехпараметрическом гамма-распределении
среднегодовых расходов не отвергается.
2. Наибольшие абсолютные величины положительных приведенных
модульных коэффициентов расхода K превышают модули отрицательных
значений. Следовательно, коэффициент асимметрии распределения должен
быть положительным.
3. Интегрально-разностная кривая позволяет указать интервалы малой (с 15-го
по 22-й год, с 33-го по 43-й год) и большой (с 3-го по 7-й год, с 22-го по 28й год) водности.
4. Самое большое значение автокорреляционная функция среднегодовых
расходов принимает для смежных лет (r
наблюдений автокорреляционная функция стремится к нулю, принимая
попеременно положительные и отрицательные значения.
1. Что такое статистическая гипотеза и критерий согласия?
2. В чем заключается критерий согласия Пирсона (хи-квадрат)?
3. Чем модифицированный критерий согласия Пирсона отличается от стан-
дартного?
Контрольные вопросы
26
= 0,138). С увеличением периода
1
4. Как вычислить приведенные модульные коэффициенты расхода?
5. Как по приведенным модульным коэффициентам расхода определить знак
коэффициента асимметрии?
6. Для чего используется интегрально-разностная кривая расходов?
7. Что такое автокорреляционная функция расходов?
8. Как автокорреляционная функция расходов зависит от времени?
Лабораторная работа № 4.
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ГИДРОЛОГИЧЕСКОГО РЯДА
ПО РЯДУ-АНАЛОГУ
В соответствии с СП-2003, при недостаточности данных гидрометрических наблюдений параметры кривых распределения вероятностей гидрологических характеристик, а также элементы расчетного гидрографа необходимо приводить к многолетнему периоду с привлечением данных наблюдений пунктованалогов.
Приведение рассматриваемой гидрологической характеристики осуществляют в случаях, когда средняя квадратическая погрешность расчетного
значения гидрологической характеристики превышает 10 % для годового и сезонного стоков, 20 – для максимального и минимального стоков.
При выборе рек-аналогов необходимо учитывать следующие условия:
- однотипность стока реки-аналога и исследуемой реки;
- географическую близость расположения водосборов;
- однородность условий формирования стока, сходство климатических
условий, однотипность почв (грунтов) и гидрогеологических условий, близкую
степень озерности, залесенности, заболоченности и распаханности водосборов;
- средние высоты водосборов не должны существенно отличаться, для
горных и полугорных районов следует учитывать экспозицию склона и гипсометрию;
- отсутствие факторов, существенно искажающих естественный речной
сток (регулирование стока, сбросы воды, изъятие стока на орошение и другие
нужды).
При выборе пункта-аналога основным критерием является наличие синхронности в колебаниях речного стока расчетного створа и створов-аналогов,
которые количественно выражают через коэффициент парной или множественной (при одновременном использовании нескольких аналогов) корреляции
между стоком в этих пунктах. Следует учитывать как возможно большую продолжительность наблюдений, так и более тесные связи между стоком в приводимом к многолетнему периоду пункте и стоком в пунктах-аналогах.
При выборе пунктов-аналогов необходимо учитывать пространственную
связанность рассматриваемой гидрологической характеристики, которую количественно выражают через матрицу парных коэффициентов корреляции или
пространственную корреляционную функцию, представляющую собой зависи-
27
мость коэффициентов парной корреляции стока рек от расстояния между центрами тяжести водосборов. Матрицы парных коэффициентов корреляции и
корреляционные функции определяют в однородном гидрологическом и физико-географическом районе.
При восстановлении значений стока за отдельные годы и расчете параметров и квантилей распределения необходимо производить статистическую
оценку значимости и устойчивости получаемых решений с определением случайных и систематических погрешностей.
Допускается использование гидрометрической информации, а также метеорологической и другой информации, период наблюдений за которой превышает период наблюдений за рассматриваемой гидрологической характеристикой. При привлечении метеорологической и другой информации могут быть
использованы региональные зависимости рассматриваемой гидрологической
характеристики от факторов, ее определяющих.
Приведение гидрологических рядов и их параметров распределения к
многолетнему периоду, как правило, осуществляют аналитическими методами.
Для предварительного приведения допускается использование графических и
графоаналитических методов.
При расчете параметров распределения и значений стока за отдельные
годы Qi с использованием аналитических методов, основанных на регрессионном анализе, должны соблюдаться следующие условия [13]:
n' ≥ (6-10); R ≥ Rкр; R/σR ≥ Акр, k/σk ≥ Bкр, (4.1)
где n' – число совместных лет наблюдений в приводимом пункте и пунктах-аналогах (n' ≥ 6 при одном аналоге, n' ≥ 10 при двух и более аналогах) или
число пунктов-аналогов при восстановлении с привлечением кратковременных
наблюдений (n' ≥ 6); R – коэффициент парной или множественной корреляции
между значениями стока исследуемой реки и значениями стока в пунктаханалогах; k – коэффициент уравнения регрессии; σk - средняя квадратическая
погрешность коэффициента регрессии; Rкр – критическое значение коэффициента парной или множественной корреляции (обычно задается ≥ 0,7); Акр, Bкр –
критические значения отношений R/σR и k/σk (обычно задаются ≥2,0).
Если хотя бы один из коэффициентов уравнения регрессии не удовлетворяет условию (4.1), то это уравнение не используют для приведения к многолетнему периоду.
В слабо изученном в гидрологическом отношении районе Rкр, Акр и Bкр
могут быть уменьшены, а в хорошо изученном – увеличены. При увеличении
значений Rкр, Акр и Bкр возрастает точность, но уменьшается объем восстановленных данных.
Для расчета параметров распределения и значений стока за отдельные годы используют аналитические методы, основанные на регрессионном анализе с
привлечением одного или нескольких пунктов-аналогов на различных временных этапах. Поэтапное использование нескольких аналогов расширяет возможности приведения и делает его более качественным по сравнению с методами, в
которых используется дополнительная информация в одном пункте-аналоге.
28
Уравнение множественной линейной регрессии, по которому восстанав-
,
,,
( / )( )
n na
N n N a na
Q Qr Q Q= +σ σ −
n
na
N
Q
Na
ливается сток:
Q = k0 + k1Q1 + k2Q2 +…+ kjQj +…+klQl, (4.2)
где Q – значения стока в приводимом пункте; Qj…Ql – значения стока в
пунктах-аналогах; k0 – свободный член; kj…kl – коэффициенты уравнения ре-
грессии при j = 1, 2, ...., l, где l – число пунктов-аналогов. Коэффициенты и сво-
бодный член уравнения (4.2) определяют методом наименьших квадратов
(МНК).
В случае одного пункта-аналога приведение среднего значения к более
длительному периоду осуществляют по формуле
, (4.3)
где
Q
,
,
– среднеарифметические значения гидрологической характе-
Q
ристики соответственно для исследуемой реки и реки-аналога, вычисленные за
Q
период совместных наблюдений;
ответственно для исследуемой реки и реки-аналога; σn, σ
,
,
– норма стока за N-летний период со-
– средние квадрати-
n,a
ческие отклонения гидрологической характеристики за совместный период n
лет соответственно для исследуемой реки и реки-аналога.
Задание
1. Ввести в виде матрицы-столбца базовый гидрологический ряд Q (м
3
/с) из
табл. 1.1. В соответствии со своим вариантом из табл. 4.1 ввести в виде матрицы-столбца данные о наблюдении за среднегодовыми расходами за последние 10 лет в исследуемом гидростворе.
2. Доказать, что гидрологический ряд можно использовать в качестве аналога
при условии, что оба створа находятся в сходных гидрологических условиях.
3. Найти уравнение линейной регрессии, восстановить гидрологический ряд в
исследуемом створе по ряду-аналогу.
4. Вычислить средний многолетний расход по восстановленному гидрологи-
ческому ряду и эмпирическую вероятность превышения
Таблица 4.1 – Восстанавливаемые гидрологические ряды по вариантам
(среднегодовые расходы, Qi, м
3
/с)
29
Пример выполнения лабораторной работы
=
8.51
...
3.35
2.48
7.29
:Q
=
2.70
5.49
9.31
4.48
3.41
8.50
1.54
2.43
4.47
1.28
:Qi
=
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
:Qa
( )
743.11QiStdev:i ==σ
( )
128.7QaStdev
:а ==σ
( )
861.0Qa,Qicorr:ria ==
3
172.11kr:b418.11kr:kr
45
−====
ORIGIN : = 1 n : = 44 i : = 1..n i1 : = 2..n
Qs : = mean(Q) = 35.76
Исследуемый (восстанавливаемый) гидрологический ряд Qi и часть базового ряда за последние 10 лет (в годы совместных наблюдений)
Число членов исследуемого ряда ni := 10
Средние расходы, м
Среднее квадратическое отклонение исследуемого ряда, м
3
/с Qis : = mean(Qi) = 46.49 Qas : = mean(Qa) = 33.60
3
/с
Среднее квадратическое отклонение части базового ряда (за последние
10 лет)
Коэффициент корреляции между рядами исследуемым и базовым
(за 10 лет)
Найдем коэффициенты уравнения линейной регрессии
( )
Уравнение линейной регрессии (см. рис. 4.1)
1,Qi,Qaregress:1kr
==
−
3
1
172.1
418.1
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]