Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы обработки гидрологической информации. Лабораторный практикум для студентов вузов, обучающихся в бакалавриате по направлению подготовки «Природо
.pdf
( )
781.0
Cv)2n)(1n(
1kn
Cs
3
n
1i
3
i
=
⋅−−
−⋅
=
∑
=
147.0
125
1
132
Cs1r
33
1r
250
Cv
1n
1r1
:1r
22
=
−
⋅
+++
−
−
=
∆
645.1)1,0,95.0(qnorm:tn ==
QsQ:DQ
ii
−=
i
DQ
2
1n
:mN+=
2
1n:N−
=σ
[ ]
NtnmN;NtnmN σ⋅+σ⋅−
[ ]
9.27;1,17
При Cv < 0,6 и Cs < 1,0 коэффициенты вариации и асимметрии допуска-
ется определять без введения поправок [13].
Абсолютная погрешность коэффициента автокорреляции
Квантиль нормального распределения (и других распределений) может
быть найден по встроенной функции Mathcad
2) Критерий общего числа серий. Сформируем массив
Серия состоит из следующих подряд элементов
одного знака. Общее
число серий будет равно количеству изменений знака в соседних элементах
указанного массива. Следующая программа позволяет сосчитать это число
0N
←
n..2jfor
∈
:Ns
=
0DQDQif1NN
<⋅+←
1jj
−
N
В рассматриваемом примере Ns = 19. Математическое ожидание числа
серий и среднее квадратическое отклонение для случайной величины [11]
Доверительный интервал для числа серий случайной величины
Так как Ns принадлежит найденному интервалу, нулевая гипотеза не от-
вергается.
1. Продолжительность периода наблюдений (длину гидрологического ряда)
считаем достаточной, так как относительная средняя квадратическая погрешность годового стока не превышает 10 %.
2. Данные наблюдений не противоречат гипотезе об однородности гидрологи-
ческого ряда.
3. Данные наблюдений не противоречат гипотезе о равенстве нулю коэффици-
ента автокорреляции ряда. Для описания гидрологического ряда применима
модель нулевого порядка (модель случайной величины).
или
.
Выводы:
11
Контрольные вопросы
{ } ( )
∞→
=≥
N
N/mlimxXp
m
{ } ( )
%100N/mxXpP
mm
⋅≈≥=
)%n/100(P1=
)%n/200(P2=
1. В каком нормативном документе определены правила проведения инженер-
ных гидрологических расчетов?
2. Как оценить достаточность длины гидрологического ряда?
3. Что оценивают с помощью коэффициента автокорреляции между смежны-
ми членами ряда?
4. Что такое коэффициент вариации и коэффициент асимметрии ряда?
5. С помощью каких критериев проверяют однородность гидрологического
ряда?
6. С помощью каких критериев проверяют применимость модели случайной
величины?
7. Как применить критерий общего числа серий?
8. Как найти доверительный интервал для числа серий случайной величины?
Лабораторная работа № 2.
ПОСТРОЕНИЕ КРИВОЙ ОБЕСПЕЧЕННОСТИ ПРИ НАЛИЧИИ
ДАННЫХ ГИДРОМЕТРИЧЕСКИХ НАБЛЮДЕНИЙ
Функция обеспеченностей, построенная по эмпирическим данным, назы-
вается эмпирической кривой обеспеченности.
Так как реальные ряды наблюдений за гидрологическими характеристи-
ками, как правило, не превышают нескольких десятков лет, используется следующий метод построения эмпирической кривой обеспеченности. Члены эмпирического ряда ранжируются, т.е. располагаются в убывающем порядке.
Допустим, имеется ряд величин какой-либо характеристики гидрологиче-
ского режима, расположенных в убывающем порядке: x
x
. Тогда теоретическая вероятность превышения для m-го члена ряда может
N
> x2 > x3 >…> xm >…>
1
быть выражена формулой
В то же время длина реальной выборки n всегда конечна. Заменяя N на п
и используя формулу (2.1), можно попытаться приблизительно оценить вероятность превышения для каждого члена имеющейся выборки
где m - порядковый номер х
(в %) m-го члена ранжированного ряда.
В соответствии с формулой (2.2) обеспеченность первого (самого боль-
шого) члена ранжированного ряда будет равна
100 %. Таким образом, если принять данную формулу, получится, что послед-
. (2.1)
, (2.2)
в ранжированном ряду; Pm – обеспеченность
m
, второго –
и т. д. Oбеспеченность последнего члена ряда будет равна Pn =
12
ний член ранжированного ряда представляет собой абсолютный минимум и СВ
n
5,0m
−
1n
m
+
%100
4,0n
3,0m
P
m
+
−
=
X никогда не примет значение меньше чем x
.
n
Данный парадокс возникает в связи с тем, что мы заменили N на n. В дей-
ствительности можно получить бесконечное множество выборок из генеральной совокупности длиной п, каждая из которых будет иметь свои максимум и
свой минимум. В этом смысле эмпирическая обеспеченность m-го члена ранжированного ряда сама будет являться случайной величиной, и в качестве расчетного значения разумно принять ее математическое ожидание, моду или
иную устойчивую характеристику. С учетом сказанного в настоящее время разработано около десятка формул для расчета эмпирической обеспеченности, в
частности
Формула А. Хазена
P
Формула Крицкого-Менкеля
Формула Н.Н. Чегодаева
m
=
P
=
m
; (2.3)
%100
; (2.4)
%100
. (2.5)
Формула (2.3) предполагает замену ступенчатого графика эмпирических
частот сглаженной кривой, проходящей через середины ступенек графика.
Обеспеченность первого члена ряда по зависимости (2.3) составит (1/2n)100 %.
Такая оценка недостаточно обоснована, поскольку в этом случае повторяемость
наблюденного максимума относится к периоду, вдвое превышающему период
наблюдений. Формула (2.4) соответствует математическому ожиданию эмпирической обеспеченности, а формула (2.5) - медианному значению эмпирической обеспеченности. Среди перечисленных формул в определенном смысле
наилучшей является формула (2.4), так как получаемая по ней оценка эмпирической обеспеченности является состоятельной, несмещенной и эффективной.
Выбор формулы для расчета эмпирической обеспеченности содержит
элемент субъективизма и зависит от традиций и специфики решаемых задач. В
России действующие в настоящее время нормативные документы рекомендуют
в качестве основной формулы выражение (2.4).
Второй способ построения эмпирической кривой обеспеченности можно
рекомендовать только в том случае, когда имеется достаточно продолжительный ряд значений СВ (не менее 100). Он заключается в разбиении размаха варьирования данных наблюдений на некоторое количество интервалов и подсчете количества наблюдений, попавших в каждый интервал.
Довольно часто требуется рассчитать значения расходов для обеспеченностей, которые гораздо меньше или гораздо больше, имеющихся в выборке.
Например, при проектировании гидротехнических сооружений первого класса
требуется иметь расход обеспеченностью 0,01 %. Для решения подобных задач
необходимо уметь экстраполировать эмпирическую кривую в область больших
и малых значений. Очевидно, что экстраполяция на глаз здесь не возможна, поскольку результаты такой экстраполяции будут носить слишком субъективный
характер. В практике гидротехнических расчетов для сглаживания и экстрапо-
13
ляции эмпирических кривых обеспеченностей используются аналитические
)x0( +∞<<
ds)s(exps
)(
)z(G
z
0
1
∫
α−
αΓ
α
=
−α
α
[ ]
[ ]
b
b/1
)/k(z a=
b/1
[ ]
b
1
ib
i
)(
)b(
kM
)(
)ib(
α⋅αΓ
⋅+αΓ
=µ=⇒
α⋅αΓ
⋅+αΓ
=µ
aa
i
)b(
)(
b
+αΓ
α⋅αΓ
=a
кривые. Выбранная аналитическая кривая по отношению к эмпирической кривой исполняет роль своего рода гидрологического лекала.
В такой постановке задача гидролога сводится к решению задач:
1) произвести выбор аналитической кривой;
2) оценить по эмпирическим данным параметры распределения;
3) оценить насколько хорошо аналитическая кривая согласуется с эмпи-
рической кривой обеспеченности;
4) найти по аналитической кривой обепеченности величину гидрологиче-
ской характеристики заданной обеспеченности.
Действующие в настоящее время в России нормативные документы [13]
рекомендуют кривую Крицкого-Менкеля в качестве стандартной кривой при
проведении гидрологических расчетов. Кривая распределения вероятностей
Пирсона III типа, широко используемая в прежние годы в практике гидрологических расчетов, обладает одним существенным недостатком: при Cs < 2Cv она
уходит в область отрицательных значений. В связи с этим неоднократно предпринимались попытки получения кривой для аппроксимации закона распределения гидрологических величин с диапазоном изменения
, и при-
годной для всех реально встречающихся на практике соотношений Cs и Сv.
Решение этой задачи в середине сороковых годов предложили С.Н. Крицкий и
М.Ф. Менкель. В качестве исходной модели они приняли кривую Пирсона III
типа при Cs = 2Cv, трансформировав аргумент z в новую переменную k = az
b
:
. (2.6)
При этом предполагалось, что МО новой переменной равно единице, т.е.
.
1zMkM
=⋅= a
Подставляя в выражение (2.6)
, имея в виду, что f(k)=dG(k)/dk,
Крицкий и Менкель получили новое распределение с плотностью вероятности
α
)k(f
=
α
b/
α
)(ba
⋅
αΓ
exp
k
⋅α−⋅
a
k
⋅
1b/
−α
. (2.7)
Начальный момент i-го порядка этого распределения связан с параметра-
ми a, α и b соотношением
. (2.8)
По условию М[k] = 1, приравняв (2.8) к единице, получаем выражение для а:
. (2.9)
Подставляя (2.8) в (2.7), можно получить выражение кривой плотности
вероятности Крицкого - Менкеля, записанное через Г-функцию. Это выражение
определяется двумя параметрами α и b, которые с учетом (2.7) могут быть вы-
14
ражены через второй и третий начальные моменты. В свою очередь, μ2 , μ3
Q
=
8.51
...
2.39
3.35
2.48
7.29
:Q
можно выразить через Cv и Сs. Таким образом, полученное распределение будет двухпараметрическим, однако, чтобы в дальнейшем перейти от модульных
коэффициентов k к искомой СВ X , необходимо знать третий параметр m
x
. С
учетом сказанного распределение Крицкого-Менкеля называют трехпараметрическим гамма-распределением.
Поскольку функцию обеспеченности Крицкого-Менкеля нельзя выразить
через элементарные функции, ее ординаты представляют в виде таблиц (см.,
например, [10,11]). Таблицы составлены в модульных коэффициентах и позво-
ляют определить значение k
в зависимости от Cv, отношения (Cs/Сv) и рас-
P%
четной обеспеченности P(%).
В лабораторной работе № 2 показано, что можно гораздо быстрее и точнее найти функцию обеспеченности Крицкого-Менкеля в среде Mathcad.
Задание
1. Использовать гидрологический ряд из лабораторной работы № 1 с найден-
ными числовыми характеристиками (среднеарифметическое значение расходов воды за n лет
, несмещенную оценку коэффициента автокорреля-
ции между смежными членами ряда r1, среднее квадратическое отклонение
расхода и коэффициент вариации, коэффициент асимметрии).
2. Построить график гидрологического ряда, выполнить скользящее осредне-
ние с интервалом три и пять лет.
3. По методу наибольшего правдоподобия найти числовые характеристики
трехпараметрического гамма-распределения среднегодовых расходов.
4. Построить эмпирическую и теоретическую кривую обеспеченности средне-
годовых расходов. Найти расходы с вероятностью превышении: 1, 5, 10, 90,
95, 99%.
Пример выполнения лабораторной работы
Нумерация массивов начинается с единицы ORIGIN : = 1
Длина гидрологического ряда n : = 44
Индексы массивов i : = 1..n i1 : = 2..n
Ввод гидрологического ряда (столбец высотой n)
15
Среднеарифметическое значение расходов воды
)Q(sort:11Q =
1ini
11Q:1Q+−=
1n
i
+
Qs
Q
10.6)Q(Stdev: ==σ
171.0
Qs
:Cv =
σ
=
n
66.2
Cv
Cs
:
Oe ==
( )
014.0kln
1n
1
:2
n
1i
i
−=⋅
−
=λ
∑
=
1:b1: ==α
Qs : = mean(Q) = 35.76
Сортировка гидрологического ряда по убыванию
;
Эмпирическая ежегодная вероятность превышения расхода, модульные
коэффициенты расхода
i
:k
:P
=
i
100
⋅
=
i
Среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, коэффициент асимметрии и их отношение по данным наблюдений
.
Скользящее осреднение ряда с интервалом 3 и 5 лет (рис. 2.1)
Q3 : = medsmooth(Q,3) Q5 : = medsmooth(Q,5)
Вычисляем параметр λ2, задаем начальное приближение параметров
трехпараметрического гамма-распределения
:Cs
=
( )
∑
1i
=
3
1kn
−⋅
i
455.0
=
3
Cv)2n)(1n(
⋅−−
Рис. 2.1. Гидрологический ряд Q (м
i – номер члена ряда
Вычисляем параметр λ2, задаем начальное приближение параметров
трехпараметрического гамма-распределения
3
/с); результаты скользящего осреднения:
16
( )
014.0kln
1n
1
:2
n
1i
i
−=⋅
−
=λ
∑
=
1:b1: ==α
( )
0dt)texp()tln(t
)(
b
)(
b
ln2
0
1
=
−⋅⋅⋅
αΓ
−
αΓ
+αΓ
+λ
∫
∞
−α
( )
( ) ( )
0bkkln
1n
1
)(
b
2
n
1i
b
1
ii
b
1
=+
⋅⋅
−
⋅
αΓ
+αΓ
−λ⋅α
∑
=
( )
414.1A:b58.69A:b,Find:A
21
====αα=
x
0
Параметры
трехпараметрического гамма-распределения находим мето-
дом наибольшего правдоподобия, для чего численно решается система интегральных уравнений с помощью следующих операторов
Given
Найденные параметры позволяют записать плотность трехпараметриче-
ского гамма-распределения
α
α
1
1
=
:)x(f
αΓ⋅
( ) ( )
⋅
)(b
+αΓ
b
b
αΓ
)(
−
b
⋅
−⋅
expx
+αΓ
b
αΓ
)(
1
b
⋅
x
Функция распределения и теоретическая вероятность превышения (обеспеченность) среднегодового расхода (рис. 2.2)
=
∫
dt)t(f:)x(F
=
F1100:)Qw(Po
−⋅
Qw
Qs
Рис. 2.2. Эмпирическая (точки) и теоретическая (линия) кривая обеспеченности
3
среднегодовых расходов Q (м
/с)
Полученная функция Pо(Q) позволяет находить расход любой заданной
обеспеченности, решая уравнение с помощью оператора root, например, при
Р = 1, 5, 90, 95%:
17
Qs:Qw =
( )
59.511_QQw,1)Qw(Poroot:1_Q =−=
( )
35.465_QQw,5)Qw(Poroot:5_Q =−=
( )
29.2890_QQw,90)Qw(Poroot:90_Q =−=
( )
50.2695_QQw,95)Qw(Poroot:95_Q =−=
Коэффициенты вариации, асимметрии и их отношение, рассчитанные по
( )
∫
⋅−=
5
0
2
dx)x(f1x:Cv
( )
∫
⋅−⋅=
5
0
3
3
dx)x(f1x
Cv
1
:Cs
29.2
Cv
Cs
:Ot389.
0Cs170.0Cv ====
теоретической кривой обеспеченности
Выводы:
1. Теоретическая кривая обеспеченности среднегодовых расходов,
построенная по
гласуется с эмпирической кривой обеспеченности.
2. Коэффициент вариации трехпараметрического гамма-распределения прак-
тически не отличается от эмпирического значения, тогда как коэффициент
асимметрии отличается на 14,5 %.
3. Теоретическая кривая обеспеченности позволяет с помощью оператора root
вычислять среднегодовой расход любой заданной обеспеченности.
1. Что такое обеспеченность (вероятность превышения) среднегодового рас-
хода водотока в заданном створе?
2. В каких инженерных расчетах используется понятие обеспеченности?
3. Как получить эмпирическую кривую обеспеченности для заданного гидро-
логического ряда?
4. В каких разделах СП-2003 определены правила расчетов среднегодовых
расходов заданной обеспеченности?
5. Почему для описания гидрологического ряда (среднегодовых расходов) ши-
роко используют трехпараметрическое гамма-распределение?
6. В чем заключается скользящее осреднение ряда с интервалом три и пять
лет? Для чего оно используется?
7. Каким методом находят параметры
распределения?
8. С помощью каких операторов в среде Mathcad можно численно решить си-
стему интегральных уравнений?
трехпараметрическому гамма-распределению, хорошо со-
Контрольные вопросы
трехпараметрического гамма-
18
Лабораторная работа № 3.
nlg5⋅≈η
8060804060204020
xx;xxx;xxx;xxx;xx <<≤<≤<≤≤
ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИДРОЛОГИЧЕСКОГО РЯДА
Одной из основных задач при определении расчетных гидрологических
характеристик является выбор аналитического выражения для аппроксимации
закона распределения исследуемой гидрологической величины.
Выбор считается обоснованным, если имеет место хорошее соответствие
эмпирической и аналитической кривых обеспеченностей. Если такой анализ
производится визуально, это вносит элемент субъективизма. Более объективно
решить поставленную задачу можно, используя критерии согласия. При этом
реализуется схема, аналогичная той, которая применялась при проверке гипотез
об однородности гидрологических рядов: выдвигаются нулевая и
альтернативная гипотезы; назначается уровень значимости; вычисляется
эмпирическое значение тестовой статистики; по результатам расчетов
принимается решение.
В данном случае в качестве нулевой принимается гипотеза о соответствии
(согласии) аналитической и эмпирической функций распределения, а в качестве
альтернативной – их несоответствие. Степень согласия оценивается с помощью
специальных статистик. Различные критерии (тесты) используют для оценки
степени согласия разные статистики. В гидрологической практике наиболее
часто применяются критерий χ
2
(Крамера - Мизеса - Смирнова).
nω
Критерий χ
2
(Пирсона) в настоящее время является наиболее
2
(Пирсона), критерий Колмогорова и критерий
распространенным критерием согласия. Для его применения область
допустимых значений исследуемой СВ X разбивается на η интервалов. Число
интервалов можно приблизительно определить по формуле в зависимости от
длины n имеющейся выборки:
.
При назначении границ интервалов наиболее удобно использовать
следующую схему:
1. Выбрать аналитическую кривую для аппроксимации закона
распределения исследуемой случайной величины.
2. Оценить по имеющейся выборке параметры распределения.
3. Построить аналитическую кривую обеспеченностей.
4. Разбить ось обеспеченностей на η равных интервалов.
5. Используя аналитическую кривую, определить границы интервалов для
СВ X в зависимости от границ интервалов на оси обеспеченностей. Например,
если η = 5, то границы интервалов на оси обеспеченностей будут соответствовать значениям 0, 20, 40, 60, 80, 100 %; а ось X разобьется на интервалы:
.
При реализации данной схемы модифицированного критерия Пирсона
интервалы по оси X не будут равновеликими, но зато вероятность попадания
значения СВ X в любой интервал будет одинаковой p = 1/η. Одинаковым будет
и теоретическое число случаев попадания значения СВ X в каждый интервал
m=n/η (n – длина выборки).
19
В качестве меры расхождения между эмпирическими данными и
( )
=
1i
2
*
i
p
2
1 α−
[ ] [ ]
{ } { }
)t(m)t(m)t(X)t(XM)t(m)t(X)t(m)t(XM)t,t(K
xxxxx
′
⋅−
′
⋅=
′
−
′
⋅−=
′
аналитической функцией распределения используется тестовая статистика
η
2
( )
*
⋅=χ
n
∑
*
−
pp
i
i
p
, (3.1)
i
где
и pi – соответственно, эмпирическая и теоретическая вероятности
попадания значения СВ в i-й интервал; n – длина выборки; η – число
интервалов.
К. Пирсон показал, что закон распределения данной статистики не
зависит от вида исходного распределения и при достаточно большом n хорошо
аппроксимируется распределением χ
2
с числом степеней свободы ν = η – θ – 1,
где θ – число параметров распределения, определяемых по эмпирическим
данным.
Из выражения (3.1) видно, чем больше расхождение между эмпирической
и аналитической кривыми, тем больше значение статистики χ
2
. Поэтому при
использовании критерия Пирсона назначают односторонний уровень
значимости (обычно α = 5% или α = 10 %). Гипотеза о согласии эмпирической и
аналитической кривых обеспеченности не опровергается, если эмпирическое
значение статистики (13.1) не превышает теоретическое значение χ
2)*
соответствующее принятому уровню значимости α, т.е. если (χ
Критерий χ
2
может быть применен при выяснении вопроса о лучшем
χ≤
.
2
соответствии одной из нескольких аналитических кривых распределения
одному и тому же эмпирическому ряду. При этом меньшее значение χ
2
будет
свидетельствовать о лучшем соответствии данной функции распределения
эмпирическим данным.
Следует подчеркнуть, что использование критерия Пирсона для выборок
небольшого объема может приводить к неправильным выводам, а ряды
наблюдений за гидрологическими характеристиками обычно не превышают
нескольких десятков лет. Это накладывает определенные ограничения на
использование данного критерия. Принято считать, что критерий согласия χ
2
допустимо применять при n > 50. При этом требуется, чтобы число разрядов
(интервалов) было равно 7-12 и в каждом разряде было не менее 5 элементов.
Корреляционной функцией случайного процесса (СП) X(t) называется
неслучайная функция K
(t,t'), которая при каждой паре значений аргументов t и
x
t' равна ковариации соответствующих сечений X(t) и X(t'):
,
.
(3.2)
Свойства корреляционной функции: при равенстве аргументов (t = t')
корреляционная функция равна дисперсии СП; корреляционная функция симметрична относительно своих аргументов K
(t,t')= Kx(t',t).
x
Нормированной корреляционной функцией (НКФ) СП X(t) называется
функция, полученная
делением корреляционной функции на произведение
СКО:
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]