Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы обработки гидрологической информации. Лабораторный практикум для студентов вузов, обучающихся в бакалавриате по направлению подготовки «Природо
.pdf
7. Почему для описания ряда максимальных годовых расходов можно ис-
∞→N
∑
=
=
n
1i
i
x
n
1
x
пользовать трехпараметрическое гамма-распределение?
8. Каким методом находят параметры
трехпараметрического гамма-
распределения?
9. С помощью каких операторов в среде Mathcad можно численно решить
систему интегральных уравнений?
Лабораторная работа № 13.
ИССЛЕДОВАНИЕ РЯДА СУММ ГОДОВЫХ ОСАДКОВ
И ИХ ВНУТРИГОДОВОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
В силу случайности выборки ее числовые характеристики являются слу-
чайными величинами, отличаясь этим от достоверных числовых характеристик
теоретического распределения, которому подчиняется генеральная совокупность. Полученные по эмпирическим данным числовые характеристики СВ X
принято называть точечными оценками числовых характеристик (или выборочными характеристиками).
При статистической обработке гидрологических и климатических рядов
используются несколько методов расчета оценок параметров распределения.
Эти методы можно условно разделить на три группы: аналитические,
графоаналитические и графические. Графический и графоаналитический
методы расчета оценок параметров распределения, хотя и применяются до сих
пор, можно считать устаревшими. При их использовании необходимо заранее
знать, какая из аналитических кривых будет применяться для аппроксимации
распределения исследуемой СВ.
В аналитических методах оценки параметров распределения представля-
ют собой числа, полученные путем подстановки выборочных значений СВ X x
,…, xn в теоретическую формулу оцениваемого параметра. При этом жела-
x
2
1
тельно, чтобы оценка удовлетворяла требованиям состоятельности, несмещенности и эффективности. К числу аналитических методов относятся метод моментов и метод наибольшего правдоподобия.
Метод моментов основан на использовании моментов эмпирического
распределения, которые являются состоятельными оценками соответствующих
теоретических моментов. При замене теоретических моментов эмпирическими
вместо
вероятность p
используется конечное число значений случайной величины п, а
того, что СВ X примет значение xi заменяется частотой (pi =1/n).
i
Точечную оценку математического ожидания (выборочное среднее СВ X)
можно вычислить по формуле (оценка является состоятельной и несмещенной):
,
. (13.1)
Состоятельная и несмещенная точечная оценка дисперсии (исправленная
выборочная дисперсия), а также СКО и коэффициента вариации
91
( )
∑
=
−
−
=
n
1i
2
i
2
xx
1n
1
S
,
=
1i
=
1i
n
1i
n
1i
S)2n)(1n(
)G,x(f...)G,x(f)G,x(f)G,x(f)G,x(L
n321i
⋅⋅⋅⋅=
n
1
=
S
−
∑
1n
( )
2
−
xx
i
,
Cv
*
=
n
1
( )
∑
−
1n
2
−
1k
i
. (13.2)
где
– модульный коэффициент.
x/xkii=
Состоятельная и несмещенная точечная оценка коэффициента асимметрии
Cs
*
=
n
( )
3
−−
3
=−
xx
i
−
n
( )
∑∑
−
3*
)Cv)(2n)(1n(
==
3
. (13.3)
−
1k
i
Оценки числовых характеристик, связанных с моментами более высоких
порядков, в практике гидрологических расчетов обычно не используются, так
как при существующей в настоящее время длине гидрологических рядов эти
оценки не удовлетворяют необходимой точности. Строго говоря, для
достоверной оценки уже третьего центрального момента (а следовательно, и
Cs) необходимы выборки в несколько сотен членов. Поэтому на практике
вместо выборочного значения коэффициента асимметрии рекомендуется
использовать районное соотношение Cs/Cv. Имея районное соотношение Cs/Cv
и рассчитав выборочную оценку коэффициента вариации несложно получить и
оценку Cs.
К достоинствам метода моментов можно отнести то, что оценки
параметров не зависят от закона распределения исследуемой случайной
величины; а также то, что расчетные формулы достаточно просты и позволяют
получить искомые параметры в явном виде. Поэтому метод моментов получил
наибольшее распространение в практике гидрологических расчетов.
В то же время нужно иметь в виду, что оценки дисперсии, коэффициента
вариации и коэффициента асимметрии имеют отрицательную смещенность.
Это приводит к тому, что при больших значениях коэффициента вариации (Cv
> 0,5) достоверность моментных оценок ощутимо снижается, а введение
поправочных коэффициентов становится неэффективным. Поэтому при Cv >
0,5 для расчета оценок параметров распределения рекомендуется использовать
метод наибольшего правдоподобия.
Для нахождения оценки методом наибольшего правдоподобия
необходимо прежде всего построить функцию правдоподобия. Чтобы понять,
как это делается, рассмотрим выборку значений случайной величины X
объемом в п членов. Предположим, что функция плотности вероятности СВ X
имеет достаточно простой вид: f(x,G), т.е. зависит от одного параметра G. Суть
метода состоит в том, чтобы найти такое значение параметра G, при котором
вероятность получить в результате п опытов именно данную выборку (x
) являлась бы максимальной. С математической точки зрения эта задача
x
n
сводится к нахождению максимума некоторой функции L(x
называется функцией правдоподобия. Функция L(x
совместную плотность вероятности вектора Х=(x
, x2,…, xn) при данном G:
1
,G) представляет собой
i
,G), которая и
i
, x2,…,
1
. (13.4)
Согласно правилам нахождения экстремумов, для определения максиму-
ма функции L(x
,G) нужно решить уравнение
i
92
)G,x(L
∂
Для упрощения решения обычно используют логарифмическую функцию
n
n
n
правдоподобия ln[L(x
,G)]. Учитывая, что эта функция имеет максимум при том
i
же значении G, получаем
i
G
∂
. (13.5)
0
=
∂
1
∂
L
G
∂
L
Lln
=
=
∂
G
∑
=
1i
∂
∂
G
)]G,x(f[ln
i
=
0
. (13.6)
Если функция распределения зависит от нескольких параметров, следует
взять частные производные по каждому из них.
Применительно к нормальному закону распределения оценки параметров,
полученные методом наибольшего правдоподобия, совпадают с моментными
оценками. Для других распределений такое совпадение не является
обязательным. Более сложная система уравнений правдоподобия получается
для трехпараметрического гамма-распределения. На практике параметры этого
распределения Cv и Cs определяются на основе приближенного метода
наибольшего правдоподобия (МНП) с помощью специально разработанных
номограмм [11] как функция вспомогательных статистик λ
1
=λ
∑
−
1n
klg
,
i2
=
1i
1
=λ
∑
−
1n
⋅
=
1i
и λ3
2
klgk
. (13.7)
ii3
В качестве особенностей МНП можно отметить то, что в нем наибольший
вес придается средним членам выборки, имеющим наибольшую вероятность, в
отличие от метода моментов, где самый большой вклад вносят крайние члены.
МНП дает состоятельные и наиболее эффективные оценки. Полученные по
этому методу оценки могут быть незначительно смещены, но это смещение
легко устраняется путем введения соответствующих поправок. Однако
перечисленные свойства проявляются только в случае достаточно больших
выборок.
К недостаткам МНП можно отнести то, что для его применения
необходимо точно знать аналитическое выражение закона распределения. В
гидрологической практике это не всегда возможно. К тому же не всегда удается
получить решение в аналитическом виде, и определение максимума функции
правдоподобия приходится производить численными методами или строить номограммы.
Задание
1. В соответствии с вариантом из on-line архивов метеорологических данных [4, 9, 14] выбрать месячные осадки не менее чем за 40 лет. Сформировать текстовый файл и использовать его в среде Mathcad для расчета
суммы осадков за каждый год и построения графика и линейного тренда
изменения годовых осадков.
93
2. Найти среднюю многолетнюю норму годовых осадков, оценку коэффи-
txt.2013-RM1949
)"txt.2013-RM1949("READPRN:1RR =
65)1RR(rows:n ==
><=τ1
1RR:
T
1RR:RR =
( )
n,1,13,2,RRsubmatrix:Rg =
∑
><
=
i
i
Rg:R
циента автокорреляции между смежными членами ряда r1, среднее квадратическое отклонение, среднюю квадратическую погрешность выборочных средних. Оценить достаточность продолжительности периода
наблюдений за суммами годовых осадков.
3. По методу наибольшего правдоподобия найти числовые характеристики
трехпараметрического гамма-распределения сумм годовых осадков. Рассчитать сыммы годовых осадков с вероятностью превышении: 1, 5, 90,
95%.
4. Вычислить среднемесячные суммы осадков для 30-летних интервалов и
представить их графически.
Пример выполнения лабораторной работы
(метеостанция № 26702, г. Калининград)
Поиск и ввод данных измерений
Выбираем данные о суммах ежемесячных осадков в г. Калининграде с
1949 по 2005 гг. из [14], с 2006 по 2013гг. из [4] и записываем с указанием года
в текстовый файл
(заголовок таблицы необходимо убрать) :
1949 60 34 14 58 60 83 93 68 26 21 82 110
1950 30 58 22 91 28 26 65 69 105 204 103 47
1951 84 30 51 40 24 27 40 26 67 9 46 63
1952 52 61 29 50 33 78 36 67 67 105 121 35
1953 29 54 10 19 39 52 68 57 95 67 33 15
1954 51 4 15 65 29 45 142 82 71 118 38 93
1955 49 23 45 60 65 55 18 14 90 46 101 96
1956 68 36 15 44 13 73 86 156 46 108 68 33
1957 39 49 20 14 32 24 86 240 163 44 34 34
1958 48 109 51 45 65 81 118 51 89 85 39 105
…
2013 71 46 16 51 50 94 89 53 148 45 58 71
Составляем программу в среде Mathcad.
ORIGIN : = 1
Считываем массив данных
Объем выборки
Индексы массивов i : = 1..n i1 : = 2..n j : = 1.. 12
Годы наблюдений
Транспонирование матрицы
Матрица ежемесячных сумм осадков за 65 лет
Сумма осадков за каждый i-й год (мм)
94
Осреднение выполняем с помощью оператора R3 : = medsmooth(R,3)
( ) ( )
t,R,,vserpint:)t(LT1,R,regress:vs τ=τ=
8.123)1949(LT)2013(LT =−
( )
RaugmentRtg ,:τ=
( )
RtgRgWRITEPRN =:"2013_1949"
( )
RaugmentRtg ,:τ=
( )
RtgRgWRITEPRN =:"2013_1949"
( )
66.793Rmean:Rs ==
98.794R
1n
1
:1Rs
n
2i
i
=⋅
−
=
∑
=
69.793R
1n
1
:2Rs
1n
1i
i
=⋅
−
=
∑
−
=
( ) ( )
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
051.0
2RsR1RsR
2RsR1RsR
:ro
1n
1i
2
i
n
2i
2
i
n
2i
1ii
−=
−⋅−
−⋅−
=
∑∑
∑
−
==
=
−
Находим линейный тренд изменения сумм годовых осадков
Запишем в текстовый файл суммы осадков с указанием года
Рис. 13.1. Суммы годовых осадков в г.Калининграде, мм: точки – данные
наблюдений; шШтрихпунктирная линия – осреднение по суммам годовых
осадков трех смежных лет; сплошная линия – линейный тренд
Запишем в текстовый файл суммы осадков с указанием года
Среднее значение годовых сумм осадков (мм) в г. Калининграде за 65 лет:
Вспомогательные средних годовых сумм осадков по формулам (Б.3) из [13]
Смещенная оценка коэффициента автокорреляции между смежными чле-
нами ряда по формуле (Б.2)
Несмещенная оценка коэффициента автокорреляции между смежными
членами ряда по формуле (Б.1) близка к нулю
95
( )
n
1
22
28.143)R(Stdev: ==σ
181.0
Rs
:Cv =
σ
=
08.17
1r1
1r1
n
:Rs =
−
+
⋅
σ
=∆
Rs
Rs
∆
)R(sort:11R =
1ini
11R:1R+−=
100
1n
i
:P
i
⋅
+
=
Rs
R
:k
i
i
=
( )
017.0kln
1n
1
:2
n
1i
i
−=⋅
−
=λ
∑
=
1:b1: ==α
( )
0dt)texp()tln(t
)(
b
)(
b
ln2
0
1
=
−⋅⋅⋅
αΓ
−
αΓ
+αΓ
+λ
∫
∞
−α
( )
( ) ( )
0bkkln
1n
1
)(
b
2
n
1i
b
1
ii
b
1
=+
⋅⋅
−
⋅
αΓ
+αΓ
−λ⋅α
∑
=
( )
460.0A:b632.6A:b,Find:A
21
====αα=
( ) ( )
⋅
αΓ
+αΓ
−⋅⋅
αΓ
+αΓ
⋅
αΓ⋅
=
−
α
α
b
1
1
b
b
x
)(
b
expx
)(
b
)(b
1
:)x(f
ro69.5ro46.666.1ro06.0ro98.001.0:1r
Среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации
04.0
−=⋅⋅+⋅++⋅−⋅+−=
Случайные средние квадратические погрешности выборочных средних
при r1<0,5 определяют по приближенной зависимости (5.26) из [13]
Относительная погрешность среднего значения годовых сумм осадков
: =⋅
=ε
%2.2100
Величина ε < 10 %, поэтому период наблюдений за годовыми суммами
осадков считаем достаточным для формирования кривой обеспеченности.
Эмпирическая обеспеченность определяется по формулам
Вычисляем модульные коэффициенты годовых сумм осадков, параметр
λ2, задаем начальное приближение параметров
распределения
трехпараметрического гамма-
Параметры
трехпараметрического гамма-распределения находим мето-
дом наибольшего правдоподобия, для чего численно решается система интегральных уравнений с помощью следующих операторов
Given
Найденные параметры позволяют записать плотность трехпараметриче-
ского гамма-распределения годовых сумм осадков
печенность) годовых сумм осадков
Функция распределения и теоретическая вероятность превышения (обес-
96
=
x
0
−⋅=
Rs
Rx
FRxPо 1100:)(
RsRw =:
( )
1142,1)(:1_ =−= RwRwPorootR
( )
1036,5)(:5_ =−= RwRwPorootR
( )
0.612,90)(:90_ =−= RwRwPorootR
( )
4.564,95)(:95_ =−= RwRwPorootR
( )
181.0dx)x(f1x:Cv
5
0
2
=⋅−=
∫
0
87.0
Cv
Cs
:O ==
( )
( )
><==j
j
1Pmean:1N13,2,32,3,1RRsubmatrix:1P
( )
( )
><==j
j
2Pmean:2N13,2,42,13,1RRsubmatrix:2P
( )
( )
><==j
j
3Pmean:3N13,2,52,23,1RRsubmatrix:3P
( )
( )
><==j
j
4Pmean:4N13,2,62,33,1RRsubmatrix:4P
∫
dt)t(f:)x(F
Полученная функция P(R) позволяет рассчитать годовые суммы осадков
заданной обеспеченности, например, при Р = 1, 5, 90, 95%
Рис. 13.2. Эмпирическая (точки) и теоретическая (линия) кривая
обеспеченности сумм годовых осадков в г. Калининграде (мм)
Коэффициенты вариации, асимметрии и их отношение, рассчитанные по
теоретической кривой обеспеченности, мало отличаются от значений,
полученных по данным наблюдений.
5
1
:Cs
3
∫
Cv
( )
3
=⋅−⋅=
158.0dx)x(f1x
Вычислим среднемесячные суммы осадков для 30-летних интервалов:
Для 1951-1980 гг.
Для 1961-1990 гг.
Для 1971-2000 гг.
Для 1981-2010 гг.
97
Рис. 13.3. Среднемесячные суммы осадков в г. Калининграде (мм):
N1 - 1951-1980 гг.; N2 - 1961-1990 гг.; N3 - 1971-2000 гг.; N4 - 1951-1980 гг.
Выводы:
1. Среднее многолетнее значение годовых сумм осадков в г.Калининграде
за 65 лет составляет 794 мм. Линейный тренд показывает увеличение годовых сумм осадков в г. Калининграде с 1949 по 2013 гг. на 124 мм.
2. Относительная погрешность выборочного среднего значения годовых
сумм осадков ε < 10 %, поэтому период наблюдений за годовыми суммами осадков (65 лет) считаем достаточным для расчета характеристик.
3. Трехпараметрическое гамма-распределение (теоретическая кривая
обеспеченности) годовых сумм осадков в г. Калининграде хорошо
согласуется с эмпирической зависимостью. Позволяет рассчитать
годовые суммы осадков любой заданной обеспеченности.
4. С 1950 г. по настоящее время произошло заметное изменение внутригодо-
вого распределения осадков в Калининграде. Монотонное увеличение
среднемесячных сумм осадков для 30-летних интервалов с января по март
и в июне: снижение – в июле и сентябре.
Контрольные вопросы:
1. В каких on-line источниках можно найти архивные данные с месячными и
годовыми суммами осадков в городах России?
2. Как в среде Mathcad построить линейный тренд изменения годовых сумм
осадков?
3. Как рассчитать несмещенную точечную оценку коэффициента автокорреляции между годовыми суммами осадков соседних лет?
4. Какой период наблюдений за годовыми суммами осадков считается достаточным для формирования кривой обеспеченности?
98
5. Что такое обеспеченность сумм годовых осадков? Где она используется в
σ
−−
⋅
πσ
=
2
x
2
x
x
2
)mx(
exp
2
1
)x(f
);( +∞−∞
x
∞−
xx
/)mx(t σ−=
инженерной практике?
6. Каким способом в среде Mathcad можно найти параметры
трехпарамет-
рического гамма-распределения сумм годовых осадков?
7. Как рассчитать годовую сумму осадков заданной обеспеченности?
8. Как найти среднемесячные суммы осадков для 30-летних интервалов в
населенном пункте?
Лабораторная работа № 14.
ИССЛЕДОВАНИЕ РЯДА СРЕДНЕГОДОВЫХ ТЕМПЕРАТУР ВОЗДУХА
В природе и различных областях человеческой деятельности весьма рас-
пространены случайные величины (СВ), представляющие собой сумму большого числа независимых или слабо зависимых СВ, дисперсии которых малы по
сравнению с дисперсией всей суммы. Как следует из центральной предельной
теоремы ТВ, распределение таких СВ при весьма общих дополнительных условиях хорошо аппроксимируется нормальным распределением. Этим объясняется весьма широкое распространение последнего. Нормальное распределение
применяется и в тех случаях, когда истинный закон распределения известен, но
вычисления по нему затруднены, а аппроксимация его нормальным законом не
приводит к большим ошибкам.
Плотность вероятности нормального распределения:
. (14.1)
Нормальное распределение является двухпараметрическим, т.е. зависит
от двух параметров: математического ожидания m
отклонения σ
. График плотности вероятности нормального распределения
x
и среднеквадратического
x
представлен на рис. 14.3. Как видно на рисунке, нормальное распределение является симметричным и, следовательно, для него коэффициент асимметрии равен нулю (С
= 0), а мода, медиана и математическое ожидание (МО) совпада-
S
ют. Область возможных значений СВ, подчиняющейся нормальному распределению – вся числовая ось
. Интегральная функция распределения имеет
вид
2
−−
σ
)mz(
x
dz
2
x
. (14.2)
∫
exp
2
1
=
)x(F
x
⋅
πσ
2
Интеграл, стоящий в правой части выражения (14.2), нельзя выразить через элементарные функции, поэтому ординаты нормального закона распределения обычно представляют в виде таблиц. Чтобы не публиковать множество
таблиц, для различных сочетаний т
и σх вместо СВ X рассматривают нормиро-
х
ванную СВ t, значения которой связаны со значениями X формулой
99
. (14.3)
В настоящее время нет необходимости пользоваться таблицами, так как
);( +∞−∞
txt.3Tg1949_201
интеграл в (14.2) может быть легко найден в любом современном математическом пакете, например, в среде Mathcad.
Несмотря на широкое распространение, нормальное распределение не
универсально. В частности, если в качестве СВ рассматривать среднегодовые
расходы воды, то налицо два несоответствия: расходы воды всегда положительны, а область возможных значений для нормальной СВ определяется интервалом
; для нормального закона распределения Cs = 0, а распределе-
ние среднегодовых расходов воды (и целого ряда других гидрологических характеристик), как правило, имеет умеренную положительную асимметрию.
Расчет точечных оценок числовых характеристик (выборочных характеристик) гидрологических и климатических рядов представлен в лабораторной
работе № 13.
Задание
1. В соответствии с вариантом из on-line архивов метеорологических данных [6,17,26] выбрать среднегодовые температуры воздуха не менее чем
за 40 лет. Сформировать текстовый файл и использовать его в среде
Mathcad для построения графика изменения среднегодовых температур,
осреднения по трем и пяти смежным годам, линейного тренда изменения
среднегодовых температур; построить многочлен аппроксимации третьего порядка.
2. Найти среднюю многолетнюю температуру воздуха, оценку коэффициента автокорреляции между смежными членами ряда r1, среднее квадратическое отклонение, среднюю квадратическую погрешность выборочных
средних. Оценить достаточность продолжительности периода наблюдений за среднегодовыми температурами воздуха.
3. Построить теоретическую (нормальную) и эмпирическую функцию распределения среднегодовых температур воздуха. Проверить гипотезу о
нормальном распределении среднегодовых температур по критерию Пирсона.
4. Построить интегрально-разностные кривые среднегодовых температур
воздуха и годовых сумм осадков; сравнить их.
Пример выполнения лабораторной работы
(метеостанция № 26702, г. Калининград)
Поиск и ввод данных измерений
Выбираем данные о средних годовых температурах воздуха (°С) на высо-
те 2 м над подстилающей поверхностью
в г. Калининграде с 1949 по 2005 гг. из
[14], с 2006 по 2013 гг. из [9] и записываем с указанием года в текстовый файл
(
).
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]