Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы асимптотического анализа и синтеза в нелинейной динамике и механике деформируемого твердого тела
.pdf
И. Андрианов, Я. Аврейцевич
МЕТОДЫ АСИМПТОТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА И СИНТЕЗА
В НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКЕ И МЕХАНИКЕ
ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Москва Ижевск
2013
УДК 22.161.0
ББК 517.1
А 659
Интернет-магазин
• физика
• математика
• биология
• нефтегазовые
http://shop.rcd.ru
технологии
Андрианов И., Аврейцевич Я.
Методы асимптотического анализа и синтеза в нелинейной динамике и механике деформируемого твердого тела. — М.–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2013. — 276 с.
Книга посвящена современным асимптотическим методам, широко используемым в нелинейной динамике и механике деформируемого твердого тела. Авторы
обобщили свой многолетний опыт в этой области, нашедший отражение в большом количестве статей и монографий, а также учли достижения коллег. Изложение
основано на примерах, при этом авторы старались избегать сложных формальных
выкладок и обоснований, отдавая предпочтение описанию основных идей и алгоритмов. Значительное внимание уделено методам суммирования, неразрывно связанным с современными асимптотическими подходами. Основной посыл авторов
заключается в утверждении: современная компьютерная революция, бурное развитие численных методов и массированное применение пакетов программ не только
не обесценили асимптотические методы, но даже сделали их более значимыми.
Именно в разумном сочетании численных и асимптотических подходов заключены истоки прогресса в области нелинейной динамики и механики деформируемого
твердого тела.
Книга рассчитана на широкий круг читателей: студентов, аспирантов и преподавателей, научных работников и инженеров, связанных с решением задач механики
и физики.
ISBN 978-5-4344-0116-6 ББК 517.1
c
И. Андрианов, Я. Аврейцевич, 2013
c
Ижевский институт компьютерных исследований, 2013
http://shop.rcd.ru
http://ics.org.ru
Оглавление
Предисловие .............................. 7
Список обозначений и сокращений ................. 9
Введение. От принципа идеализации к асимптотологии ...... 13
Г
ЛАВА 1. Асимптотические аппроксимации и ряды ........ 17
1.1. Асимптотическиеряды ...................... 17
1.2. Асимптотические символы и действия над асимптотически-
мипредставлениями........................ 22
1.3. Выбор параметров асимптотического интегрирования . . . . 26
Г
ЛАВА 2. Регулярные асимптотические разложения ....... 31
2.1. Методывозмущенийиитераций................. 31
2.2. Задачинасобственныезначения................. 37
2.3. Методсопряженныхуравнений ................. 45
2.4. Нестепенныеасимптотики .................... 46
2.5. Устранение неравномерностей асимптотических разложений . 48
2.6. Выборнулевогоприближения .................. 55
2.7. Гомотопическийметодвозмущений............... 57
2.8. Методмалыхдельта........................ 62
2.9. Методбольшихдельта ...................... 68
2.10.МетодЛяпунова–Шмидта .................... 72
2.11. Метод возмущения формы границы . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.12. Асимптотическая и реальная погрешности . . . . . . . . . . . 77
Г
ЛАВА 3. Сингулярные асимптотические разложения ...... 81
3.1. Метод Гольденвейзера– Вишика– Люстерника . . . . . . . . . 81
3.2. МногоугольникНьютонаиегообобщения ........... 90
3.3. Пример асимптотического расщепления дифференциального
уравнениявчастныхпроизводных................ 98
4ОГЛАВЛЕНИЕ
3.4. Расщеплениеграничныхусловий ................101
3.5. Метод Папковича– Фадле (однородных решений) . . . . . . . 102
3.6. Угловыепогранслои........................105
3.7. Применениеобобщенныхфункций ...............107
3.8. Методмногихмасштабов.....................112
3.9. Метод сращиваемых асимптотических разложений . . . . . . 115
3.10. О краевых задачах уточненных теорий . . . . . . . . . . . . . 118
3.11.«Идеализациямститзасебя»...................121
Г
ЛАВА 4. Метод динамического краевого эффекта ........ 125
4.1. Линейныеколебаниястержня ..................125
4.2. Нелинейныеколебаниястержня .................128
4.3. Нелинейные колебания прямоугольной пластины . . . . . . . 132
4.4. Сочетание асимптотического и вариационного методов . . . . 137
4.5. О нормальных формах нелинейных колебаний распределен-
ныхсистем.............................141
Г
ЛАВА 5. Континуализация ..................... 143
5.1. Дискретные и континуальные модели механики . . . . . . . . 143
5.2. Цепочкаупругосвязанныхмасс .................144
5.3. Классическая континуальная аппроксимация . . . . . . . . . . 147
5.4. «Всплески».............................149
5.5. Континуализацияогибающей...................151
5.6. Уточненные континуальные аппроксимации для описания
собственныхколебаний......................152
5.7. Вынужденныеколебания.....................155
Г
ЛАВА 6. Методы осреднения и гомогенизации .......... 159
6.1. Осреднение при помощи метода многих масштабов . . . . . . 159
6.2. Метод «замораживания» для вязкоупругих задач . . . . . . . . 162
6.3. МетодВКБ.............................164
6.4. Метод Кузмака – Уизема (нелинейный метод ВКБ) . . . . . . . 167
6.5. Дифференциальные уравнения с быстро переменными коэф-
фициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.6. Дифференциальные уравнения с периодически разрывными
коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.7. Периодически перфорированная среда . . . . . . . . . . . . . 181
6.8. Волны в периодически неоднородной среде . . . . . . . . . . 186
ОГЛАВЛЕНИЕ 5
ГЛАВА 7. Суммирование асимптотических рядов ......... 191
7.1. Анализстепенныхрядов .....................191
7.2. Аппроксимации Паде и непрерывные дроби . . . . . . . . . . 196
7.3. СуммированиепоБорелю ....................203
ЛАВА 8. Применение аппроксимаций Паде ............ 205
Г
8.1. Ускорение сходимости итерационных процессов . . . . . . . . 205
8.2. Исключение неоднородностей и уменьшение влияния эф-
фектаГиббса............................207
8.3. Локализованныерешения.....................209
8.4. Аппроксимация Эрмита –Паде и бифуркационные задачи . . 211
8.5. Оценки эффективных характеристик композитных
материалов.............................212
8.6. Метод возмущения вида граничных условий . . . . . . . . . . 213
8.7. Иэтодалеконевсе!........................222
ЛАВА 9. Сращивание асимптотических разложений ....... 225
Г
9.1. Метод асимптотически эквивалентных функций . . . . . . . . 225
9.2. ДвухточечныеаппроксимацииПаде...............227
9.3. Другие методы построения асимптотически эквивалентных
функций ..............................231
9.4. Методсоставныхуравнений ...................233
9.5. Пример:уравнениеШрёдингера.................235
9.6. Пример: асимптотически эквивалентные функции в теории
композитов.............................235
Заключение ............................... 239
Литература ............................... 243
Предметный указатель ........................ 267
Именной указатель .......................... 271
Предисловие
Мы предлагаем опыт, а не теоремы.
Дж. П. Бойд [252]
Важность асимптотических методов в механике подчеркивал известный ученый Крайтон [266]: «Расчеты или эксперименты без определяющей
роли асимптотической информации бесполезны в лучшем случае и опасны
в худшем из-за невозможности идентифицировать области резкого (жесткого) изменения процесса и его локализации в пространстве и во времени.
Более того, весь накопленный опыт показывает, что асимптотические решения полезны с точки зрения численных результатов далеко за пределами
их формальной области применимости и часто могут быть использованы
непосредственно» (перевод наш — авт.).
Определим особенности предлагаемой читателю книги, которую можно рассматривать как элементарное введение в современные асимптотические методы. Настоящая книга отличается от монографии [152] значительным расширением рассматриваемых тем, а от монографии [224], кроме добавления нового материала, существенным упрощением изложения. Всюду,
где это было возможно, мы старались избавиться от ненужных усложнений и псевдообобщений. От известных замечательных книг по методам
возмущений [10, 11, 13, 14, 70, 146, 147, 149, 153, 295, 296, 336] наша книга
отличается описанием методов суммирования и построения асимптотически эквивалентных функций, пригодных при различных предельных значениях используемых параметров. Она ориентирована на решение дифференциальных уравнений, поэтому в ней почти не рассматриваются методы
асимптотического вычисления интегралов, благо этому вопросу посвящено множество трудов [146, 147, 153, 170, 171, 198–201]. Данная книга может использоваться студентами, прослушавшими стандартные курсы высшей математики и теоретической механики технического вуза (в идеале
еще хотя бы небольшие спецкурсы механики деформируемого твердого тела и колебаний). Мы исходили из того, что «примеры полезнее правил»,
8ПРЕДИСЛОВИЕ
хотя и формулировали некоторые общие положения. Философские вопросы асимптотологии отражены в книгах и статьях [2,7, 27, 142,192, 219,220].
И. В. Андрианов хотел бы отметить, что с асимптотическими методами
его познакомил в 1968 г. Леонид Исаакович Маневич. Перед своим Учителем он в неоплатном долгу за науку и дружбу.
Многие изложенные ниже идеи появились как результат нашего
многолетнего сотрудничества с Р. Г.Баранцевым, Д.Вайхертом, А. Вакакисом, В.М. Вербонолем, В. В. Данишевским, А. А. Дисковским, А. Ю. Евкиным, А. О. Иванковым, С. Г. Кобликом, В. Л. Красовским, Г. А. Крижевским,
А. Г. Лебедевым, В. А. Лесничей, В. В. Лободой, А. И. Маневичем, Ю. В. Михлиным, Б. В. Нерубайло, В. И. Олевским,
А. Н. Пасечником, В. Н. Пилипчуком,
кажевским, Е. Г. Холод, В. Хорссеном, А. Д. Шамровским,
В. Г. Ошмяном , А.В.Павленко,
А. Н. Писанко , Г.А.Старушенко, С.То-
В. В. Шевченко .
Авторы признательны С. М. Бауэр и В.Н. Пилипчуку за ценные замечания, а также Р. Г.Баранцеву, предоставившему материал раздела 1.2.
И. И. Аргатов, С. К. Бетяев, В. И. Олевский, А. В. Шатров, С. Б. Филиппов прочли книгу в рукописи, и их содержательная критика была очень полезна для авторов. С. П. Суетин прочел главу 7 и сделал ценные замечания.
Г. А. Старушенко проверила часть текста и приведенные в книге графики.
Всем перечисленным лицам мы очень признательны.
И. В. Андрианов хотел бы отметить доброжелательное терпение и поддержку своей семьи, особенно жены Лины. Ей, а также своим сыновьям
Алексею, Анатолию, Игорю он шлет свою любовь и бесконечную признательность.
Я. Аврейцевич во время написания этой книги пользовался финансовой поддержкой гранта «MAESTRO» Народного центра науки Польши.
Авторы глубоко признательны академику А. Т.Фоменко за разрешение
использовать его картину при оформлении настоящей книги.
Книга поддерживается web-страницей, где будут приведены замеченные опечатки, дополнения, уточнения.
Просьба присылать замечания по адресу:
mathematics1903@gmail.com.
igor.andrianov@gmail.com,
Список обозначений и сокращений
Если не оговорено иное, в книге использованы следующие обозначения.
A —амплитуда
a, b — длины (сторон мембраны, пластины)
c — жесткость
D — цилиндрическая жесткость
E —модульЮнга
F — площадь поперечного сечения
F (x, y) — функция Эйри
g — ускорение свободного падения
G —модульсдвига
h — толщина
I — момент инерции
Q, q — нагрузка (размерная, безразмерная)
L, l — длина (размерная, безразмерная)
m, M — масса
O, o — асимптотические символы
R, R
r — полярная координата
t, τ — время (размерное, безразмерное)
T —усилие
U, u — перемещение (продольное стержня, оболочки)
V, v — перемещение (кольцевое оболочки)
W, w — перемещение (нормальное балки, мембраны, пластины, оболочки)
x, y — декартовы координаты (размерные)
ν — коэффициент Пуассона
ε —малыйпараметр
ρ — плотность
— радиусы кривизны
1,R2
10 СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ
ξ, η — декартовы координаты (безразмерные)
σ — напряжение
θ — полярная координата
ω, Ω — частота
Φ — потенциальная функция
Векторы выделены жирным шрифтом.
В книге принята двойная нумерация по главам (№ параграфа.№ формулы) и тройная при ссылках на другую главу (№ главы.№ параграфа.№ формулы).
Используемые сокращения
АМБ — асимптотический метод Болотина
АП — аппроксиманта Паде
АЭФ — асимптотически эквивалентная функция
ГЦК — гранецентрическая решетка
ДАП — двухточечная аппроксиманта Паде
НДС — напряженно-деформированное состояние
МРБ — метод Рэлея – Болотина
МРР — метод Рэлея– Ритца
ОЦК — объемно-центрированная кубическая решетка
ПК — простая кубическая решетка
Используемые специальные функции и постоянные
B(...,...) — бета-функция [185, гл. 6]
B
— числа Бернулли [185, гл. 23]
i
cn(...,...) — эллиптический косинус Якоби [185, гл. 16]
E
(...) — интегральная показательная функция [185, гл. 5]
1
Ei(...) — интегральный синус [185, гл. 5]
erf(...) — интеграл вероятностей [185, гл. 7]
H(...) — функция Хевисайда [95]
H
(...) — функция Струве [185, гл. 12]
n
I
(...) — модифицированная функция Бесселя [185, гл. 9]
n
K(...) — полный эллиптический интеграл первого рода [185, гл. 16]
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]