Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы асимптотического анализа и синтеза в нелинейной динамике и механике деформируемого твердого тела
.pdf
8.4. АППРОКСИМАЦИЯ ЭРМИТА –ПАДЕ И БИФУРКАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ 211
8.4. Аппроксимация Эрмита – Паде
и бифуркационные задачи
АП позволяет успешно работать с функциями, имеющими полюса. Однако часто возникает необходимость исследовать функции, имеющие точки
ветвления, и построить все их ветви. В этом случае можно использовать
аппроксимации Эрмита – Паде [179, 273, 297, 355]. Пусть речь идет о функции ε, имеющей разложение
∞
f(ε)=
и нам удалось найти несколько первых коэффициентов этого ряда
f
(ε)=
N
Если известно, что данная функция имеет точку ветвления, то можно
попробовать превратить исходное выражение (4.1) в неявную функцию
F (ε, f )=0
и уже из нее определять все искомые ветви.
Для этой цели построим полином F
p
F
(ε, f)=
p
m=1
unεn, (4.1)
n=1
N
unεn.
n=1
(ε, f) степени p 2:
p
m
C
k=0
m−k,k
m−kfk
ε
,
при этом полагаем C
=1, а остальные коэффициенты должны опреде-
0,1
ляться из условия
Полином F
F
(ε, fN(ε)) = Oε
P
содержит 0,5(p2+3p − 2) неизвестных, из условия (4.2)
p
N+1
при ε → 0. (4.2)
получается N линейных алгебраических уравнений, следовательно, должно
2
быть N =0,5(p
После того как полином F
+3p − 2).
найден, можно без труда найти p ветвей
p
решения уравнения
=0.
F
p
212 ГЛАВА 8
Для анализа бифуркаций этих решений можно использовать диаграмму Ньютона (см. § 3.2). Если известна априорная информация об искомой
функции, ее можно учесть при построении полинома F
построить F
, имеющий заданную особую точку.
p
. Например, можно
p
8.5. Оценки эффективных характеристик
композитных материалов
Рассматривается макроскопически изотропный двумерный композитный материал, состоящий из матрицы с включениями. Цель состоит в определении эффективной проводимости q по известным проводимостям матрицы (q
в [365], если принять в качестве малого параметра величину ε = q
то первые члены разложения искомой эффективной проводимости по ε та-
ковы:
нее строго доказана сходимость АП [22] и следующие из таблицы АП оценки (см. § 7.2). Три члена разложения (5.1) позволяют получить известную
нижнюю оценку Хашина– Штрикмана [108, 267, 293], изначально основанную на вариационных принципах
) и включений (q2) и концентрации включений (ϕ). Как показано
1
− 1,
2/q1
q
=1+ϕε − 0,5ϕ(1 − ϕ)ε2+ Oε
q
1
3
. (5.1)
Поскольку данная функция является функцией Стильтьеса (1.1.2),для
ϕ
q (5.2)
1
при q
+
q
1
1/(q2− q1)+0,5(1 − ϕ)/q
;дляq2<q1знаки неравенств в выражении (5.2) нужно поме-
2>q1
нять на противоположные.
Круговая замена q
↔ q1, ϕ ↔ 1 − ϕ позволяет получить верхнюю
2
оценку Хашина – Штрикмана:
q q
+
2
1/(q1− q2)+0,5ϕ/q
1 − ϕ
. (5.3)
2
Первые три члена разложения (5.1) не зависят от конкретной геометрии включений, поэтому оценки (5.2), (5.3) — наиболее общие. Конкретизируя вид включений, можно строить следующие члены разложения [352]
и, используя АП или цепные дроби, получать все более узкие границы для
искомой эффективной проводимости [365].
8.6. МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЯ ВИДА ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ 213
8.6. Метод возмущения вида граничных условий
Как известно, при некоторых граничных условиях (например, шарнирном опирании) решение можно построить довольно просто. Другие условия (защемление, свободный край) существенно осложняют исследования.
В этом случае полезен метод возмущения вида граничных условий, суть
которого состоит в следующем. В граничные условия вводится параметр ε
таким образом, чтобы при значении ε =0получалась краевая задача, допускающая простое решение, а при ε =1— исходная краевая задача. Далее
применяется метод возмущений по ε и в полученном решении принимается ε =1. Понятно, что этот метод можно трактовать как вариант гомотопи-
ческого метода возмущений (см. § 2.7).
Рассмотрим для примера колебания защемленной балки (−0,5x 0,5)
и построим решение, отправляясь от случая шарнирного опирания.
Исходное уравнение и краевые условия таковы:
IV
− λw =0, (6.1)
w
w =0 при x = ±0,5, (6.2a)
=0 при x = ±0,5. (6.2b)
w
Введем в граничные условия (6.2b) параметр ε следующим образом:
(1 − ε)w
При ε =0получаем шарнирное опирание, при ε =1— защемление.
Промежуточные значения ε соответствуют упругой заделке торцов.
Представим теперь собственную функцию w и собственное значение λ
в виде рядов по параметру ε:
Подставляя разложение (6.4), (6.5) в уравнение (6.1) и краевые условия (6.3), после расщепления по ε получаем:
w
w
=0,w
i
i
+ εw=0 при x = ±0,5. (6.3)
w = w
λ = λ
=0,w
0
w
= ∓
+ w1ε + w2ε2+ ..., (6.4)
0
+ λ1ε + λ2ε2+ .... (6.5)
0
IV
w
− λ0w0=0,
0
=0 при x = ±0,5, (6.6)
IV
− λ0wi=
i
i−1
j=0
0
w
j
i
λjw
j=1
i−j
,
при x = ±0,5,i=1, 2,.... (6.7)
214 ГЛАВА 8
Решение в нулевом приближении можно записать так:
λ
= π4n4,n=1, 2, 3,...,
0
= C
w
0
cos(πnx),n=1, 3, 5,...,
sin(πnx),n=2, 4, 6,....
(6.8)
Теперь в первом приближении имеем следующую краевую задачу:
.
w
w
=0,w
1
IV
− π4n4w1= λ1C
1
= ∓C
1
⎧
⎨
−(−1)
⎩
cos(πnx),n=1, 3, 5,...,
sin(πnx),n=2, 4, 6,...,
⎫
n−1
⎬
2
πn при x = ±0,5. (6.10)
n
⎭
2
(−1)
(6.9)
Краевая задача первого приближения (6.9), (6.10) описывается неоднородным дифференциальным уравнением с неоднородными граничными
условиями. В общем случае оно неразрешимо, то есть нельзя удовлетворить
всем граничным условиям при произвольном значении λ
. Такую несогла-
1
сованность удается устранить наложением условий разрешимости. Ясно,
что вопрос о формулировке условий разрешимости сводится к вопросу
об определении параметра λ
неоднородного уравнения (6.9),прикото-
1
ром правая часть этого уравнения была бы в каком-то смысле согласована
с неоднородными граничными условиями (6.10). Определим λ
непосред-
1
ственно из краевой задачи.
Общее решение уравнения (6.9) таково:
.
(0)
= C
w
1
ch(πnx)
1
sh(πnx)
5
+ C
.
cos(πnx)
2
sin(πnx)
5
. (6.11)
Частное решение уравнения (6.9) имеет вид
=
λ
4π3n
(1)
w
1
Собственная форма w
− x sin(πnx),n=1, 3, 5,...,
1
3
x cos(πnx),n=2, 4, 6,....
представляется суммой
1
(0)
w
= w
1
(1)
+ w
1
. (6.13)
1
(6.12)
8.6. МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЯ ВИДА ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ 215
Удовлетворив граничным условиям (6.10), получим значение параметров C
положить C
приближении. Окончательно первая поправка w
и λ1:
1
=
C
1
C
2πn
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
(−1)
−
(n−1)/2
ch(πn/2)
n/2
(−1)
sh(πn/2)
⎫
⎪
⎪
⎬
,λ
⎪
⎪
⎭
Из краевых условий (6.10) постоянная C
=0, поскольку соответствующие функции учтены в нулевом
2
=4π2n2.
1
не определяется, но можно
2
к собственной форме w
1
записывается следующим образом:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
C
=
w
1
πn
⎪
⎪
⎪
⎩
Аналогично определяются λ
(n−1)/2
(−1)
2ch(πn/2)
(−1)
−
2sh(πn/2)
ch(πnx) − x sin(πnx),n=1, 3, 5,...,
n/2
sh(πnx) − x cos(πnx),n=2, 4, 6,....
и w2. Отрезок ряда для собственного
2
числа, составленный по трем первым приближениям, имеет вид
1
2πn
ε
−
λ = π
4n4
+4π2n2ε +4πnπn −
n
1
(−1)
cth
2
πn
2
Отрезок ряда для собственной формы таков:
w = C
⎧
⎪
⎪
⎨
+
⎪
⎪
⎩
×πn−
.
cos(πnx)
sin(πnx)
C(−1)
2π2n
×
1
cth
2
n+1
2
.
ch(πnx)
sh(πnx)
n
(−1)
5
+
⎧
(−1)
⎪
⎪
⎨
ch(πn/2)
⎪
⎪
⎩
sh(πn/2)
πn
2
C
πn
(n−1)/2
(−1)
5
−
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
n/2
+ x
πn
(−1)
2ch(πn/2)
(−1)
−
2sh(πn/2)
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
.
sin(πnx)
cos(πnx)
x.
1
(n−1)/2
n/2
πn − cth
sin(πnx)
cos(πnx)
ch(πnx) − x sin(πnx)
sh(πnx) − x cos(πnx)
n
(−1)
πn
2
5
−
5
−
C(−1)
π2n
C
π2n
2
n+1
2
x
×
.
cos(πnx)
sin(πnx)
−
πn
(6.14)
2
. (6.15)
⎫
⎪
⎪
⎬
ε +
⎪
⎪
⎭
1
×
⎫
⎪
⎪
5
⎬
⎪
⎪
⎭
2
ε
.
216 ГЛАВА 8
Понятно, что формула (6.15) тем более точна, чем более высокая форма рассматривается. Поэтому в качестве критерия применимости метода
возмущения вида граничных условий можно принять точность расчета первого собственного числа, поскольку граничные условия оказывают на него
наибольшее влияние. Численное решение соответствующего данной задаче
трансцендентного уравнения при ε =1дает значение первого собствен-
4
ного числа λ =(1,5056π)
ε =1−λ =(1,1542π)
, отрезок ряда возмущений (6.15) при n =1,
4
(погрешность 23,33 %).
Для улучшения результатов, полученных при помощи метода возмущения вида граничных условий, можно использовать АП. Перестраивая
отрезок ряда (6.15) в АП, получаем
+ a1ε
λ
λ =
0
1+b1ε
, (6.16)
= λ1+ b1λ0, b1= −λ2λ
где a
1
По формуле (6.16) при n =1, ε =1имеем λ =(1,5139π)
−1
1
.
4
(погреш-
ность 0,58 %).
Зависимость первого собственного числа задачи (6.1), (6.3) от различных значений ε (0 ε 1) представлена на рисунке 6.1. Видно, что
результаты, полученные при помощи АП (6.16), практически совпадают
с точным решением для всех значений параметра ε, в то время как отрезок
ряда возмущений дает удовлетворительные результаты только до ε =0,4.
Обратимся к более сложному случаю — колебанию защемленной по
контуру квадратной пластины, исходная задача для которой формулируется
следующим образом:
4
w − λw =0, (6.17)
∇
w =0,w
w =0,w
=0 при x = ±0,5, (6.18)
x
=0 при y = ±0,5. (6.19)
y
Преобразуем граничные условия, введя в них параметр ε:
w =0, (1 − ε)w
w =0, (1 − ε)w
± εwx=0 при x = ±0,5, (6.20)
xx
± εwy=0 при y = ±0,5. (6.21)
yy
Применим к краевой задаче (6.17), (6.20), (6.21) метод возмущений, представив собственное число λ и собственную форму в виде рядов
8.6. МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЯ ВИДА ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ 217
Рис. 6.1. Зависимость первого собственного числа задачи (6.1), (6.3) от параметра ε: 1 — отрезок ряда (6.15); 2 —АП(6.16); 3 — численное решение трансцендентного уравнения
по ε (6.4) и (6.5). После подстановки этих рядов в дифференциальное уравнение (6.17) и граничные условия (6.20), (6.21) и расщепления по степеням ε получаем рекуррентную последовательность краевых задач:
w
0
w
0
=0,w
w
i
w
=0,w
i
4
w0− λ0w0=0,
∇
=0,w
=0,w
∇
0xx
0yy
4
wi− λ0wi=
= ∓
ixx
= ∓
iyy
=0 при x = ±0,5,
=0 при y = ±0,5,
i
i−1
λjw
j=1
i−j
,
wjxпри x = ±0,5,
j=0
i−1
wjyпри y = ±0,5.
j=0
(6.22)
218 ГЛАВА 8
Решение нулевого приближения имеет вид
⎧
⎫
cos(πny),
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎬
n =1, 3, 5,...
sin(πqy),
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎭
q =2, 4, 6,...
w
= X0Y0= C
0
⎧
cos(πmx),
⎪
⎪
⎨
m =1, 3, 5,...
sin(πpx),
⎪
⎪
⎩
p =2, 4, 6,...
λ
= π4a2,a2= m2+ n2.
0
В первом приближении имеем следующую краевую задачу:
w
=0,w
1
=0,w
w
1
4
∇
w1− λ0w1= Cλ
= ±πm
1xx
= ±πn
1yy
⎧
⎨
−(−1)
⎩
⎧
⎨
−(−1)
⎩
(−1)
(−1)
.
cos(πmx)
1
sin(πmx)
m−1
2
m
2
n−1
2
n
2
⎫
⎬
⎭
⎫
.
⎬
cos(πny)
sin(πny)
⎭
.
cos(πmx)
sin(πmx)
5.
cos(πny)
sin(πny)
5
5
Решение этой краевой задачи будем искать в виде
w
1
= Y1(y)
.
cos(πmx)
sin(πmx)
5
+ X1(x)
.
cos(πny)
sin(πny)
5
,λ1= λ1x+ λ1y. (6.24)
⎫
⎪
⎪
⎬
,
⎪
⎪
⎭
5
, (6.23)
при x = ±0,5,
при y = ±0,5.
После подстановки соотношений (6.24) в краевую задачу (6.23) иразделения переменных получим две задачи:
IV
Y
1
Y
IV
X
− 2(πn)2X
1
X
− 2(πm)2Y
=0,Y
1
=0,X
1
− π4n
1
= ∓πm
1
− π2m
1
= ∓πn
1
2
⎧
⎨
⎩
2
⎧
⎨
⎩
2m
−(−1)
2
2n
−(−1)
(−1)
2
+ n
(−1)
+ m
2
Y
= Cλ
1
⎫
n−1
⎬
2
C при y = ±0,5, (6.26)
n
⎭
2
2
X
= Cλ
1
⎫
m−1
⎬
2
C при x = ±0,5. (6.28)
m
⎭
2
.
1y
.
1x
cos(πny)
sin(πny)
cos(πmx)
sin(πmx)
5
, (6.25)
5
, (6.27)
8.6. МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЯ ВИДА ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ 219
Обе задачи описываются неоднородными дифференциальными уравнениями с неоднородными граничными условиями. Определение неизвестных параметров правой части будем производить для каждого уравнения
по описанной выше схеме. Окончательно имеем
=4π2m2,λ1y=4π2n2,λ1=4π2a2,
λ
w
=(−1)
1
×
1x
⎡
⎧
⎨
⎢
(−1)
⎢
⎩
⎢
⎢
C
m−1
πma
⎡
⎧
⎨
⎢
⎢
⎩
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
2
(−1)
(−1)
⎧
⎪
ch
⎨
⎪
⎩
sh
n−1
π
2
π
2
β
2
n
2
β
1
β
1
1
(−1)
⎢
⎧
⎢
2
⎪
⎢
ch
⎨
⎢
⎣
2
⎪
⎩
sh
.
cos(πny)
×
sin(πny)
⎫
⎬
⎭
.
ch(πβ
⎫
sh(πβ
⎪
⎬
⎪
⎭
=2m2+ n2,β2=2n2+ m2.
m−1
2
m
2
π
β
2
π
β
2
y)
1
y)
1
⎫
⎬
⎭
⎫
⎪
⎬
2
⎪
⎭
2
5
+(−1)
5
.
− y
ch(πβ
sh(πβ
n−1
.
sin(πny)
cos(πny)
2
2
x)
x)
C
πna
5
.
sin(πmx)
− x
cos(πmx)
×
2
⎤
⎥
⎥
⎥
.
5
⎥
cos(πmx)
⎥
⎥
sin(πmx)
⎥
⎥
⎦
⎤
⎥
⎥
⎥
5
⎥
⎥
×
⎥
⎥
⎥
⎦
5
,
Второе приближение находится по описанному выше алгоритму:
2n2
λ = π
−
4a4
+4π2a2ε +4ππa2+2
2a
1
2
m
2
β1cth
(−1)
m
m
− (6.29)
4
πa
π
β
2
2
+ n
1
β2cth
(−1)
n
π
2
β
2
+ ....
ε
2
Далее отрезок ряда (6.29) перестраиваем в дробно-рациональную
функцию (6.16).
Сравним численные результаты для первого собственного числа. Чис-
ленное решение дает значение λ =(1,9033π)
4
=1− λ =(1,535π)
4
=(1,9142π)
(погрешность 0,25 %). На рисунке 6.2 представлена зависи-
(погрешность 19,61 %); АП (6.16) при ε =1− λ =
4
; отрезок ряда (6.29) при ε =
мость первого собственного числа квадратной пластины от параметра ε.
220 ГЛАВА 8
Рис. 6.2. Зависимость собственного числа λ от параметра ε: 1 — отрезок ряда (6.29);
2 —АП(6.16); 3 — численное решение
Описанный метод весьма эффективен при исследовании смешанных
задач. Рассмотрим в качестве примера колебания прямоугольной пластины
(−0,5k x 0,5k, −0,5 y 0,5), шарнирно опертой по сторонам x =
= ±0,5k и со смешанными граничными условиями на сторонах y = ±0,5k
(рис. 6.3). Исходное уравнение колебаний запишем в виде (6.17).
Граничные условия после введения гомотопического параметра ε таковы:
w =0,w
w =0,w
=0 при x = ±0,5k,
xx
= H(x)ε(wyy± wy) при y = ±0,5,
yy
(6.30)
где
H(x)=−H(x − μ)+H(−x − μ).
Подставляя анзацы (6.4), (6.5) в краевую задачу (6.17), (6.30) иприменяя описанную выше асимптотическую процедуру, имеем
= π4ψ2,λ1=4π2n2γmm,
λ
0
λ
=4π2n2γ
2
−
2n
ψ
2
$
i=1,3,5,...
i=2,4,6,...
mm
∞
.
1 −
γ
%
im
γ
mm
π2ψ
α
.
πα
cth
2
(−1)
cth
i
2
i
>m2+ n2k
2
<m2+ n2k
i
i
(−1)
ψ
(−1)
2
(−1)
−
i
5
3
2
i
(φi/2)
(βi/2)
m
πα
α
i
+
2
2
−φ
β
i
+
i
cth
n
cth
5
.
−
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]