Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы асимптотического анализа и синтеза в нелинейной динамике и механике деформируемого твердого тела
.pdf
2.9. МЕТОД БОЛЬШИХ ДЕЛЬТА 71
Рассмотрим теперь уравнение
x
+ x + xn=0. (9.7)
tt
Асимптотика периодического решения задачи Коши (9.1), (9.2)
при n →∞имеет вид
1/n
n
θ
θ ≈ t − θ
x(t) ≈ sin θ1 −
(sinnt),θ0(ϕ)=
0
√
1
2n
sin
1+sinnθ
0ϕ1/2
0
,
dϕ
(1 + ϕ)ln(1/ϕ)
Решение (9.10) справедливо на четверти периода T , далее оно периодически продолжается, при этом
√
T ≈ 2π −3,032/
n.
Действительно, неявное решение исходной задачи может быть выписано в виде
t =
x
1 − x
0
2
2
−
n +1
x
n+1
−1/2
dx. (9.9)
Введем замену переменных:
. (9.8)
2
2
+
x
n +1
Решение этого уравнения относительно x
x
n+1
=sin2θ.
2
будем искать на четверти
периода в виде
sin
1/n
)
.
1
n
θ
.
Отсюда находим
x =sinθ(1 + x
x
≈−
1
1+sinnθ
Окончательно выражение (9.9) может быть с точностью до членов порядка 1/n записано так:
t = θ −θ
1
(θ),
72 ГЛАВА 2
где
0θπ/2
θ
(θ)=
1
Построим теперь асимптотику функции θ
замену переменной ϕ =sin
cos θ =
sinnθ(1 + sinnθ)−1dθ.
0
(θ) при n →∞. Выполним
2
n
1
ln(1/ϕ).
n
θ и используем формулу
2/n
1 − ϕ
=
Врезультатесточностьюдо1/n
0ϕ1/2
θ
(ϕ)=
0
√
1
2n
(1 + ϕ)ln(1/ϕ)
0
dϕ
. (9.10)
Интеграл (9.10) не выражается через элементарные функции, поэтому
асимптотика получается в квадратурах.
Для периода колебаний из соотношения (9.10) находим:
1
√
2
2
T ≈ 2π −
√
n
Раскладывая выражение (1 +ϕ)
(1 + ϕ)ln(1/ϕ)
0
−1
dϕ
.
в ряд Маклорена, получаем, исполь-
зуя формулы 4.269,4 и 0.233,2 из [62],
1
(1 + ϕ)ln(1/ϕ)
0
dϕ
=(1−
√
2)√πζ(0,5) ≈ 1,072,
где ζ(x) — дзета-функция Римана [185, гл. 23].
2.10. Метод Ляпунова –Шмидта
Применение метода возмущений к бифуркационным задачам имеет
свои особенности. Основным здесь является метод Ляпунова – Шмидта, который мы опишем на примере нелинейной задачи об устойчивости стержня, следуя [13,14].
2.10. МЕТОД ЛЯПУНОВА–ШМИДТА 73
Угол поворота θ(x) касательной к стержню удовлетворяет следующему
уравнению равновесия и граничным условиям:
+ T sin θ =0, (10.1)
θ
xx
где T — безразмерное осевое усилие.
Граничные условия примем в виде
(0) = θx(1) = 0.
θ
x
Уравнение (10.1) при всех значениях T имеет тривиальное решение.
Требуется определить значения параметра T, при которых меняется число
решений уравнения (10.1), найти их количество и исследовать поведение.
Рассмотрим линеаризованную задачу:
+ T · θ =0,θx(0) = θx(1) = 0. (10.2)
θ
xx
Эта задача имеет собственные числа T
собственные функции θ
(x)=cos(πjx), которые образуют ортогональное
j
=(πj)2и соответствующие им
j
на отрезке [0, 1] семейство функций
1
θi(x) · θj(x) dx =0 при i = j,
0
1
0
2
θ
(x) dx =
i
1
при i = j.
2
Функция θ(x) может быть разложена в равномерно сходящийся на отрезке [0, 1] ряд по собственным функциям линейной задачи (10.2):
∞
cnθn(x),
n=1
где c
n
=2
1
0
θ(x)=
θ(t) · θn(t) dt.
Рассмотрим решение задачи в окрестности первого собственного числа:
T
= π2,θ1(x)=α cos(πx).
1
2
Положим T = π
+ λ, |λ|1, и представим уравнение (10.1) ввиде
B(θ)=h(θ), (10.3)
∞
B(θ)=θ
+ π2θ, h(θ)=−θ · λ − (π2+ λ) ·
xx
i=2
θ
2i−1
(−1)
(2i − 1)!
i+1
.
74 ГЛАВА 2
Для существования решения неоднородного уравнения (10.3) необходимо и достаточно, чтобы
1
h(x)cos(πx)dx =0. (10.4)
0
Считая отклонение стержня от прямолинейной формы малым, то есть
полагая |α|1, решение уравнения (10.3) будем искать в виде ряда по
степеням малого параметра α:
∞
i=1
α
2i+1
θ
. (10.5)
2i+1
θ = α cos(πx)+
Подставляя решение (10.5) в уравнение (10.3), раскладывая по малым α и λ (при этом, как нетрудно видеть, следует считать λ ∼ α
2
)иоставляя главные члены, получаем последовательность краевых задач для определения функций θ
2
α
B(θ3)=
:
3
2
π
2
β
cos3(πx) − λ cos(πx),θ3x(0) = θ3x(1) = 0. (10.6)
6
Усл о ви е (10.4) существования решения задачи (10.6) дает уравнение
разветвления
которое имеет два решения: α = ±
2α2
π
− λ =0, (10.7)
8
√
λ.
Частное решение задачи (10.6) имеет вид
cos(3πx)
= −
θ
3
. (10.8)
192
Общее решение задачи (10.6) представляет собой сумму частного ре-
шения (10.8) и решения однородной задачи:
3
= −
cos(3πx)
192
+ C cos(πx),
θ
где C — константа, определяемая из условия разрешимости задачи следующего приближения.
2.11. МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЯ ФОРМЫ ГРАНИЦЫ 75
Таким образом, угол поворота касательной к стержню при нагрузках,
близких к критическим, определяется выражением
3
α
θ ≈ α cos(πx) −
192
cos(3πx).
Зависимость величины T от параметра α в окрестности критического
значения T = π
2
представлена на рисунке 10.1.
Рис. 10.1. Типичная бифуркационная диаграмма
Как следует из уравнения разветвления (10.7), в окрестности критического значения осевого усилия существуют три решения уравнения (10.1),
то есть три положения равновесия. Аналогично можно исследовать ветвление решений в окрестности всех остальных собственных чисел.
2.11. Метод возмущения формы границы
Рассмотрим собственные колебания мембраны, форма которой мало
отличается от круговой [68, 295]. Исходное уравнение может быть записано так:
внутри области, ограниченной линией r =1+εϕ(θ), ε 1.
Граничные условия примем в виде
Решение краевой задачи (11.1)–(11.3) ищем в виде разложения по степеням ε:
u(r, θ)=u
∂
∂r
2
u
1
+
2
r∂u∂r
1
∂2u
+
r
− λ2u =0 (11.1)
2
2
∂θ
u(1 + εϕ(θ),θ)=0, (11.2)
|u(0, 0)| < ∞. (11.3)
(r, θ)+εu1(r, θ)+ε2u2(r, θ)+.... (11.4)
0
76 ГЛАВА 2
Граничное условие (11.2) поставлено при r =1+εϕ(θ),поэтомупри
подстановке разложения (11.4) в граничное условие (11.2) малый параметр ε будет входить не только в коэффициенты разложения, но и в аргумент функции u(r, θ). Следовательно, необходимо перенести граничное
условие с линии r =1+εϕ(θ) на окружность r =1при помощи тейлоров-
ского разложения:
u(1 + εϕ(θ),θ)=
2
12∂
= u(1,θ)+
∂u(1,θ)
∂r
εϕ(θ)+
u(1,θ)
2
∂r
ε2ϕ2(θ)+... =0. (11.5)
После расщепления по ε получаем рекуррентную последовательность
краевых задач:
∂
∂r
2
u
∂
∂r
2
u
1
+
2
0
2
1
r
u
1
∂u
1
+
r
∂u
1
∂r
(1,θ) −
∂2u
1
0
+
∂r
(1,θ)=0, (11.7)
u
0
|u
(0,θ)| < ∞;(11.8)
0
1
∂2u
+
2
r
∂u
|u
(0,θ)| < ∞;(11.11)
1
2
r
∂θ
(1,θ)
0
∂r
0
2
− λ
u0=0, (11.6)
0
2
∂θ
1
2
− λ
0
2
u1− λ
2
u0=0, (11.9)
1
ϕ(θ)=0, (11.10)
...........................
Решение уравнения (11.6), удовлетворяющее условию (11.8), имеет
вид
(r, θ)=CIn(λ0r)cosnθ,
u
0
а безразмерная частота λ
— функция Бесселя [185, гл. 9].
где I
n
определяется из трансцендентного уравнения
0
)=0,
I
n(λ0
Перейдем к краевой задаче первого приближения (11.9)–(11.11).Чтобы сделать краевое условие (11.9) однородным, положим
(1,θ)
∂u
0
u
= u11−
1
∂r
ϕ(θ).
2.12. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ И РЕАЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТИ 77
Относительно функции u11(r, θ) имеем краевую задачу
2
u
∂
11
2
∂r
где
ψ(θ)=
Умножая уравнение (11.12) на функцию u
∂u
1
+
r
∂r
1
r
1
11
2
∂θ
∂2u
11
+
2
r
∂θ
u
11
|u
11
2
∂u
∂
(1,θ)
0
2
∂r
2
− λ
u11− λ
0
2
(1,θ)=0, (11.13)
(0,θ)| < ∞, (11.14)
ϕ(θ)− λ
2
u0= ψ(θ), (11.12)
1
∂u0(r, θ)
2
0
(r, θ) и интегрируя по пло-
0
∂r
ϕ(θ).
щади мембраны, имеем
1
2π
ψ(θ)u0(r, θ) dθ dr
0
0
2
=
λ
1
1
2π
.
u0(r, θ) dθ dr
0
0
Далее процесс может быть продолжен.
2.12. Асимптотическая и реальная погрешности
В математике принято оценивать точность асимптотического приближения по порядку последнего отброшенного члена. Однако на практике
интересна не асимптотическая, а реальная погрешность, поскольку обычно
область применимости приближенных теорий существенно шире, чем это
следует из асимптотических оценок. Часто для повышения реальной точности получаемого решения приходится отказываться от асимптотического
характера построенных приближений. «Асимптотическая точность является сугубо математическим понятием и совсем не обязательна для прикладной теории, которая может быть приемлема при отсутствии асимптотической точности и, наоборот, неприемлема при наличии такого качества. Инженера интересует не асимптотическая, а реальная точность. Эти понятия
не эквивалентны» [1].
Приведем пример. Полубезмоментная теория цилиндрических оболочек может быть построена на основе гипотез отсутствия сдвигов и нерастяжимости срединной поверхности. Такая теория является асимптотически
78 ГЛАВА 2
точной. Однако анализ показывает, что гипотеза о нерастяжимости срединной поверхности выполняется с более высокой точностью, чем гипотеза
отсутствия сдвигов [151, 202]. Теория, построенная на основе только гипотезы о нерастяжимости, содержит члены не только нулевого, но и первого
порядка малости. Однако она непротиворечива (то есть не возникает ситуация, когда часть членов одного порядка малости оставляется, а часть
отбрасывается) и обеспечивает более высокую реальную точность аппроксимации.
Мораль такова: не следует бояться нарушить асимптотический характер разложений ради повышения реальной точности приближенных уравнений.
Что касается оценки асимптотической погрешности, приведем мнение
выдающего эксперта в этой области: «Я придерживаюсь той точки зрения,
что обоснование всякого асимптотического метода как такового заканчивается доказательством того факта, что метод в принципе реализуем и приводит к формальному асимптотическому разложению (или хотя бы к формальной асимптотике). Это означает, что построенное, до поры до времени
гипотетическое, приближенное решение при подстановке в уравнение дает
малую невязку. Если можно добиться, чтобы эта невязка имела любой наперед заданный степенной порядок по малому параметру, то говорят, что
построено формальное асимптотическое разложение. Если же удается лишь
построить такое приближенное решение, которое приводит к малой невязке фиксированного порядка (или хотя бы к большой невязке, но имеющей
степенной порядок ниже, чем у исходного уравнения), то говорят о формальной асимптотике.
В некотором смысле можно сказать, что асимптотические методы вообще не нужно обосновывать — обоснованию подлежит лишь результат.
Мне кажется непоследовательным подход многих авторов, которые применяют теоремы существования и единственности полного уравнения. Ведь
сама идея использования малого параметра состоит в том, чтобы решить,
хотя бы приближенно, сложное уравнение посредством решения упрощенных в том или ином смысле уравнений» [219, c. 130, 131].
Желающим все же строго математически обосновать построенную
асимптотику мы советуем ознакомиться со статьей [219], в которой излагается общий метод такого обоснования. В частности, там отмечается:
«Л. В. Канторович [88,89] глубоко исследовал проблему сходимости метода
Ньютона (метода Ньютона – Канторовича). Существенная черта сформулированных и доказанных им теорем состоит в том, что одновременно уста-
2.12. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ И РЕАЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТИ 79
навливается и существование того решения, к которому сходятся приближения метода Ньютона. Оценка погрешности этого метода включает также
и локальную единственность решения.
Именно эта часть результатов, не зависящая от метода Ньютона, оказалась подходящей основой для обоснования разного рода асимптотик» [219,
c. 144].
Остановимся еще на одном подходе, позволяющем в некоторых случаях обеспечить корректность асимптотической процедуры. Как известно, б´oльшая часть задач механики допускает вариационную формулировку.
В то же время упрощенные путем асимптотического анализа краевые задачи такую постановку допускают не всегда. В связи с этим полезно после
асимптотического анализа краевых задач проверять, сохранили ли они свой
вариационный тип. В работах [25,26, 315] предложено выполнять асимптотический анализ соответствующих функционалов, что позволяет автоматически учесть вариационную структуру уравнений и те свойства результатов, которые ею фиксируются (корректность постановки краевых задач,
их разрешимость и т.д.). Этот метод, названный вариационно-асимптотическим, полезен для контроля правильности и повышения достоверности
полученных результатов.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]