Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы асимптотического анализа и синтеза в нелинейной динамике и механике деформируемого твердого тела
.pdf
1.1. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЯДЫ 21
Рис. 1.1. Проверка асимптотического характера частных сумм (1.8)
−M
асимптотически точны по порядку Oε
с погрешностью Oε
при x →∞. На рисунке 1.1 изображена зависимость lg E
E
(ε)=I
M
(ε)−IM(ε), кривым сверху вниз отвечают значения от M =1
числ
(ε) от lg ε,где
M
−M−1
до M =5.
Видно, что углы наклона кривых разнятся, однако приведенные в таблице 1.1 результаты применения метода наименьших квадратов показывают
вполне удовлетворительную точность метода.
Упомянем также метод определения асимптотических разложений по
известным значениям функции в нескольких точках [20, с. 120]. Пусть
имеется численное решение при некоторых значениях параметра ε: f (ε
f(ε
), f (ε3). Если априорно известно, что оно имеет асимптотический
2
1
характер и известен его вид (например, разложение происходит только
),
Таблица 1.1. Угловой коэффициент lg EM(ε) как функции lg ε, определенный ме-
тодом наименьших квадратов
EM(ε) Наклон для
ε ∈ [5, 50]
1 −1,861 −1,972 −1,991 −2,0
2 −2,823 −2,963 −2,988 −3,0
3 −3,789 −3,954 −3,985 −4,0
4 −4,758 −4,945 −4,981 −5,0
5 −5,729 −5,937 −5,999 −6,0
Наклон для
ε ∈ [50, 200]
Наклон для
ε ∈ [200, 500]
Асимптотический
наклон
22 ГЛАВА 1
по целым степеням ε), то можно записать систему уравнений
3
f(ε
)=
j
и определить коэффициенты a
i
ε
ai,j=1, 2, 3,
i
i=0
.
i
Такой прием можно применять в следующем случае. Часто численное
решение трудно получить при малых значених параметра ε,нодостаточно
просто при значениях ε порядка 1. Далее, пусть из априорных соображений
нам известно, что асимптотика при ε → 0 существует и имеет степенной
характер, однако определить ее аналитически невозможно или нецелесообразно. Тогда можно применить описанную выше асимптотическую экстраполяцию численного решения.
1.2. Асимптотические символы и действия
над асимптотическими представлениями
Введем основные символы и понятия асимптотического анализа, рассматривая функцию f (x) при x → x
рес представляет поведение функции f (x) при x = x
в том, чтобы найти другую, более простую функцию ϕ(x), которая описы-
вает f (x) при x → x
с возрастающей точностью. Количественные сравне-
0
ния опираются при этом на понятие порядка переменной величины. Введем
основные порядковые соотношения и соответствующие символы.
Будем говорить, что f(x) есть величина порядка ϕ(x) при x → x
записывая
f(x)=O(ϕ(x)) при x → x
если существует такое число A, что в некоторой окрестности Δ точки x
|f(x)| A|ϕ(x)|.
Кроме того, будем говорить, что f(x) есть величина порядка меньше ϕ(x) при x → x
, записывая
0
. В асимптотическом методе инте-
0
. Цель заключается
0
,
0
0
,
0
f(x)=o(ϕ(x)) при x → x
если для любого ε>0 найдется такая окрестность Δ точки x
,
0
0
|f(x)| ε|ϕ(x)|.
В первом случае отношение |f(x)|/|ϕ(x)| в области Δ ограничено,
во втором оно стремится к нулю при x → x
при x →∞, ln x = o(x
α
) для любого α>0 при x →∞.
. Например, sin x = O(1)
0
, в которой
1.2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СИМВОЛЫ И ДЕЙСТВИЯ 23
Символы O(...) и o(...) часто называют символами Эдмунда Ландау
(об истории вопроса см. [170, т. 1, § 7]). Иногда целесообразно применять
дополнительные символы, описывающие порядковые соотношения [170,
т. 1, § 2.3]. А именно, если f (x)=O(ϕ(x)),ноf(x) = o(ϕ(x)) при x → x
то применяется обозначение
,
0
f(x)=O(ϕ(x)) при x → x
,
0
при этом символO(ϕ(x)) называется символом точного порядка (отметим,
что иногда используется символ Oe(ϕ(x)).
Если f (x)=O(ϕ(x)), ϕ(x)=O(f(x)) при x → x
что f (x) асимптотически равна ϕ(x) при x → x
f(x) ϕ(x) при x → x
0
, то будем говорить,
0
, записывая
.
0
Отметим, что иногда используется символ ≈.
Нетрудно видеть, что из асимптотического равенства следует существование таких чисел a>0 и A>0, что в некоторой окрестности точки x
справедливо неравенство a|ϕ(x)| |f (x)| A|ϕ(x)|.
СимволыO и могут быть выражены через O, o и применяются лишь
для краткости записи.
Полезно различать следующие этапы асимптотического приближения. Сначала строятся верхние (или нижние) оценки типа f (x)=O(ϕ(x)).
Обычно такая оценка оказывается завышенной, то есть фактически f(x)=
=o(ϕ(x)). В ходе ее улучшения находится точный порядок f (x)=O(ϕ
Затем достигается асимптотическое равенство f(x) ∼ a
(x). Завершив
0ϕ0
(x)).
0
такой цикл, можно исследовать тем же путем остаток, получить асимптотическое равенство f(x) − a
Последовательность {ϕ
асимптотической, если ϕ
является последовательность {x
тотическим, если {ϕ
Ряд
∞
anϕn(x) с постоянными коэффициентами называется асимп-
n=0
(x)} — асимптотическая последовательность.
n
(x) ∼ a1ϕ1(x) и идти дальше.
0ϕ0
(x)}, n =0, 1,... при x → x0называется
n
(x)=o(ϕn(x)). Например, асимптотической
n+1
n
} при x → 0.
Будем говорить, что f (x) имеет асимптотическое разложение по последовательности {ϕ
(x)}, записывая
n
N
f(x) ∼
n=0
anϕn(x),N=0, 1, 2,..., (2.1)
0
24 ГЛАВА 1
если
f(x)=
m
anϕn(x)+o(ϕm(x)),m=0, 1, 2,...,N. (2.2)
n=0
Исследуем единственность асимптотических разложений. Пусть функция f (x) при x → x
ности {ϕ
(x)}, f (x) ∼
n
разлагается в ряд по асимптотической последователь-
0
∞
anϕn(x). Тогда коэффициенты разложения a
n=0
определяются единственным образом по формуле
a
= lim
n
x→x
0
f(x) −
n−1
akϕk(x)ϕ
k=0
−1
n
(x).
Нужно иметь в виду, что эта же функция f(x) может разлагаться по
другой асимптотической последовательности {χ
∞
1
1 − x
∼
xnпри x → 0,
n=0
1
1 − x
∼
(x)}, например:
n
∞
(1 + x)x2nпри x → 0.
n=0
С другой стороны, одно и то же асимптотическое разложение может
соответствовать нескольким функциям, например:
1+e
1 − x
−1/x
∞
∼
xnпри x → 0.
n=0
n
Иными словами, асимптотический ряд представляет не одну, а целый
класс асимптотически эквивалентных функций. Этим свойством часто удается успешно воспользоваться (см. §§ 9.1, 9.2).
Асимптотические разложения функций f (x) и g(x) при x → x
последовательности {ϕ
f(x) ∼
(x)},
n
∞
anϕn(x),g(x) ∼
n=0
∞
n=0
bnϕn(x),
по
0
можно складывать и умножать на постоянные:
∞
αf(x)+βg(x) ∼
(αan+ βbn)ϕn(x).
n=0
1.2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СИМВОЛЫ И ДЕЙСТВИЯ 25
Перемножать асимптотические ряды, вообще говоря, нельзя, так как
произведения {ϕ
(x) · ϕm(x)} (m, n =0, 1,...) не всегда можно упоря-
n
дочить в асимптотическую последовательность. Однако если это удается
сделать, например, в случае ϕ
можно. Степенные асимптотические ряды допускают деление, если b
(x)=xn, то почленное перемножение воз-
n
0
=0.
Логарифмирование асимптотик не вызывает особых трудностей, а при
потенцировании необходимо особо заботиться о правильной оценке остатка. Рассмотрим, например, функцию f(x)=(
√
x ln x +2x)ex, для которой
верно представление
x
f(x)=[2x + o(x)]e
при x →∞. (2.3)
Пусть g(x)=ln[f(x)], тогда, в соответствии с равенством (2.3),
g(x)=x +ln[2x + o(x)] = x +lnx +ln2+o(1) ∼ x + o(x) при x →∞.
Потенцируя разложение для g(x),находимf (x) ∼ e
x
при x →∞.
При этом в главном члене потерян множитель 2x.Деловтом,чтопри
потенцировании в разложении g(x) не учтены члены ln x и ln 2, влияющие
на главный член асимптотики f (x), и только величины o(1) не изменяют
коэффициент, так как exp{o(1)}∼1.
Степенное асимптотическое разложение
∞
f(x) ∼
n=2
anx
−n
при x →∞
можно интегрировать почленно.
Дифференцировать асимптотические разложения в общем случае нель-
зя. Например, функция
f(x)=e
−1/x
sine
−1/x
имеет вырожденное степенное разложение
f(x) ∼ 0 · 1+0· x +0· x
2
+ ...,
в то же время производная функции f (x) не допускает степенного разло-
жения, хотя и существует. Если непрерывная при x d>0 производ-
(x) имеет, как и функция f (x), степенное асимптотическое разложе-
ная f
ние при x →∞, то оно получается путем почленного дифференцирования
разложения функции f (x).
26 ГЛАВА 1
Подчеркнем, что подавляющее число ошибок при использовании
асимптотических методов связано с некорректным изменением порядка
предельных переходов и дифференцирований (см. § 6.7). Будьте бдительны!
Приведем пример. Пусть для решения задач теории тонкостенных конструкций используется метод Бубнова – Галёркина. Сколько членов разложения N надлежит оставлять в решении? Этот параметр должен быть
связан с параметром α, характеризующим тонкостенность конструкции
√
F для балки, R/h для оболочки и т.д.). При этом в общем случае
(L/
lim
lim
N→∞
(...) = lim
α→0
α→0
lim
N→∞
(...).
Неучет этого факта может приводить к недоразумениям.
Дополнительную информацию об асимптотических разложениях и действиях над ними читатель может получить практически из любой книги по
асимптотическим методам (см., например, [33,39, 102,146, 147, 295]).
Добавим пару слов об используемой в книге терминологии. Мы называем исходное формальное асимптотическое разложение анзацем (от немецкого Ansatz). Именно это выражение прижилось как в русскоязычной,
так и в международной научной литературе. Предложенные ранее термины «фарк» (формальное асимптотическое разложение, ключевое [15, 16])
или «фар», к сожалению, не прижились.
1.3. Выбор параметров асимптотического интегрирования
Для того чтобы применять принципы формального вычисления, необходимо наличие
параметра, по степеням которого выполняются разложения.
А. Пуанкаре [166, c. 98]
Как отмечали Вишик и Люстерник [46], «существует большое число
задач «на возмущение», когда исследуют вместе с «невозмущенной» задачей в известном смысле близкую к ней. Наиболее естественным является
введение числового параметра ε и рассмотрение семейства задач, непрерывно в определенном смысле зависящих от ε». При этом ничего не говорится о «малости» параметра ε. Сама эта «малость» часто понимается
слишком буквально. Наиболее нетривиальным является вопрос о выборе
1.3. ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ АСИМПТОТИЧЕСКОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ 27
начального приближения. Часто он диктуется физическими соображениями, явно проявляющимися при обезразмеривании и масштабировании. Однако иногда бывает выгоднее использовать далеко не очевидное и, может
быть, даже странное на первый взгляд начальное приближение.
Для иллюстрации вышесказанного рассмотрим простой пример: алгебраическое уравнение [236]
5
+ x =1. (3.1)
x
Будем искать действительный корень этого уравнения, точное значение ко-
торого можно определить численно: x =0,75487767....
Малый параметр явно в уравнение (3.1) не входит. Рассмотрим различные возможности введения параметра разложения ε в уравнение (3.1).
1. Введем малый параметр ε при нелинейном члене уравнения (3.1):
5
+ x =1. (3.2)
εx
Представив далее x рядом по ε
x = a
+ a1ε + a2ε2+ ..., (3.3)
0
подставляя разложение (3.3) в уравнение (3.2) и приравнивая члены при
одинаковых степенях ε, получаем
a
=1,a
0
a
= 285,a5= −2530,a6= 23751.
4
Может быть получено замкнутое выражение для a
и определен радиус сходимости R ряда (3.3), R =4
= −1,a
1
a
=[(−1)n(5n)!]/ [n!(4n +1)!],
n
=5,a
2
n
4/55
= −35,
3
,
=0,08192.
Следовательно, при ε =1ряд (3.3) расходится, причем очень быстро,
так что сумма первых шести членов равна 21 476. Ситуация может быть исправлена при помощи метода аппроксимаций Паде (определение см. § 7.2).
Строя аппроксиманту Паде с тремя членами в числителе и знаменателе
ивычисляяееприε =1, получаем значение корня x =0,76369 (отличие
от точного значения 1,2%).
2. Введем теперь малый параметр ε при линейном члене уравне-
ния (3.1):
5
+ εx =1. (3.4)
x
28 ГЛАВА 1
Представив решение уравнения (3.4) ввиде
x = b
+ b1ε + b2ε2+ ..., (3.5)
0
после применения стандартной процедуры метода возмущения имеем
=1,b1= −1,b
b
0
b
=0,b5=21/15 625,b6=78/78 125.
4
= −1/25,b
2
= −1/125,
3
И в этом случае можно построить общее выражение для коэффициентов,
b
= −(Γ[(4n − 1)/5]/(5Γ[(4 −n)/5]n!)),
n
и определить радиус сходимости ряда (3.5), R =5/4
4/5
=1,64938....Зна-
чение x(1) при учете первых шести членов ряда (3.5) x =0,75434 отлича-
ется от точного на 0,07 %.
3. Введем «малый параметр» δ в показатель степени,
1+δ
+ x =1, (3.6)
x
ипредставимx ввиде
x = c
+ c1δ + c2δ2+ .... (3.7)
0
Кроме того, используем разложение
1+δ
= x(1 + δ ln |x| + ...).
x
Коэффициенты ряда (3.7) определяются без труда: c
=0,25 ln 2, c
= −0,125ln 2,....
2
=0,5, c1=
0
Радиус сходимости равен в этом случае единице, а вычислять его нужно при δ =4. Используя аппроксиманту Паде с тремя членами в числите-
ле и знаменателе, при ε =1находим x =0,75448, что лишь на 0,05 %
отличается от точного результата, а вычислив c
до i =12 и построив
i
аппроксиманту Паде с шестью членами в числителе и знаменателе, найдем x =0,75487654 (погрешность 0,00015 %).
Описанный метод получил название «метод малых дельта» (подробнее
см. § 2.8).
4. Будем теперь считать показатель степени большим параметром. Рас-
смотрим уравнение
n
+ x =1. (3.8)
x
1.3. ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ АСИМПТОТИЧЕСКОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ 29
Полагая n →∞(«метод больших δ», подробнее см. § 2.9), представим
искомое решение в виде
где 1 >x
1>x2
>....
x =
1
n
(1 + x
+ x2+ ...)
1
1/n
, (3.9)
Подставляя анзац (3.9) в уравнение (3.8) и принимая во внимание, что
=1+
=1+
1
ln n + ...,
n
1
ln(1 + x
n
+ x2+ ...)+...,
1
1/n
n
1/n
x
получаем в порядке возрастания точности формулы
1/n
ln n
x ≈
x ≈
n
ln n − ln ln n
При n =2формула (3.10) дает x =0,58871; погрешность по срав-
нению с точным решением (0,5(
, (3.10)
1/n
n
. (3.11)
√
5 − 1) ≈ 0,618034)составляет4,7%.
При n =5получаем x =0,79745 (погрешность 4,4%). Формула (3.11)
для n =5дает x =0,74318 (погрешность 2,7%). Таким образом, уже пер-
вые члены асимптотики дают отличные результаты. Следовательно, в рассматриваемом случае «метод больших дельта» выигрывает по числу приближений, обеспечивая хорошую точность уже в низких порядках метода
возмущений.
Приближения (3.10), (3.11) дают пример нестепенной асимптотики
(подробнее см. § 2.3).
Отметим еще достаточно тривиальную, но часто забываемую истину:
асимптотический анализ должен начинаться с обезразмеривания исходных
соотношений и выбора наиболее естественных для данной задачи безразмерных характеристик. Это позволяет наиболее просто учесть присущие
системе симметрии [175]. Выбор асимптотического метода, обезразмеривание и введение малых параметров в систему — это наиболее существенная и неформализуемая часть исследования. Здесь должны помочь опыт
30 ГЛАВА 1
и интуиция, анализ физической сути задачи, экспериментальных и численных результатов. Не нужно забывать критерий Л. И. Маневича [133]: истинное упрощение при асимптотическом анализе уравнений связано с расширение допустимой группы преобразований. После того как малые параметры уже введены и метод исследования выбран, ни к чему «изобретать
велосипед»: можно воспользоваться известными и хорошо разработанными
приемами, часть из которых изложена в настоящей книге.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]