Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы асимптотического анализа и синтеза в нелинейной динамике и механике деформируемого твердого тела
.pdf
7.2. АППРОКСИМАЦИИ ПАДЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ 201
в анализе и при исследовании прикладных задач. В настоящее время метод АП является одним из наиболее перспективных нелинейных методов
суммирования степенного ряда и локализации его особых точек. В том числе и по этой причине теория АП превратилась во вполне самостоятельный
раздел теории приближений, а сами эти аппроксимации нашли разнообразные применения как непосредственно в теории рациональных приближений, так и в теории возмущений.
Итак, основные преимущества АП по сравнению с рядами Тейлора
таковы:
1) как правило, скорость сходимости рациональных приближений значительно превышает скорость сходимости полиномиальных приближе-
z
ний; например, функция e
циональными полиномами P
в круге сходимости аппроксимируется ра-
(ε)/Qn(ε) в 4nраз лучше, чем алгебра-
n
ическим многочленом степени 2n; еще ощутимее это проявляется для
функций ограниченной гладкости; так, функцию |ε| на отрезке [−1, 1]
нельзя приблизить алгебраическими многочленами так, чтобы порядок приближения был лучше, чем 1/n,гдеn — степень многочлена;
АП дает скорость сходимости ∼ exp(−
√
2n) [55];
2) обычно область сходимости рациональных приближений более широ-
кая по сравнению со степенными рядами; так, для функции arctg x
многочлены Тейлора сходятся только при |ε| 1,аАП—всюду
в C \ ((−i∞, −i] ∪ [i, i∞));
3) АП позволяют установить положение особенностей функции.
Описанную АП иногда называют АП первого рода. АП второго ро-
да (АП2) для функции f (ε) называется рациональная функция f
[n/m]
(ε)
вида (2.2) такая, что ее значения при n + m +1значениях аргумента совпадают со значениями f(ε) в тех же точках. Отсюда получается система
линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов полиномов числителя и знаменателя АП2 [45].
Для построения АП необходимо уметь вычислять в одной точке произ-
водные аппроксимируемой функции высокого порядка. При табличном задании функции этот метод практически не применим, особенно если опорные значения имеют заметную погрешность. Именно поточечно таблично заданные функции являются объектом АП2. Рациональную интерполяцию можно эффективно использовать для аппроксимации функций в тех
случаях, когда ранг аппроксиманты меньше числа точек, в которых задана исходная функция, и выбор наилучшего приближения производится,
202 ГЛАВА 7
например, при помощи метода наименьших квадратов. АП2 во многих случаях не только обеспечивает получение интерполяционных формул, гораздо более эффективных, чем, скажем, формулы полиномиальной интерполяции Лагранжа, но и позволяет экстраполировать значения функции, заданной на ограниченном интервале, за его пределы, чего практически никогда не позволяет сделать полиномиальное приближение. АП2 дает возможность довольно точно устанавливать положение действительных полюсов интерполируемой функции, лежащих за пределами интервала интерполяции.
Аналогичным методу АП является метод непрерывных (цепных) дро-
бей [71]. Существует несколько типов непрерывных дробей. Регулярная
C-дробь — это бесконечная последовательность, N -й член которой име-
ет вид
c
1+
0
c
1
.
.
ε
c
ε
2
c
N−1
.
1+cNε
. (2.8)
ε
(ε)=a +
f
N
1+
1+
Коэффициенты c
получаются после разложения выражения (2.8) вряд
i
Маклорена с последующим приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях ε.Приa =0получается дробь Стильтьеса, или S-дробь. Для
функции Стильтьеса
∞
S(ε)=
exp(−t)
0
1+εt
коэффициенты разложения (2.8) имеют вид a =0, c
dt
=1, c
0
2n−1
= c2n= n,
n 1.
Описание так называемых J-, T -, P-, R-, g-дробей, алгоритмы их по-
строения и области применимости детально описаны в [71].
Непрерывные дроби являются частным случаем непрерывных функци-
ональных аппроксимаций [237]. Речь идет о последовательности, у которой
(n +1)-й член c
(ε) имеет вид n-й итерации некоторой функции F (ε).Для
n
ряда Тейлора F (ε)=1+ε, для непрерывной дроби F (ε)=1/(1 + ε).
Если F (ε)=exp(ε), имеем непрерывную экспоненциальную аппрокси-
мацию
(ε)=a0exp(a1ε exp(a2ε...exp anε)),
c
n
7.3. СУММИРОВАНИЕ ПО БОРЕЛЮ 203
при F (ε)=√1+ε
,
c
(ε)=a
n
1+a1ε1+a2ε1+...a
0
ε√1+anε,
n−1
при F (ε)=ln(1+ε)
c
(ε)=a0ln (1 + a1ε ln(1 + a2ε...ln(1 + ε))).
n
В некоторых случаях подобные аппроксимации могут сходиться к ис-
комой функции существенно быстрее степенных рядов.
В качестве примера укажем на приведенное в [10, § 3.4.9] решение
трансцендентного уравнения
x = ε ln x (2.9)
при больших значениях λ. Последовательные приближения решения уравнения (2.9) таковы:
x
= εln ε, x1= εln(ε ln ε),x2= εln(ε ln ε(ln ε)), ....
0
7.3. Суммирование по Борелю
Этот метод суммирования особенно полезен для асимптотических ря-
дов, расходящихся факториально [357, 362]:
∞
F (ε)=
anεn,an∼ n!. (3.1)
n=0
Воспользовавшись равенством
перепишем ряд (3.1) ввиде
F (ε)=
n!=
∞
n=0
∞
e−ttndt,
0
∞
a
n
e−t(εt)ndt. (3.2)
n!
0
204 ГЛАВА 7
Если порядки суммирования и интегрирования в формуле (3.2) можно
поменять (это не всегда просто обосновать!), то
∞
где выражение B(εt)=
F (ε)=
∞
n=0
e−tB(εt) dt,
0
a
n
(εt)nназывается функцией Бореля ря-
n!
да (3.1).
Наличие факториала n! в знаменателях членов ряда (3.2) часто приво-
дит к его сходимости.
Для примера рассмотрим ряд
∞
(−1)nn!εn, (3.3)
n=0
имеющий нулевой радиус сходимости. Соответствующая ему функция Бореля
∞
(−1)nεn=
n=0
1
1+ε
имеет особенность в точке ε = −1.Однакодляε 0 интеграл
∞
e−tdt
1+εt
0
сходится и является суммой по Борелю ряда (3.3).
Суммирование по Борелю может применяться в сочетании с суммиро-
ванием по Паде (метод Паде – Бореля).
Важнейшей особенностью суммирования по Борелю является воз-
можность учета экспоненциально малых («гиперасимптотических») членов [153, 243, 244].
Если оценка коэффициентов в выражении (3.1) имеет вид a
∼ (n!)k,
n
где k — положительное целое число, то эффективным может оказаться
обобщенный метод суммирования по Борелю [237]. В этом случае
∞
B(εtt
1t2
...t
)=
k−1
× exp(−t −t
∞
0
∞
...
F (εtt1t2...t
0
0
− t2− ...− t
1
) ×
k−1
) dt dt1dt2...dt
k−1
k−1
.
ГЛАВА 8
Применение аппроксимаций Паде
8.1. Ускорение сходимости итерационных процессов
Эффективность применения АП или других методов суммирования
в значительной мере зависит от наличия высших приближений асимптотического процесса. Иногда их можно получить, используя компьютерные
алгоритмы [222,223,256], однако в целом вопрос остается открытым. Существенно более простыми для реализации являются итерационные методы.
В итоге применения итерационной процедуры получается некоторая последовательность S
величину S. Введем параметр a при помощи следующего соотношения:
Сходимость называется сверхлинейной, если a =0, линейной при a<1
и логарифмической при a =1. Наибольшие проблемы вызывают, естест-
венно, логарифмически сходящиеся последовательности — увы, широко
распространенные на практике. Да и с линейно сходящимися последовательностями бывают проблемы. Поэтому сходимость часто приходится
улучшать. Метод улучшения сходимости заключается в переходе к новой
последовательности T
разом, чтобы
В таких случаях говорят, что последовательность T
рее последовательности S
улучшения сходимости. Линейные методы описываются формулами
где a
— не зависящие от членов последовательности Snпостоянные.
ni
. Предположим, что она сходится и имеет пределом
n
S
− S
n→∞
Tn− S
Sn− S
n+1
Sn− S
a = lim
при помощи некоторого преобразования таким об-
n
lim
n→∞
. Существуют линейные и нелинейные методы
n
∞
=
T
n
aniSi,n=0, 1, 2,...,
i=0
=0.
n
.
сходится быст-
n
206 ГЛАВА 8
Поскольку линейные методы улучшают сходимость ограниченного
класса последовательностей, в настоящее время наиболее популярны нелинейные методы. Среди них своей простотой выделяется метод Эйткена,
описываемый формулой
T
n
= Sn−
(S
n+1
S
n+1
− Sn)(Sn− S
− 2Sn+ S
)
n−1
,n=0, 1, 2,.... (1.1)
n−1
Метод Эйткена ускоряет сходимость всех линейно и многих логариф-
мически сходящихся последовательностей. Он очень прост для вычислений, и в некоторых случаях его можно применять итерационно.
Естественным обобщением преобразования Эйткена является преоб-
разование Шенкса [22]:
(1)
D
=
D
p−k+1
p−k+1
ΔS
p
p−k+1
ΔS
p
kp
, (1.2)
(2)
kp
... S
... ΔS
... ΔS
... ΔS
... ΔS
p
p
p+k−1
p
p+k−1
,
,
где
D
D
ΔS
(1)
kp
(2)
kp
k
(sh)
T
p
S
p−k
ΔS
=
... ... ... ...
ΔS
ΔS
=
... ... ... ...
ΔS
= S
k+1
S
ΔS
p−k
p−1
11... 1
ΔS
p−k
p−1
− Sk.
Равенство (1.2) называется преобразованием Шенкса порядка k после-
довательности S
в последовательность Tk.Приk =1получаем преобра-
k
зование Эйткена (1.1).
Метод Шенкса требует вычисления определителей, что не всегда про-
сто. Его можно заменить алгоритмом Винна, описываемым формулами
T
(n+1)
k
1
− T
. (1.3)
(n)
κ
(n)
T
−1
=0,T
(n)
0
= Sn,T
(n)
k+1
= T
(n+1)
k+1
+
Алгоритм Винна следующим образом связан с преобразованием Шенк-
са (1.2):
(n)
T
2k
= T
(sh)
(Sn),T
k
(n)
2k+1
=1#T
(sh)
k
(ΔSn).
8.2. ИСКЛЮЧЕНИЕ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ И УМЕНЬШЕНИЕ ВЛИЯНИЯ 207
Он дает квадратично сходящийся метод решения систем нелинейных
уравнений [22].
Существует множество других приемов ускорения сходимости [22, 71,
93,150, 163, 180,226, 238, 254,255, 283, 288,374]. Можно использовать их последовательно, например, превращать исходную последовательность в линейно сходящуюся, а затем применять метод Эйткена. Можно также применять различные методы улучшения сходимости, на каждом этапе сравнивая
полученные результаты [254, 255].
Покажем, что все описанные методы имеют тесную связь с АП. На
основе последовательности S
можно записать такой отрезок ряда по неко-
n
торому параметру ε:
u
= S0+(S1− S0)ε +(S2− S1)ε2+ ...+(Sn− S
n
)εn. (1.4)
n−1
При ε =1из (1.4) получаем u
= Sn.Ряд(1.1) можно перестроить
n
вАПразличноговидапоε, а затем в окончательном выражении положить ε =1. Метод Эйткена (1.1) соответствует АП [n/1],методШенкса—
(n)
АП [p/k]; для метода Винна имеем T
=[n + k/k].
2k
8.2. Исключение неоднородностей и уменьшение влияния
эффекта Гиббса
Рассмотрим задачу об обтекании тонкого эллиптического профиля
(|x| 1, |y| ε, ε 1) равномерным плоским потенциальным потоком
идеальной жидкости, набегающим со скоростью V . Выражение для относительной скорости потока q
Разложение этого решения в ряд по ε можно представить в виде
∗
q
(x, ε)=1+ε −
Это выражение расходится при x =1. Ничего удивительного в этом нет:
разложение (2.2) получено в результате предельного перехода lim
x>1, а чтобы получить значение q(1,ε), нужно выполнить предельный
переход lim
q(x, ε) при ε>0. Расходимость выражения (2.2) при x =1
x→1
∗
таково [39, § 4.4]:
√
(1 + ε)
q
∗
=
q
=
V
1 − x2(1 − ε2)
x
1
2
ε
2
1 − x
2
2
1 − x
−
2
. (2.1)
2
x
1
3
ε
2
1 − x
+ .... (2.2)
2
ε→0
q(x, ε),
208 ГЛАВА 8
свидетельствует о том, что эти предельные переходы нельзя менять местами. Можно применить к выражению (2.2) АП, а затем осуществить
предельный переход x → 1. Попробовав различные варианты, приходим
к выводу, что наилучшие результаты в данном случае дает АП
2
(1 − x
∗
=
q
1 − x2+0,5ε2x
)(1 + ε)
. (2.3)
2
Численные результаты при ε =0,5 представлены на рисунке 2.1, где
пунктирной линией обозначено решение (2.2),кривыми1 и 2 —точноерешение (2.1) иАП(2.3). Видно, что применение АП существенно улучшает
ситуацию.
Рис. 2.1. Исключение неоднородностей при помощи АП
АП позволяет также бороться с явлением Гиббса [177, 338]. Рассмотрим для примера функцию
sign x =
− 1, − π<x<0,
1, 0 <x<π.
Ее разложение в ряд Фурье имеет вид
∞
4
sign x =
π
j=0
sin(2j +1)x
2j +1
. (2.4)
Прямое суммирование ряда (2.4) приводит к эффекту Гиббса в окрестности точки x =0, при этом дефект сходимости достигает 18 %,тоесть
вместо 1 мы получаем величину 1,1789797....
8.3. ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ РЕШЕНИЯ 209
Перестройка ряда (2.4) в диагональную АП приводит к такому результату:
[(N−1)/2]
q
sin(2j +1)x
1+
2j+1
[N/2]
s2jcos(2jx)
j=1
, (2.5)
sign x
[N/N]
j=0
=
где
q
2j+1
s
2i
4
(2j +1)
=
π
=2(−1)
i
⎡
1
⎣
(2j +1)
(N!)4(2N +2i)!(2N −2i)!
[N/2]
+
2
i=1
s
2i
(2j +1)2− (2i)
(N − 1)!(N +1)!(N − 2i)!(N +2i)![(2N)!]
⎤
⎦
2
Численные исследования показывают, что эффект Гиббса для выражения (2.5) не превосходит 2%[338].
8.3. Локализованные решения
Рассмотрим радиально-симметричные решения нелинейного стационарного уравнения Шрёдингера:
,
.
2
2
(x, y) − u(x, y)+u3(x, y)=0. (3.1)
∇
Будем искать вещественные, локализованные осесимметричные решения уравнения (3.1). В полярных координатах (ξ, θ) строим решение ϕ(ξ),
не зависящее от θ. В итоге получаем краевую задачу:
(ξ)+
1
ϕ
(ξ) −ϕ(ξ)+ϕ3(ξ)=0, (3.2)
ξ
ϕ
(0) = 0, (3.3)
lim
ϕ(ξ)=0. (3.4)
ξ→∞
ϕ
Краевую задачу (3.2)–(3.4) можно рассматривать как задачу на собственные значения, причем роль собственного значения играет неизвестная величина A = ϕ(0). Эта задача играет важную роль в нелинейной
оптике, квантовой теории поля, в теории магнитных сред. Как доказано
210 ГЛАВА 8
в [140, с. 12–16], эта задача имеет счетное множество «собственных значений» A
ние ϕ(ξ, A
, при этом решение ϕ(ξ, An) имеет ровно n нулей, а реше-
n
) не имеет нулей и монотонно убывает по ξ. Именно последнее
0
решение наиболее интересно с точки зрения физических приложений, и мы
сосредоточимся на его построении.
Решение краевой задачи (3.2)–(3.4) ищем в виде
∞
+
ϕ(ξ)=A
0
C2jξ2j. (3.5)
j=1
Подставляя разложение (3.5) в уравнение (3.2), производя расщепле-
2
ние по степеням ξ
=0,25A
C
2
1
=
C
8
64
C
= −0,01
10
C
= −
12
гдеC =1−3A
и решая соответствующие уравнения, получаем [277]
0
CC
6
CC8+6A0C2C6+3A0C
1
−CC
144
2
.
0
2
1 − A
,C
=0,25C
0
− 6A0C2C4− C
10
4
3
,
2
+6A0C2C8+6A0C4C6+3C
C, C
2
2
+3C
4
=
6
2
C
2
C
4
36
,
4
2
C6+3C2C
2
3
2
C
3A
0
−
16
,
2
,
4
Учитывая условие затухания (3.4), перестраиваем решение (3.5) вАП
N
+
A
0
1+
j=0
N+1
k=1
ϕ(ξ)=
Цель расчетов состоит в определении величины A
Численное решение дает A
≈±2,206208, результаты, полученные при ис-
0
2j
a2jξ
. (3.6)
2k
b2kξ
из условия (3.3).
0
пользовании решения (3.6) при различных значениях N,приведенывтаблице 3.1.
Отличие численного и аналитического решения при N =4составляет 0,26 %.
Таблица 3.1. Значения C при различных N
N 1 2 3 4
C ±√3 ±2,20701 ±2,21121 ±2,21200
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]