Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы асимптотического анализа и синтеза в нелинейной динамике и механике деформируемого твердого тела
.pdf
2.2. ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 41
линейной комбинацией векторов e1,...,ek, однако эта комбинация заранее
не известна, то есть вектор x
подлежит определению. Сравнивая, как и ра-
0
нее, коэффициенты при одинаковых степенях ε, получаем в первом при-
ближении уравнение (2.5).
Поскольку x
— линейная комбинация собственных векторов ek,мож-
0
но записать
= a1e1+ a2e2+ ...+ akek. (2.20)
x
0
Подставляя выражение (2.20) в уравнение (2.5) и умножая обе части
полученного выражения скалярно на e
(A
, er)+(A0x0, er)=λ0(x1, er)+λ1(x0, er),r=1, 2,...,k. (2.21)
1x0
, получаем систему уравнений
r
Поскольку
(A
, er)=(x0,A1er)=λ0(x0, er), (2.22)
0x0
систему (2.21) можно записать так:
(A
, er)=λ1(x0, er),r=1, 2,...,k. (2.23)
1x0
Подставляя в левые части уравнений (2.23) вместо x
ние (2.20) и учитывая, что (x
k
, er)=ar, получаем
0
его выраже-
0
brpap= λ1ar,r=1, 2,...,k, brp=(A1ep, er). (2.24)
p=1
Если матрица b
имеет k различных собственных значений λ
rp
(i)
1
,то
они определяются из алгебраического уравнения k-й степени:
b
det
− λ
ir
а соответствующие собственные векторы x
где коэффициенты a
находятся из уравнений (2.24).
i
(1)
i
=0,
δ
ik
(i)
задаются формулой (2.20),
0
Для дифференциальных уравнений случай кратных собственных значений рассмотрим аналогично. Пусть невозмущенная самосопряженная
краевая задача (2.11), (2.12) имеет k-кратное собственное значение λ
носящихся к нему собственных функций ϕ
,...,ϕ0k. Полагаем, что
01,ϕ02
и k от-
0
42 ГЛАВА 2
собственные функции ортонормированы:
b
ϕ0rN0(ϕ0p) dx =0,p= r;
a
b
(2.25)
ϕ0rN0(ϕ0r) dx =1,r=1, 2,...,k.
a
Как и для системы линейных алгебраических уравнений, при внесении
малого возмущения кратное собственное число расщепляется. Разложение
собственного числа ищем в виде (2.3), а собственную функцию нулевого
приближения — в виде
k
y
=
0
crϕ0r. (2.26)
i=1
Подставляя выражение (2.26) в уравнение первого приближения (2.17),
умножая его последовательно на ϕ
, p =1, 2,...,k, используя само-
0p
сопряженность невозмущенного оператора и свойства ортонормированности (2.25), получаем систему линейных алгебраических уравнений, позво-
(r)
ляющую определить λ
M
k
cpϕ
1
p=1
b
a
и cr(а значит, и y0r):
1
− λ0N
ϕ
0p
0r
k
− λ
1N0
p=1
1
cpϕ
k
p=1
0p
cpϕ
0p
−
ϕ
0r
ϕ
dx =0,r=1, 2,...,k.
0r
В изложенном подходе на каждом этапе сначала определяются собственные числа, а затем собственные векторы. Возможен и другой подход,
когда из уравнения для собственного вектора исключается собственное значение [207]. Рассмотрим для иллюстрации собственные продольные колебания стержня переменной жесткости и постоянного поперечного сечения:
dx
d
+ εE1(x))
(E
0
du
dx
2
u =0,E0=const (2.27)
+ ρω
при граничных условиях (1.5).
2.2. ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 43
В нулевом приближении имеем
M(u
)=E
0
2
d
0
2
dx
+ ρω
2
=0; при x =0,L u0=0.
u
0
0
Теперь преобразуем исходное уравнение (2.27),добавивиотняв
член ρω
2
u:
0
dx
d
E
1
d2u
E
0
dx
2
+ ρω
2
u + ε
0
(x)
du
dx
= −ρ(ω
2
− ω
2
0
)u. (2.28)
Умножив теперь, как и ранее, обе части уравнения (2.28) на u
, инте-
0
грируя по x от нуля до L и учитывая самосопряженность оператора M(u),
получаем
−ρ(ω
2
− ω
2
)=ε
0
L
d
E
1
dx
0
(x)
du
dx
⎡
L
⎣
dx
u
0
0
uu0dx
⎤
−1
⎦
. (2.29)
Далее, будем считать собственную функцию u нормированной таким
L
образом, что
число ω
d2u
E
0
dx
uu0dx =1. Из уравнения (2.28) исключаем собственное
0
2
при помощи выражения (2.29):
0
2
− ρω
2
u + ε
0
dx
d
E
1
(x)
du
dx
= εu
L
d
E
1
dx
0
(x)
du
dx
dx. (2.30)
u
0
Это нелинейное уравнение с краевыми условиями (1.5) можно решать
методом возмущений или последовательных приближений. Зная собственный вектор, по формуле (2.29) находим собственное число.
В качестве еще одного примера рассмотрим метод Ишлинского – Лейбензона исследования устойчивости конструкций со свободными краями.
Суть его состоит в том, что в уравнениях равновесия отбрасываются параметрические члены при сохранении их только в краевых условиях [83, 117].
Вопрос о физической стороне подобных упрощений до сих пор обсуждается в литературе, однако можно строить соответствующие упрощения
формально, вводя в исходные уравнения при параметрических членах параметр ε и считая его малым, а в окончательном решении полагая ε =1.
44 ГЛАВА 2
Рассмотрим для примера устойчивость консольного стержня (рис. 2.2). Исходное уравнение
устойчивости имеет вид (1.5), а краевые условия таковы:
w
(L)=0,EIw
Введем теперь в уравнение (2.31) малый па-
раметр ε следующим образом:
w(0) = w
(L)+Tw(L)=0. (2.32)
(0) = 0, (2.31)
EIw
+ εT wxx=0. (2.33)
xxxx
Решение Ишлинского– Лейбензона получится из краевой задачи (2.31)–(2.33) при ε =0.
Представим далее w и T таким образом:
Рис. 2.2. Сжатый консольный стержень
w = w
T = T
+ w1ε + w2ε2+ ...,
0
+ T1ε + T2ε2+ ....
0
Производя расщепление по ε, имеем
w
(L)=0,EIw
1
w
(L)=0,EIw
2
EIw
w
(0) = w
w
(L)=0,EIw
0
EIw
2
0
EIw
1xxxx
w
(0) = w
1
1
+ T0w
2xxxx
w
(0) = w
2
(L)+T0w
(L)+T0w
=0, (2.34)
0xxxx
(0) = 0, (2.35)
0
(L)+T0w
0
+ T0w
(0) = 0, (2.38)
1
+ T1w
1xx
(0) = 0, (2.41)
2
(L)+T1w
2
(L)=0, (2.36)
0
=0, (2.37)
0xx
(L)+T1w
1
(L)+T2w
1
(L)=0, (2.39)
0
=0, (2.40)
0xx
(L)=0. (2.42)
0
Из соотношений нулевого приближения (2.34)–(2.36) получаем
2EI
T
=
0
,w0= Ax2(x − 3L).
2
L
Краевая задача первого приближения (2.37)–(2.39) имеет решение
EI
T
=
1
,w1= −5ALx2+ Ax3+
2
3L
A
2L
A
4
x
−
10L
x5.
2
2.3. МЕТОД СОПРЯЖЕННЫХ УРАВНЕНИЙ 45
Наконец, из уравнений и краевых условий второго приближения (2.40)–
(2.42) находим
4EI
=
T
2
45L
.
2
Окончательно получаем
EI
T =
2+
2
L
Формула (2.43) для ε =1дает T =2,4020EI/L
2
T =2,4674EI/L
[49] отличается от найденного на 1,83 %.
4
1
ε +
3
2
ε
+ .... (2.43)
45
2
. Точное решение
2.3. Метод сопряженных уравнений
При вычислении поправок к собственному числу обычно определяются последовательно собственные числа и собственные функции. Между
тем знание собственной функции вплоть до n-й степени позволяет опреде-
лить собственное значение вплоть до степени 2n +1 [134]. Покажем это на
примере линейного матричного уравнения (2.1).
Представив решение уравнения (2.1) ввиде(2.2), (2.3), получаем
рекуррентную систему уравнений (2.4)–(2.5b). Из уравнений (2.4), (2.5)
определяем λ
лить λ
. Для этого скалярно умножаем обе части уравнения (2.5a) на x
2
и учитываем самосопряженность невозмущенной задачи и уравнение (2.4).
В результате имеем
Теперь, умножив скалярно уравнение (2.5b) на x
, λ1и x0, x1. Далее из уравнения (2.5a) можно опреде-
0
− λ1)x1, x0)
((A
1
=
λ
2
|x0|
2
.
,находим
0
0
λ
3
Поскольку вектор x
лителя дроби (3.1) так:
((A
Из уравнения (2.5) имеем
=
неизвестен, преобразуем первое слагаемое чис-
2
− λ1)x2, x0)=((A1− λ1)x0, x2).
1
(A
− λ1)x0= −(A − λ0)x1.
1
|x0|
2
. (3.1)
− λ1)x2, x0) − λ2(x1, x0)
((A
1
46 ГЛАВА 2
Отсюда
− λ1)x0, x2)=−((A − λ0)x1, x2)=−((A − λ0)x2, x1)=
((A
1
= −((−A
+ λ1x1+ λ2x0), x1)=((A1− λ1)x1, x1) − λ2(x0, x1).
1x1
Окончательно находим
=
λ
3
|x0|
2
. (3.2)
− λ1)x1, x1) − λ2(x0, x1)
((A
1
Метод математической индукции позволяет распространить формулу (3.2) на следующие приближения.
2.4. Нестепенные асимптотики
Бди!
К. Прутков
Поиск вида асимптотического решения — нетривиальная задача. Разумеется, степенное разложение с целыми или дробными показателями степеней — самое простое, и его нужно пытаться применить первым. Однако,
как показано ниже на примерах, возможны и более изощренные варианты
разложений.
Рассмотрим сначала трансцендентное уравнение [200]
−x
= ε, 0 <ε 1. (4.1)
xe
Малый (порядка ε) корень этого уравнения можно представить степенным разложением
x = ε + a
ε2+ a2ε3+ .... (4.2)
1
Подставляя (4.2) в уравнение (4.1) и приравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях ε, находим коэффициенты a
. Интереснее обстоит де-
i
ло с поиском большого корня уравнения (4.1). Чтобы угадать вид асимптотической последовательности, перепишем уравнение (4.1) ввиде
−x
= ε/x. (4.3)
e
Логарифмирование приводит к итерационной схеме
=lnε−1+lnxn.
x
n+1
2.4. НЕСТЕПЕННЫЕ АСИМПТОТИКИ 47
Полагая x0=lnε−1, получаем
x
=lnε−1+lnlnε−1.
1
Таким образом, искомое разложение содержит логарифмы.
−1
Принимая x =lnε
получаем уравнение вида
−1
+lnlnε−1+ ξ, ε1=
(1 + ε
+ ε2ξ)e−ξ= ε2,
1
ln ln ε
ln ε
, ε2=ln ε
−1
решение которого может быть представлено в виде ряда по степеням ε
∞
∞
ξ =
k=1
ckmε1ε2.
m=1
−1
1
−1
и ε2:
Второй пример — асимптотика Рэлея [75, 76]. Рассмотрим задачу об
определении критической силы для стержня на упругом основании при
продольном сжатии:
d
EI
w = w
4
w
+ cw + T
4
dx
=0 при x = ±0,5L. (4.5)
x
2
w
d
=0, (4.4)
2
dx
Приведем краевую задачу (4.4), (4.5) кбезразмерномувиду:
где ξ = x/L
, λ = T/cL
1
4
d
w
4
dξ
w = w
2
, l =0,5L/L
1
2
w
d
+ λ
=0 при ξ = ±l, (4.7)
ξ
+ w =0, (4.6)
2
dξ
, L1=
1
4
EI/c.
Как показано в [75, 76], краевая задача (4.6), (4.7) имеет дискретный
бесконечный спектр λ
Все λ
при l →∞стремятся к рэлеевскому критическому значению.
k
λ2 λ3 ....
1
Его можно найти следующим образом. Полагая w = c sin(αx), получаем
2
λ = α
+1/α2. Минимизация дает α0=1, λ0=2. Это и есть рэлеевские
волновое число и собственное значение. Они представляют собой нулевое
приближение некоторой асимптотики. Чтобы установить ее вид, получим
соответствующее краевой задаче (4.6), (4.7) трансцендентное уравнение.
Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения (4.6)
,
48 ГЛАВА 2
имеет две пары корней: ±iα, ±i/α,гдеα =
0,25λ2− 1 −0,5λ. Подста-
новка общего решения уравнения (4.6) в граничные условия (4.7) приводит
к трансцендентному уравнению
2
(1 + α
)sinα−1(α2− 1)l+(α2− 1) sinα−1(α2+1)l=0. (4.8)
Далее представим искомое волновое число α ввиде
α =1+εα
+ ε2α2+ .... (4.9)
1
Подставляя разложение (4.9) в уравнение (4.8) и производя расщепление по ε, получаем в первом приближении
π
sin 2α
=0, откуда α1= k
1
,k=1, 2,....
2
Продолжая процесс, имеем [75,76]
(1)
=2+ε2k2π2+(−1)
λ
k
(2)
=2+ε2k2π2− (−1)
λ
k
k+1ε3
k+1ε3
sin
sin
2
2π2
+ O(ε4),
k
ε
2
2π2
k
+ O(ε4).
ε
(4.10)
Формулы (4.10) можно использовать только при k<1/(επ).Онидают возможность оценить ошибку замены критической силы ее рэлеевским
значением.
2.5. Устранение неравномерностей асимптотических
разложений
Одним из основных недостатков асимптотических разложений является их неравномерность. Рассмотрим для примера функцию
f(x, ε)=exp(−x/ε)+1.
Асимптотика f (x, ε) ∼ 1 становится непригодной в окрестности точки x =0.
Основные источники неравномерностей таковы: 1) наличие при старшей производной в дифференциальном уравнении малого параметра; 2) изменение типа дифференциального уравнения в частных производных
2.5. УСТРАНЕНИЕ НЕРАВНОМЕРНОСТЕЙ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИЙ 49
при ε → 0; 3) качественное изменение краевых и начальных условий задачи при ε → 0; 4) изменение структуры области при ε → 0; 5) неограниченность области, в которой рассматривается асимптотика; 6) наличие
особенностей решения; 7) неразрешимость вырожденной (ε → 0)задачи.
Рассмотрим для примера уравнение Дюффинга:
3
¨x + x + εx
=0, (5.1)
x(0) = 1, ˙x(0) = 0. (5.2)
Если искать решение задачи (5.1), (5.2) в виде «наивного» разложения
∞
x =
εkxk(t), (5.3)
k=0
то в итоге получаем следующее решение:
(t)=cost,
x
0
(t)=−
x
1
3
t sin t +
8
1
(cos 3t − cos t),.... (5.4)
32
Из-за слагаемого t sin t имеем x →∞при t →∞, поэтому приве-
денное разложение не является хорошим приближением к решению для
всех значений t (случай 5). Слагаемое t sin t называется секулярным, или
вековым, членом (последний термин пришел из небесной механики). Регулярность разложения нарушается не только при бесконечном значении t:
−1
если t = O(ε
противоречит предположению о том, что x
), то второй член сравнивается по порядку с первым, что
— малая поправка к x0.При
1
дальнейшем вычислении членов ряда будут появляться вековые члены ти-
n
cos t, tnsin t. Хотя результирующий ряд и сходится, но сходимость
па t
эта медленная, и представить решение конечным числом слагаемых для
всех значений t не удается.
Для того чтобы свести приближенное решение (5.3) к равномерно пригодному, можно применить метод Линдстедта – Пуанкаре. Идея его основана на следующем положении. При ε → 0 решение является периодическим
3
спериодом2π. Однако из-за нелинейного члена εx
в уравнении (5.1) решение для ε =0не может быть периодическим с тем же периодом. Так как
период порождающего решения x
= A cos t постоянен и равен 2π,после-
0
дующие члены должны привести к изменению периода, в результате чего
50 ГЛАВА 2
и появляются вековые члены. Следующий простой пример иллюстрирует
это утверждение: для функции sin(1 + ε)t имеет место разложение
2t2
ε
sin(1 + ε)t =sint + εt cos t −
sin t + ....
2!
Сущность метода Линдстедта – Пуанкаре заключается в том, чтобы
предотвратить появление вековых членов введением новой переменной
τ = ωt, (5.5)
тогда
d2x
2
ω
Представим теперь x ввиде(5.3),аω
2
ω
+ x + εx3=0. (5.6)
2
dτ
2
— разложением
=1+εω1+ ε2ω2+ .... (5.7)
Постоянные ω
будем подбирать таким образом, чтобы избежать появ-
i
ления вековых членов. Подставляя разложения (5.3), (5.7) в уравнение (5.6)
и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ε, получаем систему уравнений
2
x
d
0
+ x0=0, (5.8)
2
dτ
2
2
x
d
2
2
dτ
x
d
1
+ x1= −ω
2
dτ
+ x2= −ω
2
d2x
dτ
d2x
0
3
− x
1
2
dt
0
− ω
1
2
, (5.9)
0
d2x
1
2
− 3x
x1, (5.10)
dτ
2
0
...........................................
Из начальных условий (5.2) получаем
(0) = 1, ˙x0(0) = 0, (5.11)
x
0
x
(0) = ˙xi(0) = 0,i=1, 2, 3,.... (5.12)
i
Решение уравнения первого приближения (5.8) с начальными услови-
ями (5.11) имеет вид x
=cosτ.
0
Поскольку
1
cos
3
(3 cos τ +cos3τ),
τ =
4
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]