Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы асимптотического анализа и синтеза в нелинейной динамике и механике деформируемого твердого тела
.pdf
ГЛАВА 2
Регулярные асимптотические
разложения
2.1. Методы возмущений и итераций
Далее нам потребуются некоторые факты из линейной алгебры и теории дифференциальных уравнений. Матрица A называется самосопряжен-
ной, если она равна своей сопряженной A
чается из исходной транспонированием с последующим комплексным сопряжением. Самосопряженные матрицы играют среди всех матриц роль,
аналогичную роли действительных чисел среди всех комплексных, так как
всякую матрицу можно представить в виде A = A
самосопряженные матрицы, i — мнимая единица.
Если A — самосопряженная матрица, то для любых векторов x , y порядка n справедливо равенство
(Ax , y )=(x,Ay ), (1.1)
где символ (...,...) означает скалярное произведение.
Самосопряженные матрицы имеют только действительные собственные значения. Равенство (1.1) служит основой для определения самосопряженности оператора. Пусть, например, заданы обыкновенное дифференциальное уравнение (для дифференциальных уравнений в частных производных определение аналогично)
∗
. Сопряженная матрица полу-
+ iA2,гдеA1, A2—
1
L(y) − λM(y)=0 (1.2)
и однородные краевые условия
(y)
Q
i
=0,i=1, 2, (1.3)
x=x
0i
32 ГЛАВА 2
где
0
0
+ ...+ c
y,
y,
(i)
1
dx
+ c
(i)
0
y при x
≡const.
0i
d
L(y)=a
M(y)=b
Q
(y)=c
i
n
m
(i)
n−1
d
dx
dx
n
+ a
n
m
d
+ b
m
n−1
d
n−1
dx
n−1
m−1
+ c
d
dx
dx
(i)
n−2
n−1
n−1
m−1
d
m−1
+ ...+ a
+ ...+ b
n−2
d
n−2
dx
Введем так называемую пробную функцию u(x), удовлетворяющую
заданным краевым условиям (1.3). Краевая задача (1.2), (1.3) называется
самосопряженной, если
b
[uL(v) − vL(u)]dx =0,
a
b
[uM(v) −vM(u)]dx =0 (1.4)
a
для любых пробных функций u(x), v(x).
Самосопряженность линейного дифференциального оператора легко
проверить интегрированием по частям. Например, докажем самосопряженность краевой задачи, описывающей потерю устойчивости сжатого шарнирно опертого стержня (рис. 1.1):
EIw
при x =0,L w= w
+ Twxx=0,
xxxx
xx
=0,
(1.5)
где E —модульЮнга,I — момент инерции поперечного сечения стержня,
T — сжимающее усилие.
Рис. 1.1. Сжатый шарнирно опертый стержень
2.1. МЕТОДЫ ВОЗМУЩЕНИЙ И ИТЕРАЦИЙ 33
Нетрудно показать, что для данного случая
L
0
4
v
d
− v
u
4
dx
Аналогично можно показать самосопряженность оператора d
d
dx
4
u
4
dx =0.
2
/dx2.
Перейдем к построению асимптотических решений. В качестве простейшей задачи рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений
+ εA1) x = b, (1.6)
(A
0
, A1— матрицы n × n, x , b — n-мерные векторы, 0 <ε 1.
где A
0
Решение уравнения (1.1) ищем в виде
x = x
+ εx1+ ε2x2+ .... (1.7)
0
Подставляя асимптотическое разложение (1.7) в исходное уравнение (1.6) и приравнивая члены при одинаковых степенях ε, имеем
= b, (1.8)
A
0x0
A
= −A1x0, (1.9)
0x1
A
= −A1x1, (1.10)
0x2
...............
Уравнение (1.8) называется невозмущенным (порождающим, предельным, уравнением нулевого приближения). Дальнейшее построение существенно зависит от того, разрешимо ли уравнение (1.8).Еслисуществует
обратная матрица A
−1
, то уравнения (1.8), (1.9), (1.10), ... решаются без
0
труда:
−1
= A
x
0
0
Если же det A
b, x1= −A
=0, то предельное уравнение (1.8) разрешимо не
0
−1
A1x0, x2= −A
0
−1
A1x1, ....
0
для всякого x . Тогда собственное значение λ =0является точкой спектра
оператора A
[46, 47] (говорят, что вырожденная задача лежит на спектре)
0
и построение асимптотики изменяется. Рассмотрим случай, когда λ =0является простым корнем характеристического уравнения. Тогда однородное
уравнение
=0
A
0x0
34 ГЛАВА 2
имеет лишь одно, с точностью до числового множителя, ненулевое решение x
также имеет только одно решение z
. Сопряженное однородное уравнение
10
∗
z =0
A
0
.
1
Разложение по ε решения уравнения (1.6) ищем в виде
C
0x10
+(x
x =
ε
+ C1x10)+ε(x1+ C2x10)+ε2(x2+ C3x10)+.... (1.11)
0
Подставляя разложение (1.11) в уравнение (1.6), получаем в первом
приближении
+ C0A1x10= b. (1.12)
A
0x0
Умножая скалярно уравнение (1.12) на вектор z
ную C
:
0
=
C
0
(A1x10, z1)
(b, z
)
1
.
, получаем постоян-
1
Далее процесс рекуррентно продолжается.
При n-кратном собственном значении λ =0 необходимо сначала построить присоединенные собственные векторы. Напомним, что векторы x
, i =1, 2,...,n, образуют цепочку Жордана длины n,если
i0
A
=0,
0x10
A
0xi0
= x
,i=1, 2,...,n,
(i−1)0
а уравнение
x = x
A
0
n0
неразрешимо. Вектор xi0называется присоединенным собственным вектором i-го порядка. После построения присоединенных векторов решение
уравнения (1.6) ищется в виде
x =
+(x
+ ε
C
0x10
+
n
ε
+ C1xn0+ C2x
0
n−1
(x
n−1
C
+ C
1x20
n−1xn0
+ C0x
n−1
ε
n−1,0
10
0xn0
+
+ C1x
C
+ ...+ Cnx10)+...+
+ Cnx
n−1,0
+ ...+ C
n−1,0
2n−1x10
+ ...+ C
ε
)+....
n−1x10
+
Построив решение сопряженного уравнения и найдя сопряженные
присоединенные векторы, можно использовать описанную выше процедуру. В итоге для определения n неизвестных C
0,C1
,...,C
получается
n−1
2.1. МЕТОДЫ ВОЗМУЩЕНИЙ И ИТЕРАЦИЙ 35
разрешимая система n линейных алгебраических уравнений; далее процесс
рекуррентно продолжается.
Теперь рассмотрим продольную деформацию стержня переменной
жесткости EF (рис. 1.2), описываемую уравнением
d
dx
EF
du
= q (1.13)
dx
и краевыми условиями
u =0 при x =0,L. (1.14)
Рис. 1.2. Стержень переменной жесткости
Пусть EF = E0F0+ εE0F1(x),гдеE0, F0≡ const, 0 <ε 1.
Представим решение краевой задачи (1.13), (1.14) ввидеряда
u = u
+ εu1+ ε2u2+ .... (1.15)
0
Подставляя ряд (1.15) в уравнение (1.13) и собирая члены при одинаковых степенях ε, получаем следующую рекуррентную систему уравнений
и краевых условий:
d2u
= −
0
= q, (1.16)
2
dx
dx
d
du
0
F
, (1.17)
1
dx
E
0F0
d2u
1
F
0
2
dx
...........................
При x =0,L имеем следующие краевые условия:
=0, (1.18)
u
0
u
=0, .... (1.19)
1
36 ГЛАВА 2
Решения краевых задач (1.16), (1.18) и (1.17), (1.19) таковы:
qx
=
u
0
⎡
x
q
u
= −
1
2E0F
⎣
F1(2x − L) dx −
2
0
0
2E0F
(x − L),
0
x
L
L
F1(2x − L) dx
0
⎤
⎦
, ....
Обобщение на дифференциальные уравнения в частных производных
не представляет труда. Отметим лишь, что и в этом случае существенно,
лежит ли задача на спектре [46, 47]. Рассмотрим для примера краевую задачу
Mu+ εNu = f (x),u=0 при x =0,L, (1.20)
где M , N — некоторые дифференциальные операторы второго порядка, при
этом точке λ =0отвечает только одна (с точностью до числового множителя) собственная функция u
однородной краевой задачи
10
Mu =0,u=0 при x =0,L.
Пусть теперь v
дачи
— собственная функция сопряженной однородной за-
0
∗
v =0,v=0 при x =0,L.
M
Решение краевой задачи (1.20) будем искать в виде
C
0u10
u =
+(u
+ C1u10)+ε(u1+ C2u10)+ε2(u2+ C3u10)+....
ε
0
В первом приближении получаем
+ C0Nu10= f(x),u0=0 при x =0,L.
Mu
0
Умножая это уравнение на функцию v
, интегрируя в переделах от 0
0
до L и учитывая граничные условия, получаем постоянную C
L
f(x)v0dx
0
=
C
0
L
.
Nu10v0dx
0
Далее процесс продолжается рекуррентно.
:
0
2.2. ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 37
Обсудим связь между асимптотическими методами и методом последовательных приближений. Каждый из них имеет свои преимущества
и недостатки, поэтому иногда их выгодно использовать совместно. В частности, при использовании итераций не нужно угадывать вид асимптотической последовательности, однако возникает проблема выбора начального приближения. Асимптотические методы дают лучшее представление
о структуре искомой функции и, следовательно, лучше приспособлены для
использования методов суммирования и интерполяции. Итерационные процедуры легко алгоритмизуемы и реализуемы численно.
2.2. Задачи на собственные значения
Рассмотрим задачу на собственные значения для системы линейных
алгебраических уравнений, содержащей малый параметр ε:
+ εA1− λE)x =0, (2.1)
(A
0
где E — единичная матрица.
Матрица A
+ εA1) не обязательна. При решении задач на собственные значения
(A
0
наряду с разложением искомого собственного вектора x врядпоε раскладывается и собственное число λ:
— самосопряженная, самосопряженность матрицы
0
x = x
λ = λ
+ εx1+ ..., (2.2)
0
+ ελ1+ .... (2.3)
0
Пусть собственная задача не лежит на спектре. Тогда, подставив разложение (2.2), (2.3) в исходную систему (2.1), имеем после расщепления по ε
(A
− λ0E)x0=0, (2.4)
0
(A
− λ0E)x1= λ1x0− A1x0, (2.5)
0
A
− λ0x2= −A1x1+ λ1x1+ λ2x0, (2.5a)
0x2
A
− λ0x3= −A1x2+ λ1x2+ λ2x1+ λ3x0, (2.5b)
0x3
...............................................
Невозмущенная задача имеет n собственных чисел λ
собственных векторов x
. Пусть сначала все собственные числа различ-
0i
ны. Попробуем найти поправку к собственному числу λ
det(A
− λ0E)=0, для того чтобы неоднородное уравнение (2.5) имело
0
истолькоже
0i
.Поскольку
0i
38 ГЛАВА 2
решение, нужно, чтобы его правая часть была ортогональна собственным
векторам левой части. Умножив все члены уравнения (2.5) скалярно на
вектор x
,получим
0
(x
, (A0− λ0E)x1)=λ1|x0|2− (A1x0, x0). (2.6)
0
В силу самосопряженности матрицы (A
(x
, (A0− λ0E)x1)=(x1, (A0− λ0E)x0)=0. (2.7)
0
Тогда поправка к собственному значению λ
образом: λ
ставить λ
=(A1x0, x0)/|x0|2.Вместоλ0, x0можно последовательно под-
1
, x0iи получить поправки ко всем собственным значениям.
0i
− λ0E) имеем
0
выражается следующим
0
Рассмотрим теперь краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения
M
(y)+εM1(y)=λ [N0(y)+εN1(y)] (2.8)
0
с граничными условиями (1.3).
Здесь M
док операторов M
, M1, N0, N1— дифференциальные операторы, причем поря-
0
, N1не выше порядка операторов M0, N0.Крометого,
1
предполагаем, что невозмущенная краевая задача
(y)=λN0(y)(2.9)
M
0
с граничными условиями (1.3) самосопряжена (для возмущенной задачи
самосопряженность не требуется). Собственное значение λ и соответствующую собственную функцию y представим в виде
λ = λ
Пусть сначала λ
+ ελ1+ ..., y = y0+ εy1+ .... (2.10)
0
— простое собственное число вырожденной задачи.
0
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ε, получаем
M
)=λ0N0(y0), (2.11)
0(y0
Q
)=0 при x = ai,i=1, 2, (2.12)
i(y0
M
) − λ0N0(y1)=−M1(y0)+λ1N1(y0), (2.13)
0(y1
Q
)=0 при x = ai,i=1, 2, (2.14)
i(y1
...........................................
2.2. ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 39
Как и для системы линейных алгебраических уравнений, используем самосопряженность невозмущенной задачи. Умножая уравнение (2.13)
, интегрируя по всей области и замечая, что
на y
0
b
[M0(y1) − λ0N0(y1)] y0dx =0, (2.15)
a
получаем первую поправку к собственному числу λ
(M
λ
=
1
),y0) − λ0(N1(y0),y0)
1(y0
(N0(y0),y0)
:
0
. (2.16)
Далее легко найти первую поправку к собственной форме, затем λ
ит.д.
y
2
В качестве еще одного примера рассмотрим влияние собственной массы вертикально расположенного шарнирно опертого стержня на критические усилия осевого сжатия
(рис. 2.1) [101].
Исходное уравнение:
2
+T
d
dx
w
2
=0. (2.17)
dw
x
dx
EI
d
dx
4
w
+ρgF
4
d
dx
Граничные условия имеют вид (1.5).Перепишем уравнение (2.17) и краевые условия (1.5) в безразмерном виде:
4
d
dξ
где ξ =
w
d
+ ε
4
dξ
d
w =
dξ
πx
, T =
L
2
2
+
, ε =
T
d
dξ
ρgT L
dw
ξ
dξ
2
w
=0 при ξ =0,π,
2
TL
EIπ
2
w
=0, (2.18)
2
3
.
3
EIπ
Поскольку для реальных стержней ε 1,
разыскиваем решение поставленной задачи
ввиде
w = w
+ εw1+ ..., T = T0+ εT1+ ....
0
Рис. 2.1. Вертикально расположенный сжатый шарнирно
опертый стержень
,
2
40 ГЛАВА 2
В первом приближении получаем задачу об эйлеровой устойчивости
продольно сжатого шарнирно опертого стержня:
4
d
w
4
dξ
2
w
d
=
w
0
dξ
d2w
0
+ T
0
=0 при ξ =0,π.
2
0
dξ
=0,
2
0
Первая критическая сила T
=1соответствует форме потери устойчи-
0
вости
= Asin ξ0. (2.19)
w
0
Из уравнения первого приближения
dξ
d
4
d
dξ
w
4
1
+ T
0
d2w
dξ
1
= −
2
+ T
1
d2w
dξ
0
2
dw
0
ξ
dξ
определяем первую поправку к критической силе: T1= −1/2π.
Окончательно имеем следующее приближенное значение критической
силы: T ≈ 1 − 0,5επ. Интересно, что использование в данном случае метода Бубнова– Галёркина с одночленной аппроксимацией прогиба (2.19)
приводит к такому же результату [49, с. 139]. Это является отражением отмеченного в [101, с. 407, 408] свойства: «Приближение метода возмущений,
полученное при учете лишь линейного члена, во многих случаях совпадает
с отношением Рэлея или находится в тесной связи с ним».
Перейдем теперь к более сложным случаям кратных собственных значений. Рассмотрим сначала систему линейных алгебраических уравнений.
Пусть невозмущенная задача (2.4) имеет k-кратное собственное значение λ
и попарно ортогональные собственные векторы e1, e2,...,ek,от-
0
вечающие этому собственному значению. Для возмущенной задачи, вообще говоря, произойдет «расщепление» k-кратного собственного значения. Действительно, пусть, например, A
= E,аA1— некоторая само-
0
сопряженная матрица с попарно различными собственными значениями
,...,λk. Тогда невозмущенная задача имеет k-кратное собственное
λ
1,λ2
значение, равное 1, а возмущенная — k различных собственных значений
ε, 1+λ2ε,...,1+λkε.
1+λ
1
Представим теперь возмущенные значения собственного числа и собственного вектора в виде (2.2), (2.3). Видно отличие от случая некратных
собственных значений: не ясно, что представляет собой вектор x
.Онбудет
0
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]