Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы асимптотического анализа и синтеза в нелинейной динамике и механике деформируемого твердого тела
.pdf
2.7. ГОМОТОПИЧЕСКИЙ МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ 61
реннего резонанса между модами собственных колебаний. Решая систему (7.12) описанным методом, находим
=0,m,n=1, 2, 3,...,
A
m,n
(m, n) =(1, 1), (m, n) =(2i − 1, 2i −1),i=1, 2, 3,...,
A
= −4,5662 · 10−3A
3,3
ω
,A
1,1
=0,211048A
1
=2,1139 · 10−5A
5,5
2
/ω0.
1,1
1,1
(7.15)
,...;
Для собственных колебаний в нулевом приближении по ε одновременно реализуются все нечетные «диагональные» моды (1, 1), (3, 3), (5, 5)
и т.д. При этом если первоначально колебания возбуждаются по одной из
высших мод, то в результате перераспределения энергии появляются моды
низших порядков вплоть до основного тона (1, 1).
Остановимся еще на следующем вопросе. В настоящее время популярными стали различные варианты так называемого нелинейного метода
Галёркина [286, 309, 322, 361]. Возможно, эти методы было бы правильнее называть нелинейными методами Канторовича, поскольку речь идет
о сведении исходных дифференциальных уравнений в частных производных к бесконечным системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Напомним, что метод Канторовича представляет собой вариант метода
Бубнова– Галёркина для решения дифференциальных уравнений в частных
производных, когда искомые функции аппроксимируются только по одной
переменной. Тогда коэффициенты такого разложения зависят от другой переменной, и для их определения получается бесконечная система обыкновенных дифференциальных уравнений [90].
Покажем, что нелинейные методы Бубнова– Галёркина можно трактовать с единой точки зрения, применяя гомотопический метод возмущений.
Пусть в результате примения вариационного метода получилась бесконечная система обыкновенных дифференциальных уравнений
+ f (u, w)=0, (7.16)
u
t
w
+ F (u, w)=0, (7.17)
t
где u — n-мерный вектор; w — вектор бесконечной размерности.
Обычный метод усечения сводит бесконечную систему уравнений (7.16), (7.17) к конечной:
+ f (u0, 0) = 0. (7.18)
u
0t
62 ГЛАВА 2
Теперь введем параметр μ всистему(7.17) следующим образом [322,
361]:
+ F (u, w)=0.
μw
t
При μ =0получаем n обыкновенных дифференциальных уравнений
и бесконечную систему нелинейных алгебраических уравнений
u
+ f (u, w)=0, (7.19)
t
F (u, w)=0. (7.20)
Найденный из уравнений (7.20) вектор w(u) подставляется в систему (7.19). Описанный прием позволяет приближенно учесть высшие формы колебаний.
В другом варианте нелинейного метода Галёркина (post-processed Galerkin method [286, 309]) параметр μ можно ввести следующим образом:
u
+ f (u,μw)=0,
t
μw
+ F (u, w)=0.
t
При μ =0получаем систему (7.18). Далее из системы
F (u
, w0)=0
0
определяем w
и решаем систему первого приближения
0
u
+ f (u1, w0)=0.
1t
2.8. Метод малых дельта
В статьях [235, 236] был предложен весьма эффективный метод малых δ, который мы поясним на примерах. Построим периодическое решение задачи
x
+ x3=0, (8.1)
tt
x(0) = 1,x
Введем искусственный малый параметр δ в уравнение (8.1) таким образом:
x
+ x
tt
(0) = 0. (8.2)
t
1+2δ
=0. (8.3)
2.8. МЕТОД МАЛЫХ ДЕЛЬТА 63
В окончательном выражении следует положить δ =1, однако в про-
цессе решения считаем δ 1.Тогда
2δ
x
=1+δ ln x2+0,5δ2(ln x2)2+ .... (8.4)
Представим далее решение уравнения (8.1) ввиде
∞
x =
k=0
δkx
k
(8.5)
и произведем замену независимой переменной
t = τ/ω, (8.6)
2
=1+α1δ + α2δ2+ ....
где ω
Постоянные α
(i =1, 2,...) подлежат определению в процессе реше-
i
ния задачи.
После подстановки соотношений (8.4)–(8.6) в уравнение (8.3) и расщепления по δ получим следующую рекуррентную последовательность
краевых задач:
x
+ x0=0, (8.7)
0ττ
(0) = 1,x0τ(0) = 0; (8.8)
x
0
2
) − α1x
0
2
))2− α2x
0
, (8.9)
0ττ
0ττ
− α1x
, (8.11)
1ττ
x
+ x2= −x1ln(x
2ττ
x
+ x1= −x0ln(x
1ττ
(0) = x1τ(0) = 0; (8.10)
x
1
2
) − 2x1− x0(ln(x
0
(0) = x2τ(0) = 0; (8.12)
x
2
....................
Краевая задача нулевого приближения (8.7), (8.8) имеет решение
x
=cosτ.
0
В первом приближении получаем
x
+ x1= −cos τ ln(cos2τ)+α1cos τ ≡ L0.
1ττ
64 ГЛАВА 2
Для того чтобы в решении краевой задачи (8.13), (8.10) отсутствовали
секулярные члены, поставим условие
π/2
L0cos tdt =0,
0
из которого определяется постоянная α
=1−2ln2.
1
Выражение для периода колебаний можно представить в виде
T =2π [1 + δ(ln 2 −0,5)].
При δ =1получаем T =6,8070, тогда как точное значение T =7,4164
(погрешность приближенного решения составляет 8,2%).
Решение краевой задачи следующего приближения (8.11), (8.12) дает
значение периода, практически совпадающее с точным (T =7,4111).
Рассмотрим теперь волновое уравнение
= u
u
tt
xx
с нелинейными граничными условиями
u(0,t)=0, (8.14)
(1,t)+u(1,t)+u3(1,t)=0. (8.15)
u
x
Введем параметр δ в уравнение (8.15) следующим образом:
u
(1,t)+u(1,t)+u
x
1+2δ
(1,t)=0. (8.16)
В окончательном выражении следует положить δ =1, однако в про-
цессе решения считаем δ 1.Тогда
2
ln u
2
2
+ .... (8.17)
3
1+2δ
≡ u
u
= u1+δ ln u2+
δ
2
(8.13)
Представим далее решение уравнения (8.13) ввиде
∞
u =
δkuk. (8.18)
k=0
2.8. МЕТОД МАЛЫХ ДЕЛЬТА 65
После подстановки соотношений (8.18), (8.6) в исходную краевую задачу (8.13), (8.14), (8.16) и расщепления по параметру δ приходим к следующей рекуррентной последовательности краевых задач:
= u
;(8.19)
0xx
=0; (8.20)
0
+2u0=0; (8.21)
0x
1
α
i−pupττ
p=0
=0; (8.23)
1
+2u1= −u0ln u
2
α
i−pupττ
p=0
=0; (8.26)
2
2
− 2u1− 0,5u0(ln u
0
;(8.22)
2
;(8.24)
0
;(8.25)
2
)2;(8.27)
0
при x =1 u
u
при x =0 u
при x =1 u
u
= u
0ττ
0xx
при x =0 u
при x =1 u
u
= u
0ττ
0xx
при x =0 u
+2u2= −u1ln u
2x
0ττ
−
1x
−
..................................
Здесь α
0
=0.
Решение краевой задачи нулевого приближения (8.19)–(8.21) можно
представить в виде
= Asin(ω0x)sin(ω0τ), (8.28)
u
0
где частота ω
определяется из трансцендентного уравнения
0
= −2tgω0. (8.29)
ω
0
Первые несколько ненулевых значений ω приведены в таблице 8.1.
(k)
При k →∞имеем асимптотику: ω
Таблица 8.1. Несколько первых корней трансцендентного уравнения (8.29)
(1)
(2)
ω
ω
0
(3)
ω
0
0
2,289 5,087 8,096 11,173 14,276 17,393 20,518 23,646 26,778 29,912
(4)
ω
0
(5)
ω
0
→ 0,5π(2k +1).
0
(6)
ω
0
(7)
ω
0
(8)
ω
0
(9)
ω
ω
0
0
(10)
66 ГЛАВА 2
Соотношения первого приближения таковы:
u
1xx
− u
1ττ
= α1Aω
2
0
при x =0 u
при x =1 u
+2u1=A1sin(ω0τ)ln(A2sin2ω0)+ln(sin2ω0τ), (8.32)
1x
sin(ω0x)sin(ω0τ); (8.30)
=0; (8.31)
1
где A
= −Asin ω0.
1
Частное решение уравнения (8.30), удовлетворяющее граничному
условию (8.31), имеет вид
(1)
= −0,5α1Aω0x cos(ω0x)sin(ω0τ). (8.33)
u
1
Подберем постоянную α
таким образом, чтобы компенсировать резо-
1
нансное слагаемое в правой части уравнения (8.32):
где R
=ln(0,25eA2sin2ω0).
1
α
=2R
1
#
ω
1
0
(6 + ω
2
),
0
Нерезонансные гармоники в правой части уравнения (8.32) дают решение
(2)
=4A
u
1
=1/ [kω0cos(kω0)+2sin(kω0)].
где T
k
∞
Tksin(ω0kx)sin(ω0kτ)
1
k=2
1
, (8.34)
k2− 1
Полное решение первого приближения имеет вид
(1)
= u
u
1
(2)
+ u
1
.
1
При построении второго приближения перепишем правую часть граничного условия (8.27), используя соотношение (8.24),ввиде
u
+2u2= −2u1− 0,5u1xln u
2x
2
при x =1. (8.35)
0
Выделим в правой части граничного условия (8.35) резонансную гармонику
u
+2u2= −R2sin ω0τ + ϕ(τ) при x =1, (8.36)
2x
где R
T
= Aω0sin ω0[α1ctg ω0+0,5(ω0−ctg ω0)R1+R3], R3=4
2
2
= k2/(k2− 1) [kω0+2tg(kω0)]
k
,черезϕ(τ ) обозначена сумма нере-
зонансных гармоник.
k=3,5,...
Tk,
2.8. МЕТОД МАЛЫХ ДЕЛЬТА 67
Построим частное решение уравнения (8.36), удовлетворяющее граничному условию (8.23), для резонансной правой части:
(1)
= −0,5Asin(ω0τ)xω
u
2
α
cos(ω0x)+α
0
2
2
sin(ω0x). (8.37)
1
Постоянная α
подбирается из условия отсутствия резонансных чле-
2
нов в правой части краевого условия (8.34). В результате получаем
2
(tg ω0+ ω0)+α1(2 − R1)+tgω0(α1ω0+2R3)
α
1
=
α
2
ω0tg ω0− 3
.
Таким образом, с точностью до членов третьего порядка малости по δ
искомую частоту колебаний можно представить в виде
∼
ω
ω
=
1+α1δ + α2δ2. (8.38)
0
Полагая δ =1, получаем решение исходной задачи (8.13)–(8.15).
Рассмотрим еще уравнение Шрёдингера [247]
− x2Nψ + Eψ =0, (8.39)
ψ
xx
ψ(±∞)=0. (8.40)
Здесь ψ — волновая функция, E — энергия, играющая роль собственного
значения.
Показано, что задача на собственные значения (8.40), (8.41) имеет дискретный счетный спектр E
, n =0, 1, 2,... [182].
n
При N =2краевая задача (8.40), (8.41) имеет точное решение. Пусть
теперь N мало отличается от 1, N =1+δ, δ 1:
2+2δ
− x
ψ
xx
ψ + Eψ =0. (8.41)
Используя разложение
2δ
=1+δ ln(x2)+...,
x
разыскиваем собственную функцию ψ и собственное значение E ввиде
рядов
ψ = ψ
E = E
+ δψ1+ δ2ψ2+ ..., (8.42)
0
+ δE1+ δ2E2+ .... (8.43)
0
68 ГЛАВА 2
В результате асимптотического расщепления получаем рекуррентную
последовательность задач на собственные значения:
ψ
− x2ψ0+ E0ψ0=0, (8.44)
0xx
− x2ψ1+ E0ψ1+ E1ψ0= x2ψ0ln(x2), (8.45)
ψ
1xx
...........................................
|ψ
|→0 при |x|→∞,i=1, 2, 3,.... (8.46)
i
Решение задачи на собственные значения (8.44), (8.46) имеет вид
где H
(n)
E
=2n +1; ψ
0
(x) — функции Струве [185, гл. 12].
n
(n)
0
= e
−x2/2
Hn(x),n=0, 1, 2,...,
Из задачи на собственные значения (8.45), (8.46) находим
∞
−∞
(n)
E
=
1
x2e
−x
2
H
√
π2nn!
2
(x)ln(x2) dx
n
.
Для n =0имеем H
∞
−∞
(x)=1и
0
x2ln xe
−x
2
dx =
√
π
(2 − 2ln2− C),
8
где C =0,577215... — константа Эйлера.
Отсюда
(0)
E
=1+
0
1
(2 − 2ln2− C)δ + .... (8.47)
16
2.9. Метод больших дельта
Альтернативным методу малых дельта является метод больших дельта,
который мы продемонстрируем на примере нелинейного уравнения
x
+ xn=0,n=3, 5, 7,.... (9.1)
tt
Это уравнение может быть проинтегрировано при помощи функций Cs
и Sn, введенных Ляпуновым [85, 123] (обращений неполных бета-функций [178]). Отметим, что много позднее аналогичные (с точностью до нормировки) функции были предложены Розенбергом, который назвал их
2.9. МЕТОД БОЛЬШИХ ДЕЛЬТА 69
Ateb-функциями [350, 351]. Однако работать с указанными объектами
неудобно, в связи с чем возникает задача приближенного аналитического
решения уравнения (9.1) в элементарных функциях. Будем строить асимптотики периодических решений уравнения (9.1) при n →∞. В проведен-
ных ранее исследованиях [158, 159, 343–345] соответствующий предельный
переход выполнен прямо в уравнении, что приводит к замене исходной системы виброударной и, как следствие, негладкости решений и неизменности периода. Ниже выполнен предельный переход в решении, что позволяет
обеспечить его гладкость.
Пусть начальные условия для уравнения (9.2) таковы:
x(0) = 0, ˙x(0) = 1. (9.2)
Первый интеграл задачи Коши (9.1), (9.2) может быть записан так:
n+1
=1−
2x
. (9.3)
n +1
Замена x = λ
2
p
−λ/2
ξ, λ =2/(n +1)и интегрирование позволяют свести
выражение (9.3) квиду
0ξ1
λ/2
t =
λ
0
Это неявное решение после замены ξ =sin
dξ
1 − ξ
.
2/λ
λ
θ переходит в выражение, содержащее малый параметр в показателе степени подынтегрального
выражения:
0θπ/2
λ/2
λ
t = λ
0
sin
−1+λ
θdθ.
Рассмотрим отдельно подынтегральное выражение
sin
−1+λ
θ = θ
−1+λ
θ
sin θ
1−λ
= θ
−1+λ
θ
sin θ
− λ ln
θ
sin θ
+ ....
Раскладывая функцию θ/sin θ в ряд Маклорена, имеем
−1+λ
sin
−1+λ
θ = θ
−1+λ
θ
+
+ ...+ O(λ).
3!
70 ГЛАВА 2
Основной вклад при интегрировании вносит первый член данного вы-
ражения, поэтому в первом приближении λ
λ/2
t ≈ θλ,тоестьθ ≈ λ
1/2t1/λ
В исходных переменных имеем
x ≈ λ
−λ/2
sin
λ
λ
1/2t1/λ
. (9.4)
Решение (9.4) должно использоваться на четверти периода T исходно-
го решения, далее оно периодически продолжается, при этом
T =4
2λ
λ
π
. (9.5)
1/2
Проанализируем решение (9.4), (9.5).Приn =1получаем точные
значения x =sint, T =2π;приn →∞имеем T → 4. Раскладывая выра-
жение (9.4) врядпоt и ограничиваясь первым членом, получаем негладкое
решение [158, 159]. Оценим погрешность решения (9.5). Для этого используем выражение
π/2
−1+λ
sin
λ
0
θdθ=0,5λB (0,5λ, 0,5) ≡ A1, (9.6)
где B(...,...) — бета-функция [185, гл. 6].
Приближенное значение интеграла в левой части выражения (9.6) таково: A
=(π/2)λ. Численное сравнение величин A1, A2и оценка погреш-
2
ности Δ приведены в таблице 9.1.
.
Таблица 9.1. Сравнение точного и приближенного решений
n 1 3 5 ... ∞
A
A
Δ, % 0 5 3 ... ∼ 0
π/2 1,30 1,20 ... 1
1
π/2 1,25 1,16 ... 1
2
Таким образом, уже первое приближение асимптотики при n →∞
дает вполне приемлемую для практических целей точность даже для не
очень больших значений n.
Отметим, что выражение (9.4) дает единое приближенное выражение
обращения неполной бета-функции [185, гл. 6] от n =1(синус) до n = ∞
(линейная функция).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]