Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы асимптотического анализа и синтеза в нелинейной динамике и механике деформируемого твердого тела
.pdf
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ 11
Kμ(...) — модифицированная функция Бесселя [185, гл. 9]
γ — постоянная Эйлера [185, гл. 6]
γ(...,...) — неполная гамма-функция [185, гл. 6]
δ(...) — дельта-функция Дирака [95]
ζ(x) — дзета-функция Римана [185, гл. 23]
ψ(...) — пси-функция Эйлера [185, гл. 6]
Γ(...) — гамма-функция [185, гл. 6]
Введение
От принципа идеализации к асимптотологии
Творческий процесс, по сути дела, состоит из
двух стадий: полное смешение или разъединение вещей и соединение их в терминах новой
гармонии. Первая стадия предполагает способность художника заставить предмет выделиться из общего ряда.
В. Набоков [144]
Ключевое понятие западной науки — принцип идеализации.Любаяреальная система или явление состоит из большого (часто бесконечного) количества подсистем или менее значимых явлений. Попытка описать их во
всей совокупности заведомо безнадежна, если не уметь «стирать случайные черты». Принцип идеализации был, по-видимому, впервые явно сформулирован Галилеем. Вот как он описал суть науки, которую мы теперь
называем механикой: «Белое или красное, горькое или сладкое, звучащее
или безмолвное, приятно или дурно пахнущее — все это лишь названия
для различных воздействий на наши органы чувств. Никогда не стану я от
внешних тел требовать чего-либо иного, чем величина, фигура, количество
и более или менее быстрые движения, для того, чтобы объяснить возникновение ощущений вкуса, запаха и звука; я думаю, что если бы мы устранили
уши, языки, носы, то остались бы только фигуры, числа, движения, но не
запахи, вкусы и звуки, которые, по моему мнению, вне живого существа
являются не чем иным, как только пустыми именами» [111, c. 130]. А вот
как Галилей смог исследовать движение тел: «Дабы рассмотреть этот вопрос научно, следует отбросить все указанные трудности (сопротивление
воздуха, трение и т.д.) и, сформулировав и доказав теоремы для случая, когда сопротивление отсутствует, применять их с теми ограничениями, какие
подсказывает нам опыт» [54], [97, c. 118]. О нетривиальности подобного
14 ВВЕДЕНИЕ
шага говорит следующее. Наука — изобретение Запада. Восток, которым так
принято сейчас восхищаться, науки не создал. Для классической культуры
Китая или Японии принцип идеализации чужд. Сейчас, конечно, китайцы
и японцы отлично понимают пользу научного взгляда на мир, но на философской базе Востока наука возникнуть не смогла — возникали лишь болееменее изощренные технологии [116]. (Мы не обсуждаем здесь вопрос о том,
хорошо или плохо само по себе появление западной науки, не заведет ли
она человечество в экологический или иной тупик, а только отмечаем факт
ее появления именно в Европе.) Наука началась, когда «античные философы-греки проявили удивительную, совершенно оригинальную способность
видеть мир разделенным на предметы, а предметы — расчлененными на
качества. Нетривиальность этого видения нам трудно оценить по достоинству теперь, когда воспитание в нашей цивилизации в значительной мере
нас к этому приучило. . . . Теоретическое мышление произошло, конечно,
не от тех, кто способен был увидеть связи (religio) в мире вещей и взаимопроникновение в мире понятий, а от тех, кто был способен потрошить,
анатомировать мир, чтобы узнать, что у него внутри, и исследовать текущие понятия как неизменные вещи. Гениальные греки придумали длину
без ширины, пространство без времени, атомы без качеств» [51]. И, конечно, западная наука тесно связано с господствующей в Европе религией,
поскольку «в соответствии с монотеистическим принципом христианство
(независимо от желания воспитуемого) закладывает в сознание принцип
иерархического построения природы, требующий непрерывного достраивания системы взаимосвязанных частей знания вокруг некоего смыслового
центра» [51].
Отсюда, кстати, ясно, что принцип идеализации не входит в число
врожденных понятий человека, ему нужно учить. По нашему мнению, как
в средней, так и в высшей школах не обращается достаточного внимания
на действительно базовые вещи, к которым принадлежит и принцип идеализации. «По утверждению Андронова, Мандельштам считал, что вопросы
идеализации должны занимать фундаментальное место во всяком преподавании физики — как в школьном, так и в университетском. Уже школьник
должен сознавать, что в любой физической теории мы работаем с идеальными моделями реальных вещей и процессов» [172].
Еще раз удивимся гению Галилея, ведь «метод идеализации уводит нас
от реальности, но, как ни парадоксально, именно этот шаг позволяет нам
приблизиться к реальности в большей степени, чем учет всех имеющихся
факторов» [97]. Однако принцип идеализации далеко не всемогущ. Перечи-
ВВЕДЕНИЕ 15
таем Галилея: «. . . Применять с теми ограничениями, какие подсказывает
нам опыт», «отбросить. . . сопротивление воздуха, трение и т. д.». А если
мы хотим учесть эти возмущающие факторы? Дадим слово еще одному гению, П.С. Лапласу, так описавшему метод возмущений: «Самый простой
способ анализа различных возмущений (в движении планет — авт.)заключается в том, чтобы вообразить себе планету, движущуюся по эллипсу,
элементы которого плавно изменяются, и одновременно представить себе, что настоящая планета колеблется вокруг этой воображаемой линии по
очень малой траектории, свойства которой зависят от ее периодических
возмущений» [115, c. 141].
Далее стало понятно, что процесс уточнения можно продолжать. Появился термин асимптотика. Вспомним, что в школьном курсе математики
мы встречались с «асимптотами» — прямыми, бесконечно близко приближающимися к некоторым кривым, когда независимая переменная x стремится к бесконечности. Иными словами, начиная с некоторых значений x,
кривые можно заменить асимптотами, и такое приближение будет тем точнее, чем больше x.Аналогично,асимптотические формулы описывают
данное явление тем точнее, чем меньше (или больше) становятся некоторые
параметры. При этом метод идеализации дает решение в предельных случаях, когда эти параметры в точности равны нулю (или бесконечности). Поиск и использование подобных параметров и составляют одну из главных
задачнауки.Одинизотцовасимптотической математики А. Пуанкаре
писал: «Ученые искали их в двух крайних областях: в области бесконечно
большого и в области бесконечно малого. Их нашел астроном, ибо расстояния между светилами громадны, настолько громадны, что каждое из светил
представляется только точкой; настолько громадны, что качественные различия сглаживаются, ибо точка проще, чем тело, которое имеет форму и качество. Напротив, физик искал элементарное явление, мысленно разделяя
тело на бесконечно малые кубики, ибо условия задачи, которые испытывают медленные непрерывные изменения, когда мы переходим от одной точки
тела к другой, могут рассматриваться как постоянные в пределах каждого
из этих кубиков» [167, c. 290].
Развитие асимптотической математики привело к пониманию того,
что «асимптотическое описание является не только удобным инструментом математического анализа природы, оно имеет фундаментальное зна-
чение» [206]. В итоге Крускал предложил говорить о новой науке — асимптотологии [308]. Дать определение асимптотологии, очертить ее рамки
и пределы применимости непросто. Универсальным, конечно, является
16 ВВЕДЕНИЕ
следующее определение: «Асимптотология есть то, что под ней понимают
люди компетентные» (вспомним сборник «Физики шутят»). Но как быть
людям некомпетентным? Баранцев предложил использовать для описания
асимптотологии триаду точность – локальность – простота [2, 18]. Иными словами, антагонистический конфликт «точность – простота» разрешается через «локальность» — простые асимптотические модели верны лишь
в некотором узком диапазоне изменения параметров.
Асимптотология как отдельная наука находится в процессе становления. В идеале она должна показывать, чем можно пренебречь и как учесть
влияние отброшенного. Асимптотология основывается на существовании
некоторых выделяющихся в системе параметров. «Если бы в Природе не
существовало больших или малых параметров, вся наука свелась бы к утомительному перечислению всего на свете» [366] (перевод наш — авт.).
Однако является ли современная Наука, добившаяся столь поразительных успехов, последним словом в описании Природы? Создатель понятия
«стресс» Г.Селье остро поставил проблему: «Классическое искусство, подобно фотографии, настаивало на принципе детального изображения, в то
время как современное искусство стремится, абстрагируясь от деталей,
оперировать символами, подчеркивая таким образом самое существенное
в предмете. Оба эти принципа представлены в науке. Современная мода,
несомненно, отдает предпочтение проникновению вглубь предмета, наращивая степень точности используемых инструментов. Этот метод чрезвычайно эффективен, но в безудержной погоне за деталями можно потерять
из виду целое» [176].
Сейчас, по-видимому, наступает время синтеза, время наук, претендующих на общий взгляд на мир. Одно время казалось, что такой наукой
станет кибернетика, но безжалостные судьи — время и практика — показали необоснованность ее претензий. Однако свято место пусто не бывает,
и сейчас проходит проверку на прочность синергетика, изучающая явления
самоорганизации [2, 125, 126]. Синергетические эффекты хорошо известны, но лишь недавно появился адекватный математический аппарат, позволяющий описывать эти явления. «Нелинейная революция», кардинально
измененившая методы решения нелинейных задач, позволила синергетике
сделать весомую заявку на право существования (конечно, окончательный
судья здесь — время). Сама по себе нелинейная революция тесно связана
с асимптотологией, технические приемы которой, собственно, и составляют
предмет предлагаемой читателю книги.
ГЛАВА 1
Асимптотические
аппроксимации и ряды
1.1. Асимптотические ряды
Как отмечает Дингл [271], теория асимптотических рядов, дремавшая
в течении десятилетий, последние годы добилась больших успехов. Это
обусловлено пониманием того факта, что успешное применение асимптотических рядов неразрывно связано с использованием определенного метода их суммирования. Ничего удивительного в этом нет: выписывая любой
ряд, нужно отдавать себе отчет, как его суммировать. Очень редко наивная процедура сложения последовательных членов приводит к успеху. При
вычислении даже сходящихся рядов часто приходится прибегать к различным ухищрениям, что уж говорить о расходящихся [208]! Чтобы прояснить
ситуацию, выпишем достаточно общий вид асимптотического ряда, характерного для задач физики и механики [251,252]:
∞
n=1
M
n
ε
n
Γ(n + a), (1.1)
ε
0
где a — обычно целое число, Γ(...) — гамма-функция [185, гл. 6].
Величина ε
фактором. Последовательность M
часто называется сингулантом, Mn— модифицирующим
0
стремится к постоянной при n →∞
n
и дает информацию о медленно меняющейся части функции; постоянная ε
связана с первой особой точкой исходного интеграла или дифференциального уравнения, приводящих к ряду (1.1).
Приведем классическое определение: степенной ряд является асимптотическим рядом функции f (ε), если для фиксированного N идостаточно
0
18 ГЛАВА 1
малого ε>0 справедливо неравенство
ajε
j
∼ Oε
N+1
N+1
» (см. § 1.2).
,
.
0
где символ Oε
f(ε) −
N+1
означает «порядка ε
N
j=0
Иными словами, речь идет о пределе ε → 0, N = N
Ряд (1.1) расходится при ε =0, однако его первые члены при ε ε
убывают экспоненциально быстро. В этом проявляется главная черта
асимптотических рядов, обусловленная игрой убывающих по степенному
закону членов и факториально возрастающих коэффициентов. Оптимальная точность достигается, если ограничиться в разложении наименьшим
членом, при этом погрешность имеет порядок exp(−α/ε),гдеα>0 —постоянная, ε — «малый параметр» асимптотического разложения. Таким образом, обрывая асимптотический ряд на наименьшем члене, мы привносим
экспоненциально малую по отношению к исходной задаче погрешность.
В то же время учет таких экспоненциально малых членов часто важен
с вычислительной точки зрения, поскольку повышает реальную точность
асимптотического решения [153, 168, 243, 244].
Рассмотрим для иллюстрации сказанного функцию Стильтьеса [252]:
∞
S(ε)=
0
exp(−t)
1+εt
dt. (1.2)
Используя равенство
1
1+εt
=
N
j=0
(−εt)j+
(−εt)
1+εt
N+1
, (1.3)
0
после подстановки выражения (1.3) в интеграл (1.2) имеем
∞
(−εj)
∞
exp(−t)(−εt)
0
tjexp(−t) dt + EN(ε), (1.4)
0
N+1
1+εt
dt. (1.5)
где
S(ε)=
E
N
j=0
(ε)=
N
1.1. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЯДЫ 19
Вычисляя интегралы в (1.4) интегрированием по частям, находим
N
S(ε)=
(−1)jj! εj+ EN(ε).
j=0
Если устремить N к бесконечности, то получим расходящийся ряд.
Это и понятно: подынтегральная функция имеет в точке t = −1/ε про-
стой полюс, поэтому разложение (1.3) справедливо только при |t| < 1/ε.
Использование же полученных результатов во всем диапазоне 0 t<∞
неправомерно.
Оценим порядок расходящейся части, представив функцию S(ε) ввиде
1/ε
0
exp(−t)
1+εt
S(ε)=S
(ε)+S2(ε)=
1
Поскольку 1/(1 + εt) 1/2 при t>1/ε, получаем оценку S
dt +
1/ε
∞
exp(−t)
1+εt
dt.
(ε) <
2
< 0,5exp(−1/ε).
Таким образом, имеет место экспоненциальное убывание погрешности
с уменьшением ε — типичная для асимптотических рядов ситуация.
Оценим оптимальное количество членов ряда. Для этого найдем, когда
N+1
член t
exp(−t) вформуле(1.4) будет минимальным. Нетрудно получить
оценку t =1/(N +1).Приt 1/ε имеем расходимость, поэтому оценка
такова: N =[1/ε],где[...] означает целую часть числа.
Оптимально оборванный асимптотический ряд называется суперасимптотикой (superasymptotics [243]). Гиперасимптотика (hyperasymptotics [244]) подразумевает преодоление барьера точности, возникающего при использовании асимптотического ряда. Действительно, после оптимального обрывания исходного асимптотического ряда для повышения
точности решения нужны какие-то другие идеи. Как правило, речь идет
о каком-либо методе суммирования расходящегося ряда [168] (эти вопросы
подробнее рассмотрены в настоящей книге в главах 7–9).
Можно, например, перестроить отрезок ряда
2N
S(ε) ≈
(−1)jj!ε
j=0
j
(1.6)
20 ГЛАВА 1
в аппроксиманту Паде, то есть дробно-рациональную функцию вида
N
N
i=1
j
αjε
, (1.7)
i
βiε
где постоянные α
1+
S(ε) ≈
j=1
1+
, βiподбираются из того условия, чтобы первые 2N +1
j
членов разложения функции (1.7) в ряд Маклорена совпадали с коэффициентами ряда (1.6). Строго показано [55], что последовательность аппроксимаций Паде (1.7) для функции Стильтьеса сходится, причем погрешность
определения S(ε) уменьшается пропорционально exp(−4
N/ε).
Определение асимптотического ряда указывает путь к численной проверке асимптотичности разложений [249]. Пусть, например, есть основание предполагать, что решение U
шения U
(ε),такчто
T
(ε) является асимптотикой точного ре-
a
ВкачествеU
E = U
может выступить численное решение. Для определе-
T
(ε) − Ua(ε)=Kεα.
T
ния α строятся графики зависимости ln E от ln ε для различных значений ε.
Соответствующие зависимости должны быть близкими к линейным, а постоянную α можно определить, используя метод наименьших квадратов.
Выбор ε достаточно тонок: при больших ε трудно заметить асимптотический характер решения, при малых — проблематично получить численное
решение; однако, как правило, эту трудность удается преодолеть. В качестве примера рассмотрим интеграл
∞
−t
e
I(ε)=εe
ε
dt
t
ε
для больших значений ε.Бесконечныйряд
∞
n=0
(−1)nn!
n
ε
I(ε)=
расходится для всех значений ε, однако частные суммы
M
n=0
(−1)nn!
n
ε
(1.8)
I
(ε)=
M
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]