Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы асимптотического анализа и синтеза в нелинейной динамике и механике деформируемого твердого тела
.pdf
3.11. «ИДЕАЛИЗАЦИЯ МСТИТ ЗА СЕБЯ» 121
3.11. «Идеализация мстит за себя»
Несостоятельность отдельных результатов
схематизированных теорий неизбежна; поэтому, встретившись с частичными несоответствиями, нужно спокойно осмыслить границы
применимости теории, а не торопиться с ее
полным осуждением.
Я. Пановко, И. Губанова [155, c. 145]
Приведенные в заголовке слова Л. И. Мандельштама напоминают, что
все используемые в физике модели имеют асимптотическую природу.
Об этом нужно помнить, когда возникает желание учесть в рамках данной модели некоторые дополнительные эффекты. Нельзя, конечно, просто
вписать соответствующие члены в исходные уравнения — они вполне могут оказаться меньше отброшенных. В качестве поучительного примера
рассмотрим приближение Кирхгофа в нелинейной теории колебаний балок [92, 96]. Запишем исходные уравнения в виде
2
∂
ρF
∂t
где M = EIκ, T = EF
∂u
∂x
Граничные условия примем в виде
u =0 при x =0,L, (11.3)
2
w
w =0,
∂
∂x
2
Если отбросить продольную инерцию в уравнении (11.2), то получаем
∂u
+0,5
∂x
Интегрирование соотношения (11.5) с учетом граничных условий (11.3)
приводит к выражению
C =
2
w
2
+
ρF
+0,5
∂
∂t
∂
∂x
2
M
∂
(Tθ)=0, (11.1)
−
2
∂x
u
∂T
−
2
=0, (11.2)
∂x
2
∂w
∂x
, κ =
∂θ
∂x
, θ =
∂w
∂x
.
=0 при x =0,L. (11.4)
2
∂w
= C ≡ const. (11.5)
∂x
L
1
2L
0
∂w
∂x
2
dx,
122 ГЛАВА 3
и уравнение (11.1) принимает вид
L
ρF
∂
∂t
2
w
2
+ EI
∂
∂x
4
w
4
EF
−
2L
0
∂w
∂x
2
2
w
∂
dx
=0. (11.6)
2
∂x
Уравнение (11.6) описывает приближенное уравнение, за которым
в литературе укоренилось название «модель Кирхгофа». Интересно, что
в оригинальной работе Кирхгофа [96, лекция 29, § 7] уравнение (11.6) от-
сутствует. Кирхгоф, наряду с отбрасыванием в уравнении (11.2) продоль-
ной инерции, опускал также и второй член в уравнении (11.1),такчто
оригинальное «уравнение Кирхгофа» имеет вид
L
ρF
∂
∂t
2
w
2
EF
−
2L
0
∂w
∂x
2
2
w
∂
dx
=0. (11.7)
2
∂x
Таким образом, выражение «гипотеза Кирхгофа», под которой обычно
понимают пренебрежение только продольной инерцией, не совсем точно,
однако в силу его общепринятости не будем нарушать традицию. Приближение Кирхгофа, предложенное более 100 лет назад, по-прежнему играет
важную роль в теории нелинейных колебаний балок. В связи с этим определение пределов его применимости важно как с теоретической, так и с практической точки зрения. Между тем трудно вспомнить другое приближение,
с которым связано такое количество недоразумений. Часть из них обусловлена тем, что некоторые авторы забывают: уравнение (11.6) верно только
при граничных условиях (11.3). В результате в литературе часто появляется уравнение (11.6) с добавкой, учитывающей сжимающее усилие (что
может быть только в случае, если на торцах стержня заданы не продольные
перемещения, а продольные усилия)! Другая распространенная ошибка —
введение в уравнение (11.6) некоторых «уточняющих» членов без сравнения их порядков с порядком отброшенной продольной инерции.
Для оценки области применимости уравнения Кирхгофа приведем
уравнения (11.1), (11.2) к безразмерной форме:
∂
∂τ
2
W
4
W
∂
+
2
∂ξ
4
∂U
∂
−
∂ξ
∂2U
2
α
∂τ
∂ξ
2
∂
−
2
∂ξ
+0,5
U
2
=0,5
2
∂W
∂ξ
∂W
∂
∂ξ
∂ξ
∂W
=0, (11.8)
∂ξ
2
, (11.9)
3.11. «ИДЕАЛИЗАЦИЯ МСТИТ ЗА СЕБЯ» 123
где W = w/h, U = uL/h2, ξ = x/L, τ =√EIt/
√
ρF L, h =(I/F)
1/2
α = h/L.
Величина α играет роль малого параметра. Если изменяемости искомого решения по пространственной и временной координатам невелики,
то из (11.9) видна возможность пренебречь продольной инерцией. Отсюда же, кстати, видна и необоснованность оригинального «уравнения Кирхгофа» (11.7).
Предположим теперь, что изменяемость решения по пространственной координате увеличивается. Из уравнения (11.8) видно, что изменяемость по временной координате растет пропорционально квадрату изменяемости по пространственной координате. Поэтому члены в левой части
уравнения (11.9) будут иметь один и тот же порядок, если изменяемость
−1
по пространственной координате ∼ α
. Это и есть искомое ограничение.
Следовательно, применять уравнение (11.6) при любой изменяемости по
пространственной координате нельзя.
,
ГЛАВА 4
Метод динамического краевого эффекта
4.1. Линейные колебания стержня
Проиллюстрируем метод на задаче, имеющей точное решение. Рассмотрим собственные колебания стержня длиной L, которые описываются
дифференциальным уравнением в частных производных:
4
∂
w
∂x
Пусть имеют место два варианта закрепления концов стержня:
а) шарнирное опирание:
при x =0,L w =0,
б) жесткое защемление:
∂2w
2
+ a
4
=0,a2=
2
∂t
ρF
. (1.1)
EI
2
∂
w
=0; (1.2)
2
∂x
при x =0,L w =0,
∂w
=0. (1.3)
∂x
Поскольку рассматриваются собственные колебания, можно представить искомую функцию w(x, t) ввиде
w(x, t)=W (x)exp(iωt).
Уравнение для собственной функции W (x) имеет вид
4
d
W
− a2ω2W =0. (1.4)
4
dx
Отметим, что при ω
2
→∞уравнение (1.4) превращается в тривиаль-
ное, поэтому применение метода пограничных функций или сращиваемых
асимптотических разложений затруднительно.
126 ГЛАВА 4
Решение уравнения (1.4) с граничными условиями (1.2) не представ-
ляет труда:
mπ
W
ω
m
m
=sin
1
=
a
x,m=1, 2, 3,...;(1.5)
L
2
mπ
. (1.6)
L
Легко убедиться, что краевая задача (1.3), (1.4) уже не допускает решений вида (1.5). Однако если собственная функция быстро осциллирует по x
(то есть рассматривается достаточно высокая форма колебаний), то можно
надеяться, что и в этом случае решение вида (1.5) справедливо для внутренней области, достаточно удаленной от границ (рис. 1.1). Краевым условиям
такое выражение не удовлетворяет, однако если удастся построить решение,
компенсирующее невязки на границе и быстро затухающее при удалении
во внутреннюю область, то можно получить приближенные выражения для
собственных функций и частот.
Рис. 1.1. Линия 1 отвечает основному быстро осциллирующему состоянию, 2 —
сумме динамического краевого эффекта и основного состояния
Запишем решение уравнения (1.4) ввиде
π(x − x
=sin
W
0
где x
и λ — сдвиг по фазе и длина волны колебаний соответственно. Значе-
0
ния x
и λ будут определены ниже, в процессе построения динамического
0
)
0
, (1.7)
λ
краевого эффекта.
4.1. ЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЯ 127
Частота колебаний ω выражается следующим образом:
2
1
ω =
π
a
. (1.8)
λ
Представим уравнение (1.4) следующим образом [43]:
+ aω
2
d
− aωW =0. (1.9)
2
dx
2
d
2
dx
Тогда его общее решение имеет вид
+ W2,
1
1
+ aωW1=0, (1.10)
2
− aωW2=0. (1.11)
при этом функции W
W = W
и W2являются общими решениями уравнений
1
2
d
W
2
dx
2
d
W
2
dx
При большой изменяемости собственной формы (aω 1)дляфункций W
ро осциллирующая функция, a W
и W2справедливы оценки
1
dW
dx
1
∼ aωW
dW
2
dx
∼ aωW
.
2
,
1
Поведение указанных составляющих решения различно: W
представляет собой сумму экспонент
2
—быст-
1
сбольш´ими показателями. Следовательно, рассматриваемая ситуация принципиально отлична от случая, когда приходится разделять малые и большие
действительные корни характеристического уравнения, то есть соответствующие им медленно и быстро изменяющиеся составляющие решения. Здесь
речь идет о разделении состояний, одно из которых осциллирует с той же
скоростью, с которой затухает краевой эффект (то есть характеристическое
уравнение в этом случае имеет действительные и мнимые корни, сравнимые по модулю).
Перейдем непосредственно к построению краевого эффекта, описываемого в данном случае уравнением (1.11). Учитывая выражение для собственной частоты (1.8), получим следующие соотношения для краевых эффектов, локализованных в окрестностях краев x =0и x = L соответственно:
= C1exp−πλ−1x,
W
1кр
= C2exp−πλ−1(x − L).
W
2кр
(1.12)
128 ГЛАВА 4
Теперь, чтобы определить собственную форму и частоту, осталось найти величины x
, λ и произвольные постоянные интегрирования C1, C
0
из граничных условий
d
при x =0 W
при x = LW
0
0
+ W
+ W
1кр
2кр
=0,
=0,
dx
dx
(W
+ W
0
d
(W
0
)=0; (1.13)
1кр
+ W
)=0. (1.14)
2кр
Подставляя в условия (1.13), (1.14) выражения (1.7) и (1.12),получим
C
+sinπ
2
πx
0
C
− sin
1
L − x
=0,C
λ
0
=0,C
λ
+cosπ
2
1
− cos
L − x
πx
0
=0, (1.15)
λ
0
=0. (1.16)
λ
2
Для λ, x
λ =
имеем следующие выражения:
0
L
m +0,5
,m=1, 2,...; x
= λ(0,25 + n),n=1, 2,....
0
Окончательно формула для собственных частот колебаний защемленного стержня такова:
aL
2
,m=1, 2,.... (1.17)
2
(m +0,5)
2
= π
ω
m
Формула (1.17) даже для основной частоты колебаний дает погрешность менее 1%.
Описанный метод был предложен Болотиным [30, 31]. Отметим, что
практически одновременно Келлер и Рубинау [15,302] разработали волновой метод для уравнения Лапласа. Позже этот метод был обобщен на бигармонические уравнения [258] и показана эквивалентность методов Болотина
и Келлера – Рубинау [259, 260].
4.2. Нелинейные колебания стержня
Для описания сути метода в нелинейном случае воспользуемся уравнением Кирхгофа (см. § 3.11):
EI
∂
∂x
⎡
L
EF
2L
∂w
⎣
∂x
0
4
w
−
4
⎤
2
dx
2
∂
w
⎦
2
∂x
+ ρF
2
w
∂
=0. (2.1)
2
∂t
4.2. НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЯ 129
Пусть стержень упруго оперт:
при x =0,L w =0,
∗
где c
= c/(EI), c — коэффициент упругого защемления.
∂
∂x
Представим порождающее решение в виде
2
w
∂w
∗
− c
2
=0, (2.2)
∂x
w
0
= Asin
π(x − x
)
0
ξ(t). (2.3)
λ
Подставляя выражение (2.3) в (2.1), получим уравнение для определения функции ξ(t):
2
где ω
=
λ
2πL
= EIρ
sin
2π(L −x0)
−1
λ
2
d
ξ
2
dt
2
π
, γ =0,25(1 + λ1)
λ
+sin
+ ω
2πx
λ
2
0
1+γξ
.
2
ξ =0, (2.4)
2
A
; r =I/F; λ1=
r
Уравнение (2.4) c начальными условиями
dξ(0)
ξ(0) = 1,
имеет решение
ξ(t)=cn(σt, k),σ= ω
=0 (2.5)
dt
1+γ, (2.6)
где cn(...,...) — эллиптическая косинус-функция Якоби, период T которой
π/2
равен 4K ; K =
0
1 − k
2
грал 1-го рода, модуль которого k =
sin2ϕ
−0,5
dϕ — полный эллиптический инте-
0,5γ/(1 + γ) [185, гл. 16].
Теперь решение задачи вдали от краев имеет вид
= W0(x)cn(σt, k), (2.7)
w
0
где W
(x)=A sin
0
π(x −x0)
λ
.
Решение (2.7) удовлетворяет исходному уравнению (2.1),нонеудовлетворяет граничным условиям (2.2). Для построения состояний, локализованных вблизи торцов, представим искомое решение в виде
w = w
+ wкр. (2.8)
0
130 ГЛАВА 4
Подставляя выражение (2.8) в уравнение (2.1), получаем
4
∂
(w0+ wкр)−0,5(r2L)
4
∂x
2
∂
−1
2
∂
ρ
+
EI
(w0+ wкр)=0.
2
∂t
∂x
2
(w0+ wкр)
∂w
0
+
∂x
0
∂w
∂x
2
кр
dx +
(2.9)
L
Заметим, что, в отличие от рассмотренного ранее линейного случая,
функции w
и wкрздесь оказываются связанными в силу нелинейности за-
0
дачи. В то же время основное состояние и краевые эффекты сильно отличаются энергетически, так как последние локализованы в малой окрестности
торцов стержня [6]. Оценим порядки подынтегральных членов в уравнении (2.9) по отношению к L/λ 1:
L
∂w
∂x
0
0
2
dx ∼
L
λ
L
∂w
∂x
0
кр
2
;
2
dx ∼ 1.
L
0
∂w
∂x
∂w
кр
0
∂x
dx ∼
L
;
λ
(2.10)
Ограничившись в уравнении (2.9) в первом приближении членом по-
2
рядка (π/λ)
4
∂
w
0
4
∂x
+
Подставляяввыражение(2.11) значение w
нию для определения функции w
где B = γ
1,приводимегоквиду
∂2w
0
− 0,5(r2L)
4
∂
w
кр
4
∂x
π
λ
−1
− 0,5(r2L)
4
∂
w
кр
4
∂x
2
.
2
∂x
−1
− B cn2(σt,k)
L
0
∂2w
∂x
∂w
кр
2
∂x
кр
2
0
dx +
L
∂w
0
∂x
0
:
2
∂
w
кр
+
2
∂x
2
∂
w
ρ
0
+
2
EI
∂t
2
dx +
(2.7), приходим к уравне-
0
∂
ρ
EI
2
w
∂
ρ
кр
2
∂t
кр
=0, (2.12)
2
2
∂t
EI
w
=0. (2.11)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]