Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы асимптотического анализа и синтеза в нелинейной динамике и механике деформируемого твердого тела
.pdf
2.5. УСТРАНЕНИЕ НЕРАВНОМЕРНОСТЕЙ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИЙ 51
из условия отсутствия в правой части уравнения (5.9) резонансного члена cos τ имеем ω
=3/4. Следовательно,
1
ω ≈ ω
(1)
=1+
3
ε + O(ε
4
2
). (5.13)
Здесь уместно обсудить вопрос об асимптотической и реальной погрешности (подробнее см. § 2.12). Казалось бы, формулу (5.13) можно за-
менить асимптотически эквивалентным выражением
ω ≈ ω
(2)
=1+
3
ε, (5.14)
8
как это часто и делается [146,147]. Однако оценим реальную погрешность
формул (5.13) и (5.14) по сравнению с точным значением частоты [146]
√
1+ε
π
(T )
=
ω
2
где
Рассмотрим случай ε →∞,тогдаm
m
⎡
⎢
⎣
2
π/2
0
=
2(1 + ε)
dθ
1 − m2sin2θ
ε
. (5.16)
2
=0,5. Используя формулы (5.15),
⎤
−1
⎥
, (5.15)
⎦
(5.16) и значение интеграла из [185, гл. 17], находим
lim
ε→∞
(1)
ω
=0,9782, lim
(T )
ω
ε→∞
(2)
ω
= ∞.
(T )
ω
Таким образом, формула (5.13) применима как для малых, так и для
больших значений ε,формула(5.14) — только для малых [294].
Можно сформулировать «принцип минимальной сингулярности»:
асимптотическое решение должно содержать минимальное количество син-
2
гулярных операций. Иными словами, лучше раскладывать в ряд ω
,азатем
извлекать корень, чем сразу искать разложение ω, хотя асимптотически эти
разложения совершенно эквивалентны.
Обобщением метода Линдстедта – Пуанкаре является метод Притуло –
Лайтхилла [39, 164]. В качестве примера рассмотрим задачу
dy
(x + εy)
+(2+x)y =0, (5.17)
dx
y(1) = e
−1
. (5.18)
52 ГЛАВА 2
Уравнение (5.17) имеет особенность на прямой x = −εy.Однако
граничное условие (5.18) обеспечивает положительность решения y(x)
для x 0; следовательно, y(x) не имеет особенностей при 0 x<∞.
Для отыскания прямого разложения положим
(x)+εy1(x)+.... (5.19)
y = y
0
Подставив выражение (5.19) взадачуКоши(5.17), (5.18) и выполнив
разложения по степеням ε,получим
dy
0
x
dy
x
dx
+(2+x)y
dx
1
+(2+x)y
=0,y0(1) = e−1, (5.20)
0
dy
0
1
= −y
0
dx
,y
(1) = 0, (5.21)
1
..........................................
−1
= x−2e−x.
0
dt.
Решение задачи нулевого приближения таково: y
Подставив y
При x → 0 y
в уравнение (5.21), имеем
0
x
= x−2e
y
1
= O(x−2), в то время как y1= O(x−5).
0
−x
e−tt
1
−3
1+2t
Таким образом, хотя точное решение не сингулярно, решение нулевого
порядка имеет особенность при x =0, и порядок этой особенности повы-
шается в первом приближении. Для устранения этого недостатка и используется метод Притуло – Лайтхилла. Сущность его заключается в разложении
не только зависимой, но и независимой переменной по степеням ε:
∞
y =
x =
εmym(s), (5.22)
m=0
∞
εmxm(s). (5.23)
m=0
Чтобы разложение стало равномерно пригодным, потребуем, чтобы
отношения y
m/ym−1
и xm/x
были ограниченными. Иными словами,
m−1
высшие приближения не должны быть более сингулярными, чем первое.
2.5. УСТРАНЕНИЕ НЕРАВНОМЕРНОСТЕЙ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИЙ 53
Подставляя разложения (5.22) и (5.23) в уравнение (5.17), имеем
∞
dy
dx
"
dy
ds
dx
ds
=
m=0
=
1+
∞
m=0
εmy
εmx
(s)
m
.
(s)
m
Чтобы учесть граничное условие, необходимо определить значение s,
соответствующее значению x =1.Обозначивего
∞
s =1−
εmxm(s). (5.24)
m=1
s, приходим к уравнению
Используя разложение
s =1+εs1+ ε2s2+ ..., (5.25)
из уравнения (5.17) получаем равенство
s =1−εx1(1) − ε2[x2(1) − x1(1)x
(1)] + .... (5.26)
1
Граничное условие может быть теперь записано в виде
−1
e
= y0(1) + ε[y1(1) − y
откуда y
(1) = e−1, y1(1) = y
0
(1)x1(1),....
0
Подставляя значения функций x, y, y
(1)x1(1)] + ...,
0
в уравнение (5.17),получим,
приравняв коэффициенты при 1 и ε,
+(2+s)y0=0, (5.27)
sy
sy
+(2+s)y1= −(2 + s)y0x
1
0
− (y0+ y
0
)x1− y0y
0
. (5.28)
0
Используя решение уравнения (5.27), y
= e−ss−2, приводим уравне-
0
ние (5.28) квиду
ds
d
y
1
y
0
=
1
−(2 + s)x
ε
2
x
+
1
+
1
s
ess
2
1
+1. (5.29)
2
s
Равномерно пригодное разложение можно получить, выбрав значение x
гая e
так, чтобы устранить главную особенность при s → 0.Пола-
1
−s
≈ 1, из уравнения
−
x
1
1
x
1
=
3
s
s
54 ГЛАВА 2
находим
= −1/(3s2). (5.30)
x
1
Уравнение (5.29) теперь запишется так:
d
ds
y
1
= −
y
0
3s
2
2
−
3
4
s
Следовательно,
⎡
2
y
1
= e−ss
−2
⎣
3s
1
+
3s
−
2
3
s
+ e
1
1
−s
3
s
1
−ξ
e
3
ξ
2
+
.
4
s
⎤
2
+
⎦
dξ
4
ξ
.
Функция x
и имеет вид x2= −3/(10s4). Равномерно пригодное приближение
в y
2
−ss−2
y = e
находится из условия устранения главной особенности
2
,гдеs определяется из уравнения
x = s −
3s
ε
.
2
Имеющиеся неравномерные асимптотические разложения можно превратить в равномерные, используя прием Тиссерана [211]. Например, непериодическое решение
x(t)=cos(ω
t)+εat sin(ω0t)
0
можно заменить асимптотически эквивалентной периодической функцией
x(t)=cos(ω
+ εa)t.
0
Подобная операция получила название перенормировки [146, 147].
Продемонстрируем ее на примере уравнения Дюффинга (5.1).Прямоераз-
ложение его решения имеет вид (5.4). Чтобы сделать это разложение равномерно пригодным, подставим преобразования (5.5), (5.7) вэтотряд.Витоге имеем
1
εω
+ ...,
1
2
1
(cos 3t − cos t).
32
x
1
t = τ/ω = τ1 −
(t)=
1
2
3
−
ω
1
4
t sin t +
Вековой член исчезнет, если ω
=3/4.
1
2.6. ВЫБОР НУЛЕВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 55
В качестве второго примера рассмотрим задачу Лайтхилла (5.17), (5.18).
Прямое разложение его решения, полученное выше, имеет вид
y = x
−2e−x
⎡
⎣
1+ε
x
e−tt−3(1 + 2t−1) dt
1
⎤
⎦
+ O(ε2).
Чтобы сделать его равномерно пригодным, положим
x = s + εx
(s)+....
1
Собрав коэффициенты при равных степенях ε,получим
y = s
−2
1 −
2ε
+
x
1
s
Это разложение будет равномерно пригодным, если выбрать x
1
−2
s
3
+ O(ε
2
) при ε → 0.
вви-
1
де (5.30) и удалить таким образом главную особенность.
2.6. Выбор нулевого приближения
«Существенной проблемой, характерной для прикладной математики,
является проблема нулевого приближения. Она состоит в выборе некоторого объекта или семейства таких объектов, вблизи одного из которых должно оказаться искомое решение. Этот выбор может опираться на ожидаемый
характер решения и часто делается уже при построении математической
модели. Чтобы успешно разыскать нечто, всегда желательно хотя бы приблизительно знать, что именно разыскивается. Указанное семейство можно
построить различными неэквивалентными способами, существенно влияющими на простоту и точность дальнейшей процедуры, при этом велика
роль аналогий и интуиции» [28].
Рассмотрим пример. В монографии [67, с. 167–174] рассматриваются на основе метода возмущений колебания параллелограммных мембран
(рис. 6.1, а). В качестве малого параметра выбрана величина ε =tgα
(см. рис. 6.1, б). Сравнение с результатами численного расчета показало,
что метод возмущений применим лишь для ε 0,21, и на этом основании
сделан вывод о порочности метода возмущений в целом.
Рассмотрим эту задачу подробнее. Исходное уравнение имеет вид
+ uyy+ ω2u =0.
u
xx
56 ГЛАВА 2
Рис. 6.1. Параллелограммная мембрана и различные способы выбора нулевого приближения
Примем, что контур мембраны защемлен, то есть u =0.
В соответствии с подходом монографии [67] параллелограммную мембрану в первом приближении заменяем прямоугольником со сторонами a, b.
Тогда
ω
2(a2
+ b2)
π
2
≈
a2b
. (6.1)
2
Однако такая замена не сохраняет площади исходной мембраны. В то
же время известно, что именно площадь является основным фактором при
вычислении частот колебаний. Следовательно, в нулевом приближении правильным является замена исходной параллелограммной мембраны прямоугольной со сторонами a cos α, b (рис. 6.1, в)приэтом
2(a2
cos2α + b2)
π
2
=
ω
a2b2cos2α
. (6.2)
Сравнение результатов расчета по формулам (6.1), (6.2) срезультатами
численного решения [67] приведены в таблице 6.1 для a = b =1.
Таблица 6.1. Сравнение частот для параллелограммных мембран
ε Численное
решение [67]
0,5 21,32 19,74 7 22,21 4
0,7 22,93 19,74 14 24,57 7
1,5 36,89 19,74 46 41,94 13
2,0 52,63 19,74 62 59,22 12
Формула (6.1) Погреш-
ность, %
Формула (6.2) Погреш-
ность, %
Второй пример связан с методом эквивалентной линеаризации [221].
Рассмотрим уравнение Дюффинга (5.1) с начальными условиями (5.2).Вы-
полнив замену переменной (5.5), приходим к уравнению (5.6). Перепишем
2.7. ГОМОТОПИЧЕСКИЙ МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ 57
его теперь в виде
2
d
x
+ ω2(1 + λ2)x = −εx3+ λ2x.
2
dτ
Величина λ
2
подбирается таким образом, чтобы линейная система
2
d
x
0
+ ω2(1 + λ2)x0=0
2
dτ
наилучшим образом (по амплитудно-частотной зависимости) аппроксимировала нелинейную. Учитывая решение (5.14), нетрудно убедиться,
2
что λ
=3ε/4.
Обозначив теперь ω
2
=1+λ2, будем решать уравнение
0
2
d
dτ
x
2
+ ω2ω
2
x = −εx3+ λ2x
0
с начальными условиями (5.2) методом возмущений. В итоге получим квадрат частоты колебаний [221]:
2
=
ω
96ε + 128
.
2
+ 192ε + 128
69ε
Это выражение представляет собой аппроксимацию Паде (см. § 7.2)
с тремя членами в числителе и двумя в знаменателе ряда теории возмущений для исходной задачи (5.1), (5.2) инамноголучшерядааппроксимирует
частоту колебаний.
Отметим, что уточненный метод Линдстедта – Пуанкаре можно получить, если в нулевом приближении использовать не тригонометрические,
а эллиптические функции [261, 377].
Сделаем еще следующее замечание. Первое приближение метода Рэлея – Ритца или Бубнова – Галёркина часто дает результаты, близкие к первому приближению метода возмущений [92, § 15], [101, § 24.3]. Это приводит к мысли использовать в качестве первого приближения аппроксимацию
на основе одночленного приближения вариационного метода, а затем строить следующее приближение методом возмущений.
2.7. Гомотопический метод возмущений
Последнее время весьма популярным стал так называемый гомотопический метод возмущений [73, 228, 276, 312, 334]. Суть его состоит в следующем. В уравнения или граничные условия вводится параметр ε таким
58 ГЛАВА 2
образом, чтобы при значении ε =0получалась краевая задача, допускающая простое решение, а при ε =1— исходная краевая задача. Далее
применяется метод возмущений по ε и в полученном решении принимается ε =1. В вычислительной математике подобный прием называется
методом продолжения по параметру. Разумеется, он не нов и использовался еще Ляпуновым [124] и Пуанкаре [166]. Новым (и, на наш взгляд,
удачным) является название, подчеркивающее непрерывный переход от исходного значения ε =0к значению ε =1(гомотопическая деформация).
Ниже этот метод применяется для решения нелинейной задачи, другой его
вариант описан в § 8.6.
Особенностью нелинейных систем с распределенными параметрами
является возможность внутреннего резонанса между модами. При этом
в некоторых случаях пренебрежение высшими модами может приводить
к существенным ошибкам. Ниже описана асимптотическая методика решения задач нелинейных колебаний систем с распределенными параметрами,
позволяющая приближенно учитывать все моды.
Исходные уравнения колебаний квадратной мембраны на нелинейном
упругом основании запишем в виде
∂
∂x
2
2
w
∂
+
2
∂y
2
w
w
∂
−
2
− cw −εw3=0, (7.1)
2
∂t
где ε — безразмерный малый параметр (ε 1).
Граничные условия таковы:
w
x=0,L
= w
=0. (7.2)
y=0,L
Искомое периодическое решение должно удовлетворять условиям
w(t)=w(t + T ), (7.3)
где T =2π/ω —период,аω — собственная частота колебаний.
Будем искать собственные частоты, отвечающие таким формам основных тонов колебаний, при которых в линейном случае (при ε =0)ре-
ализуется по одной полуволне в каждом из направлений x и y.Вводим
преобразование времени:
τ = ωt. (7.4)
Решение ищем в виде разложений
w = w
ω = ω
+ εw1+ ε2w2+ ..., (7.5)
0
+ εω1+ ε2ω2+ .... (7.6)
0
2.7. ГОМОТОПИЧЕСКИЙ МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ 59
Подставляя соотношения (7.5), (7.6) в уравнение (7.1) иусловия (7.2), (7.3) и приравнивая члены при одинаковых степенях ε, получаем
рекуррентную последовательность линейных краевых задач:
∂
2
∂x
2
w
∂
∂x
w
2
w
∂
1
+
2
∂y
2
w
∂
0
2
1
2
+
− ω
∂y
1
2
0
2
∂2w
∂τ
∂2w
0
2
− ω
0
2
∂τ
1
− cw1=2ω0ω
2
1
− cw0=0, (7.7)
∂2w
0
3
+ w
1
2
∂τ
, (7.8)
0
....................................................
Граничные условия (7.2) и условия периодичности (7.3) принимают
вид
w
i
x=0,L
w
(τ)=wi(τ +2π), (7.10)
i
= w
i
=0, (7.9)
y=0,L
........................
Решение уравнения (7.7) таково:
sin
ω
m,n
ω
0
τsin
πm
L
m,n
xsin
πn
y, (7.11)
L
, m, n =1, 2, 3,...,
m,n
=π2(m2+n2)/L2+c,
∞
∞
m=1
n=1
A
m,n
где A
w
=
0,0
— амплитуда основного тона колебаний; A
1,1
(m, n) =(1, 1)-амплитуды последующих мод; ω
m, n =1, 2, 3,..., — собственные частоты колебаний линейной системы,
= ω
1,1
.
ω
0
Следующее приближение по ε находится в результате решения краевой
задачи (7.8), (7.9), (7.10). При этом для предотвращения появления вековых
членов в правой части уравнения (7.8) коэффициенты при членах вида
sin
ω
m,n
ω
0
τsin
πm
L
xsin
πn
y,m,n=1, 2, 3,...,
L
следует приравнять нулю. Эти условия приводят к бесконечной системе
нелинейных алгебраических уравнений:
∞
2A
m,nω1
β2ω
∞
∞
j=1
∞
k=1
(ω
)2=
m,n
0
i=1
l=1
∞
p=1
∞
s=1
(ijklps)
C
m,n
A
i,jAk,lAp,s
,
(7.12)
m, n =1, 2, 3,....
60 ГЛАВА 2
Коэффициенты C
(ijklps)
m,n
находятся путем подстановки выражений (7.11)
в правую часть уравнений (7.8) и выполнения соответствующих упрощений. Систему (7.12) можно решать путем редукции. Однако при достаточно большом количестве удерживаемых уравнений начинают существенно
проявляться вычислительные трудности, кроме того, при таком подходе не
учитывается влияние высших мод. Поэтому далее используется гомотопический метод возмущений. В правой части каждого (m, n)-го уравнения
системы (7.12) введем параметр μ перед теми членами A
i,jAr,lAp,s
,для
которых выполняется следующее условие: (i>m) ∪ (k>m) ∪(p>m) ∪
∪ (j>n) ∪ (l>n) ∪ (s>n).
Таким образом, при μ =0система (7.12) принимает «треугольный»
вид, а при μ =1возвращается в исходную форму. Далее ищем решение
в виде разложений
(0)
= ω
ω
1
A
= A
m,n
+ μω
(0)
m,n
(1)
+ μA
+ μ2ω
(1)
m,n
(2)
+ ..., (7.13)
(2)
+ μ2A
m,n
+ ...,
(7.14)
m, n =1, 2, 3,..., (m, n) =(1, 1),
а затем полагаем μ =1.
Данный подход позволяет удерживать в системе (7.12) любое число
уравнений. Ниже мы ограничиваемся в разложениях (7.13), (7.14) первыми
двумя членами.
Проведем анализ решения. Отметим, что в рассматриваемой задаче параметр c играет роль бифуркационного. В общем случае, когда c =0иимеет порядок 1,система(7.12) допускает следующее решение:
=0,i,j=1, 2, 3,..., (i, j) =(m, n),
A
i,j
2
A
(ω
ω
0
m,n
,m,n=1, 2, 3,....
2
)
m,n
27
=
ω
1
128
Амплитудно-частотная характеристика определяется выражением
2
A
Ω
m,n
= ω
+0,2109375
m,n
ω
m,n
m,n
ε + ....
Особый интерес представляет случай, когда линейная составляющая
восстанавливающей силы равна нулю (c =0) и возникает явление внут-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]