Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод конечных элементов в задачах теплопроводности. Учебное пособие
.pdf
БАЛТИЙСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. ИММАНУИЛА КАНТА
А. В. Румянцев
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
В ЗАДАЧАХ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Рекомендовано Государственным образовательным учреждением
высшего профессионального образования
«Московский энергетический институт (технический университет)»
в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлению подготовки
140400 — «Техническая физика»
специальности 140402 «Теплофизика»
Издательство
Балтийского федерального университета им. И. Канта
2011
УДК 519.43
ББК 32.973
Р865
Рецензент
Московский энергетический институт (технический университет);
Московский государственный университет печати;
Регистрационный номер рецензии № 1099 от 08.10.2010
Румянцев А. В.
Р865 Метод конечных элементов в задачах теплопроводно-
сти : учеб. пособие. Изд. 3-е, перераб. и доп. — Калининград : Изд-во БФУ им. И. Канта, 2011. — 112 с.
ISBN 978-5-9971-0210-4
Рассматриваются основы метода конечных элементов в формулировке метода взвешенных невязок — метода Галеркина — применительно к нестационарным задачам сложного теплообмена в объектах
различного назначения (авиационно-космических, теплоэнергетики и
теплотехники). Пособие содержит большое количество задач, решение
которых способствует практическому освоению материала. Приведена
подробная процедура получения алгоритма вычислительной программы.
Изложено в форме,
получения практических навыков решения инженерных задач сложного теплообмена численным методом конечных элементов.
Предназначено для студентов, аспирантов и инженеров специальности «Теплофизика».
© Румянцев А. В., 2011
ISBN 978-5-9971-0210-4 © БФУ им. И. Канта, 2011
доступной для самостоятельного изучения и
УДК 519.43
ББК 32.973
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение .........................................................................................
5
Глава 1. Краевые задачи теории поля.........................................
1.1. Уравнение переноса в обобщенной криволинейной
системе координат .............................................................
1.2. Краевые условия задачи................................................... 18
1.3. Краткая характеристика методов решения краевой
задачи ..................................................................................
Задание 1 ........................................................................... 23
Глава 2. Метод конечных элементов в краевых задачах
теории поля...............................................................................
2.1. Методы взвешенных невязок .......................................... 24
2.2. Основная концепция метода конечных элементов........ 28
Задание 2 ........................................................................... 31
Глава 3. Геометрические аспекты
3.1. Типы конечных элементов. Базовый каталог элемен-
тов........................................................................................ 32
3.2. Дискретизация области на элементы.............................. 36
3.3. Нумерация элементов и узлов ......................................... 38
3.4. Индексация узлов и формирование таблицы входных
данных................................................................................. 41
МКЭ ..................................
13
13
21
24
32
Задание 3 ........................................................................... 43
Глава 4. Математическое описание элемента.........................
4.1. Метод Крамера.................................................................. 44
4.2. Метод Лагранжа................................................................ 50
44
3
4.
3. Обобщенный метод Крамера — Лагранжа .................... 52
4.4. Эрмитовы элементы ......................................................... 54
4.5. Свойства базисных функций ........................................... 55
Задание 4 ...........................................................................
Глава 5. Вычислительные аспекты МКЭ................................
5.1. Общее решение краевой задачи методом Галеркина.... 59
5.2. Матричное представление элементного вклада............. 62
5.3. Формирование глобальных матриц................................. 67
5.4. Стандартизация матриц элемента ................................... 69
5.5. Естественная система координат .................................... 71
5.6. Средние температуры элемента ...................................... 75
Задание 5 ...........................................................................
Глава 6. Программная реализация МКЭ.................................
6.1. Задание краевых условий задачи ....................................
6.2. Решение системы динамических уравнений.................. 81
6.3. Учет температурной зависимости теплофизических
параметров.......................................................................... 85
6.4. Радиационный компонент теплообмена......................... 88
6.5. Сходимость, полнота и согласованность, точность и
пространственная изотропия............................................. 92
Задание 6 ...........................................................................
Рекомендуемая литература ........................................................
Приложение 1................................................................................
Приложение 2................................................................................
58
59
77
78
78
97
98
102
105
Введение
ВВЕДЕНИЕ
Теорией теплопередачи, или теплообмена, называется наука, изучающая процессы переноса тепла в пространстве с неоднородным температурным полем. Наука о теплообмене насчитывает несколько столетий, но настоящего расцвета она
достигла лишь в XX веке, найдя широкое применение при решении назревших практических задач техники. Из раздела
теоретической физики учение
о теплообмене превратилось в
самостоятельную научно-техническую дисциплину.
Особенно сложные и важные задачи стоят в области изучения теплообмена в современной авиационной, ракетной и
космической технике. При сверхзвуковых скоростях полета
значительно изменяются условия теплопередачи в отдельных
элементах конструкции летательного аппарата, возникает необходимость его охлаждения или защиты от аэродинамического нагрева
. Проблема тепловой защиты космического летательного аппарата, изучаемая в течение последних десятилетий, не утратила своей актуальности и сегодня, несмотря на
определенные достигнутые успехи [19; 32; 36; 45—52].
Не менее важные и сложные проблемы учета теплообмена
возникают при конструировании современных авиационных и
ракетных двигателей. Высокая тепловая напряженность реактивных двигателей, использование криогенных топлив и
гие другие важные вопросы требуют от современного конструктора умения произвести сложный инженерный расчет теплообмена в этих двигателях и в их агрегатах.
Большое значение теория теплообмена имеет в расчетах
как самих тепловых режимов летательных аппаратов, так и
систем их обеспечения, а также систем жизнеобеспечения
экипажа, надежной работы радиоэлектронной аппаратуры
т.
д. [46—52].
мно-
и
5
Введение
На теории теплообмена базируются методы получения тепловой энергии, распределения, транспортирования, использования с помощью тепловых машин, аппаратов и установок —
паровых и водогрейных котлов, теплообменников, паровых
и газовых турбин, двигателей внутреннего сгорания и т.
п.
Анализ процессов теплообмена в теплоэнергетических и теплосиловых установках позволяет выявить их влияние на эффективность работы этих установок и определить пути ее повышения [21—23; 35—38]. В современной атомной энергетике
теория теплообмена используется для расчета тепловых режимов ядерных энергетических установок, проектирования систем их обеспечения и безопасности [39].
Таким образом, курс
«Теплопередача» является одной из
важнейших теплотехнических дисциплин, необходимых для
современного инженера в области авиационной, ракетной и
космической техники, теплотехники и теплоэнергетики. Цель
изучения дисциплины − подготовка студентов к освоению
теории и методов расчета теплообмена и к использованию полученных знаний и навыков на стадии курсового и дипломного проектирования, а
впоследствии в профессиональной дея-
тельности.
Проектирование теплотехнического устройства независимо от назначения последнего неотъемлемой своей частью содержит тепловое моделирование [45—52].
Тепловое моделирование представляет собой типичную
задачу оптимального управления тепловым режимом. Главное
содержание задач оптимизации в том, чтобы из различных
возможных реализаций рассматриваемого процесса выбрать
такую, при которой тепловой режим был бы
наилучшим по
некоторому заранее указанному критерию [40—43].
Выбор оптимальных тепловых режимов невозможен без
использования методов и средств точного решения прямой
задачи теплопроводности. Как правило, это требование первично [44]. Методы и средства решения ординарных задач оптимального управления и обратных задач теплопроводности
необходимы, важны, оптимизируют расчеты, но требования к
6
Введение
ним вторичны. Задачи прогноза и конструктивных расчетов
можно решать, лишь имея математическую модель прямой
задачи теплопроводности, метод и средства ее решения, к каковым относится тепловой режим теплотехнического устройства в целом или отдельных его подсистем (элементов) [45].
Под тепловым режимом традиционно понимается последовательность (во времени) температур всех частей теплотехнического устройства, необходимых для его нормального
функционирования на любом этапе. Именно такое содержание
понятия «тепловой режим» однозначно определяет смысл задачи его обеспечения или понимания состояния, связанного с
нарушением теплового режима [32].
В инженерной практике температурные требования обычно формулируются как требования к диапазону температур, в
пределах которого обеспечивается одинаковая надежность работы всех элементов устройства. Чем уже диапазон допустимых температур, тем больше весовые и энергетические затраты на обеспечение теплового режима. Поэтому так важен учет
всех компонент теплообмена, приводящий к расширению диапазона температур и снижению требований к системе обеспечения режима [45—52].
В настоящее время все большее значение в инженерной
практике теплового проектирования приобретает математическое моделирование процессов теплообмена в сложных системах. Оно позволяет заранее с помощью относительно простых
средств проверить расчетным путем правильность принятых
инженерных решений и устранить возможные ошибки на стадии проектирования, до создания системы. Сущность математического моделирования кратко можно выразить триадой
«модель-алгоритм-программа».
Речь идет о замене объекта его
моделью и о дальнейшем исследовании с помощью вычислительно-логических алгоритмов [40—42; 46; 50].
Математическая тепловая модель может быть выражена
различными средствами — от языка функционального анализа
и дифференциальных уравнений до вычислительного алгоритма и компьютерной программы.
7
Введение
Математическая модель должна отражать структуру и характерные особенности рассматриваемых процессов или явлений, иметь подробное формализованное математическое описание в виде системы дифференциальных уравнений и функциональных соотношений, а также моделирующий алгоритм.
Математическая модель должна быть по возможности универсальной, т.
е. обеспечивать расчеты и моделирование сложного
нестационарного теплообмена в многоэлементных системах
любой геометрической конфигурации с локально распределенными динамическими внутренними и внешними тепловыми нагрузками.
На стадиях от эскизного проектирования до экспериментальной отработки включительно одной из основных задач
математического моделирования стало определение действительных значений температур в характерных точках объекта
и
систем обеспечения теплового режима, их соответствия требуемым значениям во всем расчетном диапазоне изменения
внутренней тепловой нагрузки и внешних воздействий при
заданной структуре и параметрах разрабатываемого объекта.
Среди численных методов решения дифференциальных
уравнений метод конечных элементов (МКЭ) — наиболее эффективный и универсальный [2; 3; 6].
Этот метод сегодня является общепризнанным методом
структурного
анализа в ряде областей науки и техники [1—8].
В значительной мере это объясняется следующим:
— возможностью задания локальных граничных условий;
— простой физической интерпретацией вычислительных
операций;
— большой геометрической гибкостью и применимостью
к широкому классу дифференциальных уравнений в частных
производных [2; 3; 6];
— обеспечением единственности получаемого решения во
всех точках рассматриваемой области;
— эффективностью и экономичностью
при компьютерной
реализации в сравнении с другими методами.
8
Введение
Область применения МКЭ существенно расширилась, когда было показано, что возможна не только его вариационная
формулировка, но и формулировка на основе метода взвешенных невязок, в частности метода Галеркина.
Универсальность метода Галеркина обеспечивается использованием непосредственно дифференциального уравнения с
его краевыми условиями, описывающего исследуемый физический процесс и не требующего поэтому
предварительного
конструирования минимизируемого затем функционала, как
это делается в вариационной формулировке МКЭ. Метод Галеркина позволяет получить решение в обобщенном виде в
любой системе координат для объекта любой размерности и
геометрии с сохранением всех преимуществ метода конечных
элементов в целом.
Данное учебное пособие посвящено изложению основ тео-
рии МКЭ применительно
к краевым задачам теории поля с
опорой на метод Галеркина как наиболее универсальный и
точный среди других версий. Изложение общих вопросов
практической реализации метода (2—6-я главы пособия) позволяет использовать его в инженерной практике различных
специальностей. Наибольшее внимание уделено задачам
сложного теплообмена в самой общей постановке, и дано их
решение в
общем виде — в форме алгоритма вычислительной
программы.
Побудительной причиной написания пособия послужило
следующее: в литературе (и не только учебного характера),
посвященной численным методам решения краевых задач теории поля, подобных пособий нет; в монографиях по теории и
практике применения МКЭ задачи теплопроводности приводятся лишь в иллюстративных целях, причем для
осесимметричных задач в [23] предложены неверные решения, как нами
показано в [14]. Наиболее важный для объектов авиационной
и космической техники радиационный компонент теплообмена вообще не рассматривался.
Материал пособия тесно связан с изучаемыми на преды-
дущих курсах дисциплинами, такими как: математический
9
Введение
анализ; векторное и тензорное исчисление; дифференциальные уравнения; численные методы анализа; теория теплообмена; программирование и применение вычислительной техники. Предполагается, что студент хотя бы в общем виде знаком с целями и задачами проектирования, в частности теплового проектирования теплотехнических устройств, рассматриваемых в рамках его будущей специальности [35—38; 40; 41;
47—49].
Из-
за ограниченности объема пособия в нем опущены некоторые специальные вопросы математического характера,
относящиеся больше к теории, нежели к практике применения
МКЭ, и не излагается вариационная формулировка метода.
Достаточно подробное освещение этих вопросов имеется в
литературе [1—8], и при желании их можно освоить самостоятельно, поскольку общие сведения из теории и практики
при-
менения МКЭ в пособии даны.
В отличие от традиционного подхода, в пособии рассмотрены только трехмерные (объемные) задачи сложного теплообмена, что естественно с физической точки зрения: конвективный, радиационный теплообмен и внешние поверхностные
нагрузки должны учитываться на самих поверхностях элемента, а не на условных границах по его
периметру, как это делается в двумерных и одномерных задачах. Такая подмена приводит к количественным несоответствиям, так как площади
поверхностей элемента и условных границ — это не одна и та
же величина и, кроме того, нормали к ним не совпадают, что
особенно сказывается при учете ориентационной зависимости
внешней нагрузки. Освоив изложенную
в пособии методику
получения решения трехмерной задачи, нетрудно найти решение задач меньшей размерности. Именно в этих целях в приложении 1 дан каталог одно- и двумерных элементов.
Элементы высокого порядка — квадратичные, кубичные и
д., — а также сопутствующие им вопросы численного ин-
т.
тегрирования в пособии не рассматриваются, ибо линейные
мультиплекс-элементы обеспечивают достаточную для инженерных расчетов точность получаемого с помощью МКЭ ре-
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]