Метод конечных элементов Галеркина в задачах конвекции. Учебно-методическое пособие для студентов и аспирантов физических и математических специальнос

Саратовский национальный исследовательский государственный

университет имени Н. Г. Чернышевского

И. А. Ермолаев

МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ГАЛЕРКИНА

В ЗАДАЧАХ КОНВЕКЦИИ

Учебно-методическое пособие для студентов и аспирантов

физических и математических специальностей

Саратов Издательство Саратовского университета

2020

УДК [532+519.63](075.8) ББК 22.253я73+22.193я73

Е74

Ермолаев, И. А.

Е74 Метод конечных элементов Галеркина в задачах конвекции : учеб-

но-методическое пособие для студентов и аспирантов физических и математических специальностей [Электронный ресурс] / И. А. Ермо-

лаев. – Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2020. – 36 с. : ил. – URL: https://books.sgu.ru/tutorials/978-5-292-04655-4. – Имеется печатный аналог.

ISBN 978-5-292-04655-4 (online)

ISBN 978-5-292-04654-7 (print)

В пособии рассматривается метод конечных элементов в форме Бубнова – Галеркина применительно к различным задачам конвекции. Приведены способы решения задач тепловой термогравитационной конвекции и электроконвекции при помощи метода конечных элементов.

Для студентов физических и математических специальностей, аспирантов и всех интересующихся задачами вычислительной гидромеханики, в частности задачами конвекции.

Р е к о м е н д у ю т к п е ч а т и :

кафедра радиотехники и электроники Саратовского национального исследовательского государственного университета имени Н. Г. Чернышевского кандидат физико-математических наук, доцент Д. В. Иванов

Работа издана по тематическому плану 2020 года (утвержден Ученым советом Саратовского национального исследовательского

государственного университета имени Н. Г. Чернышевского, протокол № 1 от 16 января 2020 года)

УДК [532+519.63](075.8) ББК 22.253я73+22.193я73

ВВЕДЕНИЕ

Метод конечных элементов (МКЭ), разрабатываемый примерно с 50-х гг. прошлого века, к настоящему времени стал одним из наиболее эффективных численных методов решения широкого круга научных и технических задач. Появившийся изначально в строительной механике как вариант метода Рэлея – Ритца и связанный с минимизацией функционала энергии, метод конечных элементов существенно расширил круг решаемых задач с появлением версии метода в форме Галеркина. Возможность решения самых разных задач в областях нерегулярной формы с неоднородными физическими свойствами, реализация граничных условий различного типа и другие полезные особенности сделали МКЭ чрезвычайно популярным методом среди специалистов.

Теория и практика МКЭ изложена в таких известных в нашей стране монографиях, как Зенкевич и Чанг [1], Зенкевич [2], Стренг и Фикс [3], Сегерлинд [4], Норри и де Фриз [5], Митчелл и Уэйт [6], Галлагер [7], Зенкевич и Морган [8], Деклу [9], Сильвестер и Феррари [10], Сабоннадьер

иКулон [11], Коннор и Бреббиа [12], Оден [13] и др.

Вних рассматривается применение МКЭ в задачах упругости [1, 2, 4, 7, 13], теплопроводности [1–4, 7, 8], термоупругости [13], безвихревого течения идеальной жидкости [2, 4, 12], течения вязкой несжимаемой жидкости [12], в задачах фильтрации [1, 2, 12], диффузии [12], электростатики [2], в вязко-упругих задачах [1], в задачах на собственные значения [1, 5], акустических, поверхностных и электромагнитных волн [5] и др.

Что касается численного моделирования конвективных течений, то из существующих в отечественной научной литературе монографий: Пасконов, Полежаев, Чудов [14]; Патанкар [15]; Полежаев, Бунэ, Верезуб и др. [16]; Берковский, Полевиков [17]; Гершуни, Жуховицкий, Непомнящий [18]; Тарунин [19]; Гебхарт, Джалурия, Махаджан, Саммакия [20]; Гетлинг [21] и некоторых других, метод конечных элементов рассматривается лишь в [16]. В остальных используются различные разностные схемы (метод конечных разностей) либо метод контрольных объемов [15].

Между тем задачи конвекции отличаются большим разнообразием, сложностью, практической значимостью и часто должны быть решены в областях нерегулярной формы с неоднородными условиями на границах. Конвективные движения жидкостей и газов, связанные с переносом различных физических величин, могут быть обусловлены неоднородностью среды (естественная конвекция), или внешними силами (вынужденная конвекция), либо их сочетанием (смешанная конвекция). Суще-

3

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Метод Галеркина

Более точное название метода – метод Бубнова – Галеркина. Борис Григорьевич Галеркин (1871–1945) – российский, советский математик, академик АН СССР, лауреат Сталинской премии. Иван Григорьевич Бубнов (1872–1919) – российский математик, механик, корабельный инженер. В 1915 г. была опубликована работа Бориса Григорьевича Галеркина «Стержни и пластины. Ряды в некоторых вопросах упругого равновесия» (Вестник инженеров. № 19. С. 897–908), где он предложил метод интегрирования дифференциальных уравнений, получивший в дальнейшем название «метод Галеркина». Между тем годом ранее И. Г. Бубнов использовал аналогичный метод для расчетов при решении ряда частных задач в своем «Курсе строительной механики корабля». Кроме того, учитывая работы М. В. Келдыша и С. Г. Михлина по теоретическому обоснованию метода и исследованию его сходимости, исторически справедливым названием метода могло бы быть «метод Бубнова – Галеркина – Келдыша – Михлина» [27].

Такие известные численные методы, как метод конечных разностей, или метод контрольных объемов используют непосредственно формулировку (1) или (2), однако задачу можно переформулировать. Пусть φ˜ – приближенное решение уравнения (1) (аппроксимация искомой функции), тогда (1) может быть записано как Zφ˜ − b = R(Ω), где R(Ω) – невязка (ошибка аппроксимации). Тогда чтобы φ˜ было решением (1), необходимо условие R(Ω) = 0.

Пусть W1(Ω),W2(Ω), . . .,Wn(Ω) – некоторые базисные функции, т. е. линейно независимые, и любую функцию R(Ω) можно представить в виде

линейной комбинации этих базисных функций (например, 1, x, x2, x3, … xn). Тогда невязка R(Ω) тождественно равна нулю, если она ортогональна

5

всем элементам базиса в некотором пространстве, т. е. w w w

W1(Ω)R(Ω)dΩ = 0, W2(Ω)R(Ω)dΩ = 0, . . . , Wn(Ω)R(Ω)dΩ = 0,

Таким образом, учитывая, что R(Ω) = Zφ˜ − b, новая формулировка задачи (1) имеет вид:

w

Ω

Если искомая функция должна удовлетворять не только уравнению (1), но и некоторой совокупности граничных условий: 1φ = a1, . . ., nφ = = an, где 1, . . ., n – соответствующие операторы, тогда решается смешанная задача

Формулировка (4) является общей формулировкой методов взвешенных невязок. В зависимости от вида систем базисных функций существуют различные версии этого метода, такие как метод поточечной коллокации, где Wn = δ(x − xn) – дельта-функция Дирака; метод моментов, где

∂R

Wn = xn, или Wn = (1 − x)n; метод наименьших квадратов Wn = ∂an , и т. д.

В методе Галеркина, являющимся одним из методов взвешенных

N

невязок, функция φ˜ представляется в виде φ˜ = ∑ aiNi(Ω), где Ni – из-

i=1

вестные аналитические функции (функции формы), а ai подлежат определению, при этом в качестве базисных функций выбираются сами же функции формы {Wn} = [Ni]T .

Однако такой метод, называемый традиционным методом Галеркина, имеет следующие недостатки: 1) расчетная область должна иметь правильную форму, 2) большой объём вычислительной работы, 3) матрица плохо обусловлена.

6

Метод конечных элементов Галеркина

Недостатков метода можно избежать, если ту же аппроксимацию осуществить кусочно, используя полиномы, т. е. перейти к методу конечных элементов Галеркина. Здесь расчетная область разбивается на подобласти простой формы и искомая функция φ˜ аппроксимируется кусочно, полиномом на каждой подобласти (конечном элементе).

Рис. 1. Двумерные треугольные и четырехугольные конечные элементы: а – линейный треугольный конечный элемент, б – квадратичный треугольный конечный элемент, в – линейный четырехугольный конечный элемент, г – квадратичный четырехугольный конечный элемент

Ниже представлены аппроксимации, соответствующие тем или иным конечным элементам, показанным на рис. 1:

• φ˜ = α1 + α2x + α3y для линейных треугольных элементов (см.

рис. 1, а);

•φ˜ = α1 + α2x+ α3y+ α4x2 + α5y2 + α6xy для квадратичных треугольных элементов (см. рис. 1, б);

•φ˜ = α1 + α2x + α3y + α4xy для линейных четырехугольных элементов

(см. рис. 1, в);

•φ˜ = α1 + α2x + α3y + α4xy + α5x2 + α6y2 + α7x2y + α8xy2 для квадратич-

ных четырехугольных элементов (см. рис. 1, г).

7

Если расчетная область разбита на E конечных элементов и функция φ˜ определена кусочно со своими производными, тогда интегралы вида (4) могут быть получены суммированием их вклада по каждому конечному элементу:

и т. д. (если таковые существуют) и, учитывая что {Wn} = [Ni]T , общую формулировку метода конечных элементов Галеркина можно записать как

e=1Γne

Суммирование приводит к матричному уравнению следующего вида:

где [K] – матрица жесткости, {Φ} – вектор узловых значений, {F} – вектор нагрузки.

8

Функции формы

Чтобы определить значения интегралов (5) на каждом конечном элементе аппроксимационные полиномы функции φ˜ записываются в несколько ином виде, через функции формы. Рассмотрим эту процедуру на примере линейных треугольных конечных элементов (см. рис. 1, а).

φ˜ = α1 + α2x + α3y.

Решая эту систему уравнений, получаем следующие выражения для

α1, α2, α3:

Группируя, можно получить иной вид аппроксимации φ˜ :

φ˜ = NiΦi + NjΦj + NmΦm,

где Ni, Nj, Nm – функции формы линейного треугольного конечного элемента:

9

Таким образом, для любых конечных элементов искомую функцию φ˜ можно представить как

φ˜ (x, y) = [N(x, y)] {Φ},

где [N(x, y)] – функции формы конечного элемента, {Φ} – вектор узловых значений φ˜ , определяемый в ходе решений задачи.

Локальные системы координат

Однако вычисление интегралов (5) в глобальной системе координат (x, y) не всегда удобно и не всегда возможно. Поэтому имеет смысл перейти к локальной (местной) системе координат, связанной с конечным элементом, а именно:

1)записать функции формы и производные функций формы в местной системе координат,

2)использовать преобразование координат

f (x, y)dxdy = f {x(ξ, η), y(ξ, η) |J|dξdη},

RR

где R, R – старая и новая области интегрирования, |J| – абсолютное значение определителя преобразования системы координат, которое равно отношению площадей в двух системах координат Axy/Aζη. Если обе системы прямоугольные и масштабы измерения в них совпадают, то |J| = 1.

Для треугольного конечного элемента наиболее удобной является локальная система координат, определяемая L-координатами:

L1, L2, L3 (0 Lα 1), α = 1, 2, 3,

где Lα – отношение расстояния от некоторой рассматриваемой точки до стороны треугольника к высоте треугольника, опущенной на эту сто-

10