Метод конечных элементов Галеркина в задачах конвекции. Учебно-методическое пособие для студентов и аспирантов физических и математических специальнос

[γ] = м/с.

Граничные условия для функции тока:

•условие Дирихле φ = φ0, размерность [φ] = м2φ/с, в качестве масштаба выберем ν, ψ = φ/ν, или φ = ψν, тогда ψ = ν0 . Обычно φ0 = W H –

расход жидкости, тогда ψ=Re, где Re = W H/ν – число Рейнольдса.

Таким образом, безразмерные граничные условия для системы (27) –

Элементы матрицы [K] и вектора нагрузки {F} для уравнений двумерной стационарной термогравитационной конвекции в переменных «вихрь скорости – функция тока – температура», имеют вид:

21

∂T

где [C] – матрица демпфирования. Пусть ∂t = ZT – нестационарное урав-

нение (или система), где Z – дифференциальный оператор произвольного вида. Если предполагается линейность изменения функции на временном

по времени, при α = 1 – неявная схема по времени, при α = 0.5 – схема по времени Кранка – Николсона.

пряженности электрического поля, ε – диэлектрическая проницаемость, µ – динамическая вязкость, q – объёмная плотность зарядов, g – вектор ускорения свободного падения, β – коэффициент температурного расширения, T – температура, a – коэффициент температуропроводности, σ0 –

22

начальная проводимость (измеренная по линейному участку ВАХ), cp –

теплоемкость, φ – электрический потенциал, – плотность электрического j

тока, Di – коэффициент диффузии ионов.

Система состоит из уравнения сохранения импульса, включающего пондеромоторные силы (30); уравнения неразрывности, отражающего несжимаемость среды (31); уравнения энергии, включающего джоулев нагрев (32); закона Гаусса и условий потенциальности электрического поля (33); закона Ома (34) и закона сохранения электрического заряда (35). Система дополняется уравнением состояния (в приближении Буссинеска)

икраевыми условиями.

Вуравнении (30): 1/2E2 ε – силы, обусловленные неоднородной поляризацией, которая индуцируется, как правило, неравномерным нагре-

жидкости и причиной конвективного движения становится инжекция зарядов с электродов. Система уравнений изотермической электроконвекции значительно упрощается и имеет вид:

Уравнения (36)–(39) в двумерной постановке, для однородного электрического поля, аналогичны уравнениям Буссинеска, могут быть приведены к иному виду, не содержащему давления и имеющему на одно уравнение меньше:

23

Таким образом, в безразмерном виде уравнения изотермической электроконвекции в переменных «вихрь скорости – функция тока – объемная плотность зарядов» выглядят как

Элементы матриц [C], [K] и вектора {F}, для уравнений двумерной нестационарной изотермической электроконвекции в переменных «вихрь скорости – функция тока – объёмная плотность зарядов», имеют вид:

1 w

ci j = ∆τ Se NiNjdS,

w

fi = Niωe dS;

Se

для вихря скорости

1 w

ci j = ∆τ Se NiNjdS,

24

для объемной плотности зарядов

fi = ∆τ1 w Niqne−1dS.

Se

Здесь ci j – элемент матрицы демпфирования, ∆τ – шаг по времени, Ni,N j – функции формы, Se – площадь конечного элемента, e – индекс конечного элемента, ki j – элемент матрицы жесткости, fi – элемент вектора нагрузки; n – индекс шага по времени. Величины с нижним индексом e усредняются по каждому конечному элементу, величины с верхним индексом n − 1 относятся к предыдущему временному шагу. Матрицы [C] и [K], а также вектор {F} формируются суммированием по всем конечным элементам.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ КОНВЕКЦИИ

Смешанная конвекция в областях нерегулярной формы с неоднородными тепловыми условиями на границах

Задачи, связанные с анализом динамика комбинированных конвективных течений в сочетании с нерегулярной геометрией и неоднородными условиями на границах чрезвычайно сложны. Одним из видов комбинированных течений является смешанная термоконвекция, обладающая двумя взаимодействующими механизмами неустойчивости – конвективным и гидродинамическим.

Расчетная область представляет собой схематически полуоткрытый корпус некоторого радиоэлектронного устройства (РЭУ) с внешним охлаждением и локальным источником тепла в виде нагретого выступа (рис. 4). Часть верхней стенки является выходной границей. На выступе задана плотность теплового потока, температура остальных границ фиксирована и равна температуре окружающей среды. Вынужденное охлаждение осуществляется через подводящие каналы внизу корпуса [28]. Подобная геометрия является также типичной для задач обогрева и вентиляции помещений специального назначения и др.

Численные расчеты проводились для среды, характеризуемой критерием Прандтля Pr = 0.7, что соответствует воздуху, в диапазоне параметров Грасгофа 5 · 106 < Gr < 5 · 109 и Рейнольдса 103 < Re < 4 · 104.

25

Рис. 4. Схема расчётной области

В таких условиях реализуется заведомо турбулентный режим течения воздуха, характеризуемый колебаниями температуры, вихря скорости и функции тока. Симметричное стационарное решение неустойчиво при заданной совокупности параметров в данной геометрии, поэтому устойчивыми являются колебания интенсивности циркуляции и температуры, сказывающиеся на структуре потока.

На рис. 5 представлены мгновенные значения поля температур (см. рис. 5, a) и поля течения (см. рис. 5, б) для случая Gr = 2·109 и Re = 4·104. Видно, что нагретый вблизи поверхности выступа воздух не циркулирует внутри полости, а поднимается к выходной границе. Видна также циркуляция холодного воздуха, поступающего в полость извне через верхнюю границу. Значительные массы воздуха вблизи боковых стенок практически изотермические и имеют температуру, близкую к температуре стенок. Максимум температуры находится в верхней части источника.

Рис. 5. Мгновенные значения: а – изотерм и б – линий тока

26

Естественная конвекция в горизонтальных каналах с сечением нерегулярной формы

Элементы систем охлаждения, а также конструктивные элементы РЭУ часто имеют форму каналов с сечением нерегулярной формы. Наличие перепадов температур и поля силы тяжести приводит к возникновению вторичного (поперечного) течения, искажающего симметрию основного потока. Вторичное течение способно значительно интенсифицировать теплообмен. Влияние свободной конвекции приводит также к уменьшению длины начального теплового участка и стимулирует переход к турбулентному режиму при существенно меньших числах Рейнольдса.

Ниже представлены результаты моделирования смешанного конвективного течения воздуха в каналах Г-образной формы [29]. Расчетные области представляли собой Г-образные зазоры (каналы) между двумя горизонтальными соосными трубами квадратного сечения, разделенными продольными перегородками (ребрами) (рис. 6). Перегородки считались термически тонкими с пренебрежимо малым градиентом температуры по их толщине. Расчетные области Г-образной формы (в виде «уголка») рассматривались независимо друг от друга, предполагалась также симметрия полей температуры и течения в правых и левых каналах, относительно вертикальной плоскости, проходящей через ось труб.

Рис. 6. Поля температур (слева) и поля течений (справа) при Ra = 106

27

На рис. 6 показаны изотермы (слева) и линии тока (справа) для сво- бодно-конвективного течения воздуха при Ra = 106. В верхних Г-образных частях образуются течения, характеризуемые противоположным вращением двух вихрей разной интенсивности. Конвективное течение формируется в результате подогрева воздуха снизу и сбоку, имеет вид восходящей тепловой струи и наиболее интенсивно около вертикальных боковых стенок. Максимум температуры находится на горизонтальной поверхности внутренней трубы.

В нижних Г-образных частях течения одновихревые формируются при подогреве сбоку и сверху. Течение наиболее интенсивно также вблизи боковых стенок, при этом можно отметить существование значительной области почти покоящейся среды. Максимум температуры находится в месте соединения ребра с внутренней боковой стенкой.

Температурные волны в горизонтальном слое жидкости, охлаждаемом сверху

Развивающиеся в конвективном течении возмущения могут иметь форму движущихся по потоку периодических волн теплового пограничного слоя. Такие волны, возникающие при термогравитационной конвекции, наблюдались экспериментально и моделировались численно в вертикальных и наклонных слоях, а также в полубесконечнх средах.

В горизонтальном слое жидкости, охлаждаемом сверху, колебательные режимы, сопровождающиеся генерацией температурных волн пограничного слоя, были получены при численном моделировании термоконвекции в [30].

Рассматриваемая задача являлась задачей Рэлея – Бенара в постановке, отличной от классической: нижняя граница поддерживалась при постоянной температуре, на верхней границе был задан постоянный равномерный отток тепла, границы слоя – твердые и непроницаемые.

Расчеты проведены для жидкости с числом Прандтля Pr = 100 (Pr = = ν/χ, где χ – коэффициент температуропроводности). В начальный момент времени в равновесном слое жидкости задавалось тепловое возмущение специального вида, формирующее двухвихревое течение в конвективной ячейке при котором более «нагретые» объемы жидкости поднимались вдоль боковых границ, а более «холодные» – опускались в центре. При небольших значениях Gr и L/H устанавливалась стационарная про- странственно-периодическая «роликовая» конвекция. Рост числа Грасгофа и относительной протяженности ячейки приводил к появлению и увеличению асимметрии вихрей. Наконец, при Gr = 50 и L/H = 2.75 на этапе установления появлялись волны теплового пограничного слоя. По мере охлаждения слоя волны затухали, и только при Gr 250 и L/H 3.25

28

устанавливался автоколебательный режим. Сравнительно низкая величина числа Грасгофа Gr = 250 при Pr = 100 позволяла считать течение двумерным. Дальнейшее увеличение параметра L/H приводило к разрушению двухвихревого течения и формированию течения с тремя или четырьмя вихрями в ячейке уже при L/H = 3.5.

Механизм генерации температурных волн пограничного слоя в данной задаче связан с циклическим отрывом конвективных элементов (так называемых «термиков») от охлаждаемой поверхности и обусловлен неустойчивостью верхнего, более тяжелого слоя «холодной» жидкости. При этом температурные волны появлялись при достаточной протяженности конвективной ячейки, т. е. при достаточно большом горизонтальном размере одного из вихрей, что связано с относительно медленным ростом колебательных возмущений. Таким образом, область существования режима автоколебаний, сопровождающихся генерацией температурных волн пограничного слоя, в пространстве параметров Gr и L/H достаточно мала. Она ограничена по L/H медленным ростом колебательных возмущений, с одной стороны, и неустойчивостью вихрей с большим горизонтальным размером – с другой.

На рис. 7 представлены изотермы и линии тока полей температуры

итечения в некоторый момент времени на этапе установления при Gr = = 250, L/H = 3. Минимум температуры расположен на верхней границе слоя в основании «термика» (отмечен стрелкой сверху). Формулировка

ипараметры задачи обеспечивали существование достаточно тонкого теплового пограничного слоя вблизи нижней границы (см. рис. 7, a), кото-

а

б

Рис. 7. Мгновенные значения поля: a – температур и б – поля течения, Gr = 250, L/H=3

29

рый становился неустойчивым по отношению к тепловым возмущениям, вызванным периодическим отрывом и обрушением более «холодной» и, следовательно, тяжелой жидкости. На рис. 7 показан момент движения (справа налево) двух волн и начало формирования третьей (отмечены стрелками на нижней границе).

Влияние продольного течения на формирование структур термогравитационной конвекции в плоском горизонтальном слое

Представляют практический интерес исследования влияния различных осложняющих факторов на формирование структур рэлеевской конвекции, таких как влияние боковых границ, высокочастотной вибрации, теплового излучения, зависимости свойств среды от температуры и др.,

в том числе и влияние продольного течения, обусловленного градиентом давления, что формулирует задачу как смешанную. Следует отметить, что подобные течения чрезвычайно характерны для теплообмена в РЭУ.

Продольное течение существенно влияет на границы устойчивости и характеристики критических возмущений, а также приводит к появлению новых механизмов неустойчивости. При этом важную роль играет форма профиля продольного течения. Течение с профилем Куэтта (линейное распределение скорости) приводит к стабилизации, а также к уменьшению минимального волнового числа с увеличением скорости течения. При течении с профилем Пуазейля (параболическое распределение скорости) может иметь место взаимодействие двух механизмов неустойчивости – конвективного и гидродинамического. С увеличением скорости стационарного потока критическое число Рэлея вначале повышается (стабилизирующее влияние внешнего течения), а затем резко падает до нуля, когда на смену тепловому механизму неустойчивости приходит гидродинамический.

Далее исследуются взаимодействие конвективных и гидродинамических неустойчивостей, а также особенности формирования и динамики термоконвективных структур в жидкости с малым числом Прандтля Pr = = 0.7 (воздух) при продольном течении с профилем Пуазейля [31].

На рис. 8 представлены результаты численных расчетов для начального участка плоского слоя воздуха с вертикальным размером h = 10−2 м при разности температур горизонтальных границ 20°C и объёмных рас-

На нижней границе поддерживалась температура 20°C, на верхней границе 0°C. На выходной границе обеспечивались граничные условия, не искажающие поток. Профиль течения на входе считался плоским.

30