Метод конечных элементов Галеркина в задачах конвекции. Учебно-методическое пособие для студентов и аспирантов физических и математических специальнос
.pdf
а
б
в
Рис. 8. Мгновенные значения изотерм (сверху) и линий тока (снизу) для структур смешанного течения воздуха Pr = 0.7, Gr = 3.6 ·103 на начальном участке плоского горизонтального
канала, подогреваемого снизу (разность температур 20°C): а – объёмный расход 4·10−5 |
м3/с, |
Re = 2.8; б – объемный расход 6 · 10−5 м3/с, Re = 4.2; в – объёмный расход 7 · 10−5 |
м3/с, |
Re = 4.9 |
|
На горизонтальных границах задано изменение функции тока, соответствующее значению объемного расхода. В качестве начального состояния слоя использовалось линейное распределение температуры. Исследовалось влияние интенсивности внешнего потока на формирование и особенности динамики вторичных структур конвективного течения. Интенсивность внешнего потока характеризовалась критериальным числом Рейнольдса Re = W h/ν, где W – скорость на входе в канал.
Результаты моделирования позволяют констатировать, что влияние термоконвекции на внешнее течение проявляется в формировании устойчивых поперечных вихревых структур – областей с обратным течени-
31
ем. При этом коэффициент трения в соответствующих областях границы принимает отрицательные значения. С увеличением числа Рейнольдса начинает доминировать гидродинамический механизм неустойчивости и интенсивность вихревых структур, характеризуемая величиной функции тока, уменьшается до нулевого значения.
При данных значениях параметров влияние внешнего течения на структуры естественной конвекции приводит к существенной нестационарности режима. Интенсивность конвективных структур немонотонно меняется со временем при сохранении крупномасштабной пространственной структуры. Имеет место взаимодействие конвективного и гидродинамического механизма неустойчивости. Происходит пульсация вихревых структур, сопровождающаяся их деформацией. Вторичные вихри смещаются внешним течением.
Диапазон существования крупномасштабных термоконвективных структур в жидкости (газе) с малым числом Прандтля Pr = 0.7 (воздух) при продольном течении с профилем Пуазейля в данных условиях достаточно мал Re = 0 ÷ 5.6. Уже при Re = 5.6 влияние конвективной неустойчивости сводится лишь к возмущению внешнего течения. При дальнейшем увеличении числа Рейнольдса конвективный механизм играет роль возмущений.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Зенкевич О., Чанг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и
вмеханике сплошных сред : пер. с англ. О. П. Троицкого и С. В. Соловьева / под ред. д-ра техн. наук Ю. К. Зарецкого М. : Недра, 1974. 239 с.
2.Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М. : Мир, 1975. 541 с.
3.Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М. : Мир, 1977. 351 с.
4.Сегерлинд Л. Дж. Применение метода конечных элементов. М. : Мир, 1979. 392 с.
5.Норри Д., Фриз Ж. де Введение в метод конечных элементов. М. : Мир, 1981. 304 с.
6.Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М. : Мир, 1981. 216 с.
7.Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы : пер. с англ. М. : Мир, 1984. 428 с.
8.Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация : пер. с
англ. М. : Мир, 1986. 318 с.
9.Деклу Ж. Метод конечных элементов. М. : Мир, 1976. 95 с.
10.Сильвестер П., Феррари Р. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков. М. : Мир, 1986. 229 c.
11.Сабоннадьер Ж.-К., Кулон Ж.-Л. Метод конечных элементов и САПР.
М. : Мир, 1989. 192 c.
12.Коннор Дж., Бреббиа К. Метод конечных элементов в механике жидкости. Л. : Судостроение, 1979. 230 с.
13.Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред.
М. : Мир, 1976. 314 с.
14.Пасконов В. М., Полежаев В. И., Чудов Л. А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М. : Наука, 1984. 288 с.
15.Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М. : Энергоатомиздат, 1984. 197 с.
16.Полежаев В. И., Буне А. В., Верезуб Н. А., Глушко Г. С., Грязнов В. Л., Дубовик К. Г., Никитин С. А., Простомолотов А. И. Математическое модели-
рование конвективного тепломассообмена на основе уравнений Навье – Стокса.
М. : Наука, 1987. 271 с.
17.Берковский Б. М., Полевиков В. К. Вычислительный эксперимент в конвекции. Минск : Изд-во Минск. ун-та, 1988. 233 с.
18.Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М., Непомнящий А. А. Устойчивость конвективных течений. М. : Наука, 1989. 320 с.
19.Тарунин Е. Л. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. Иркутск : Изд-во Иркут. ун-та, 1990. 225 с.
33
20.Гебхарт Б., Джалурия Й., Махаджан Р., Саммакия Б. Свободноконвективные течения, тепло– и массообмен : в 2 т. М. : Мир, 1991. Т. 1. 409 с. ; Т. 2. 367 с.
21.Гетлинг А. В. Конвекция Рэлея – Бенара. Структуры и динамика. М. : Эдиториал УРСС, 1999. 247 с.
22.Ермаков М. К., Никитин С. А., Полежаев В. И. Система и компьютерная лаборатория для моделирования процессов конвективного тепло- и массообмена // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 1997. № 3. С. 22–38.
23.Дайковский А. Г., Полежаев В. И., Федосеев А. И. Применение метода конечных элементов в механике вязкой жидкости // Численные методы механики сплошной среды. 1980. № 11. С. 37–50.
24.Bourago N. G., Kukudzhanov V. N. Numerical Simulation of Elastic Plastic Media by Finite Element Method (Preprint IPMech AS USSR, 1988, no. 326, pp. 1– 63). Second edition // Computer Mechanics. 1991. Iss. 2. P. 78–122.
25.Аксёнов А. А., Гудзовский А. В. Программный комплекс Flow Vision для решения задач аэродинамики и тепломассопереноса методами численного моделирования // Материалы III съезда АВОК (Москва, 22–25 сентября 1993 г.). М. : АВОК, 1993. С. 114–119.
26.Смирнов Е. М. Использование современных вычислительных технологий для решения задач промышленной аэродинамики // Труды СПбГТУ. 2009. № 511. С. 36–55.
27.Афендикова Н. Г. История метода Галеркина и его роль в творчестве М. В. Келдыша // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. 2014. № 77. 16 с.
28.Ермолаев И. А., Жбанов А. И., Кошелев В. С., Хроменков В. В. Моделирование естественной термогравитационной конвекции в незамкнутой полости методом конечных элементов // Тепломассообмен-ММФ-96 : 3-й Минский междунар. форум. Минск, 1996. С. 236–240.
29.Ermolaev I. A., Zhbanov A. I., Koshelev V. S. Modeling of natural hermogravitational convection in horizontal channels with an irregularly shaped cross section // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. 2003. Vol. 76, № 4. P. 899–903.
30.Ермолаев И. А., Жбанов А. И. Температурные волны в горизонтальном слое жидкости, охлаждаемом сверху // Письма в ЖТФ. 2003. Т. 29, вып. 20. С. 21–25.
31.Ermolaev I. A., Zhbanov A. I., Kohelev V. S. Numerical simulation of natural convection secondary regimes arising after losses of base flow stability // ICND-96 : Intern. conf. (Saratov, July 8–14, 1996). Saratov : Saratov State University, 1996. P. 60.
Содержание
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
3 |
Теоретическая часть . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Метод Галеркина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Метод конечных элементов Галеркина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Функции формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Локальные системы координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Вычисление производных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Тепловая гравитационная конвекция. Математическая модель . . . . . . 16 Уравнения Буссинеска в безразмерном виде . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Изотермическая электроконвекция. Математическая модель . . . . . . . . 22
Примеры решения некоторых задач конвекции . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Смешанная конвекция в областях нерегулярной формы с неоднородными тепловыми условиями на границах . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Естественная конвекция в горизонтальных каналах с сечением нере-
гулярной формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Температурные волны в горизонтальном слое жидкости, охлаждае-
мом сверху . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Влияние продольного течения на формирование структур термогравитационной конвекции в плоском горизонтальном слое . . . . . . . 30
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Учебное издание
Ермолаев Игорь Анатольевич
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ГАЛЕРКИНА В ЗАДАЧАХ КОНВЕКЦИИ
Учебно-методическое пособие для студентов и аспирантов
физических и математических специальностей
Редактор Е. А. Митенёва
Технический редактор Т. А. Трубникова Корректор Т. К. Певная
Оригинал-макет подготовил И. А. Каргин
Подписано к использованию 30.09.2020. Формат 60 × 841/16.
Усл. печ. л. 2,09 (2,25). Объем данных 0,6 Мб.
Издательство Саратовского университета. 410012, Саратов, Астраханская, 83.