Метод конечных элементов Галеркина в задачах конвекции. Учебно-методическое пособие для студентов и аспирантов физических и математических специальнос

Преимущество использования L- координат при вычислении интегралов вида (5) заключается в следующем:

N1 = L1N2 = L2N3 = L3.

Для квадратичных треугольников (см. рис. 1, б):

N1 = 2L12 −L1, N2 = 4L1L2, N3 = 2L22 −L2, N4 = 4L2L3, N5 = 2L32 −L3, N6 = 4L1L3.

Вычисление производных

Вычислим производные для простейшего линейного треугольного конечного элемента. Для этого необходимо записать ∂Nα/∂x и ∂Nα/∂y в локальной системе координат L1, L2, L3, α = i, j, m:

11

Вычислим обратную матрицу Якоби

Пусть x = Ni xi + Nj xj + Nmxmy = Ni yi + Nj yj + Nmym. Будем считать,

12

det J = (xi − xm)(yj − ym) − (xj − xm)(yi − ym)

или det J = xibi + xjbj + xmbm, тогда

Поскольку в рассматриваемом случае det J = 2A, выражения для ∂Nα/∂x ∂Nα/∂y в локальной и глобальной системах координат совпадают (для линейного треугольника). Остальные производные для данного конечного элемента равны нулю.

Вычислим производные для квадратичного треугольника в местной системе координат (субпараметрический треугольный конечный элемент второго порядка) (см. рис. 1, б).

где α=i, k, j, ll, m, nn. Будем считать треугольник прямолинейным, т. е.

x = L1xi + L2xj + L3xm, y = L1yi + L2yj + L3ym.

Обратная матрица Якоби в этом случае будет иметь вид

"# " #

13

Приведем примеры вклада некоторых интегралов в матрицу конечного элемента для линейного треугольника (см. рис. 1, а).

14

15

Тепловая гравитационная конвекция. Математическая модель

Для решения задач тепловой гравитационной (а также концентра- ционно-гравитационной) конвекции чаще всего используются уравнения механики сплошной среды для термически сжимаемой жидкости (газа)

в приближении Буссинеска (Обербека – Буссинеска) [18]:

где V – вектор скорости, температура T ′(либо концентрация примеси C′) отсчитывается от среднего постоянного значения t (либо C), а давление p′ есть отклонение от гидростатического давления p˜, соответствующего постоянной температуре T и плотности ρ0, ν = η/ρ0 – коэффициент кинематической вязкости, n – единичный вектор, направленный вертикально вверх, a = λ/ρ0cp – коэффициент температуропроводности, g – ускорение силы тяжести, β – коэффициент теплового расширения.

Здесь (7) – уравнение движения, (8) – уравнение энергии, (9) – уравнение неразрывности, являющиеся уравнениями сохранения для произвольной области количества движения, энергии и вещества соответственно. Система уравнений дополнена в неявном виде уравнением состояния в виде

ρ = ρ0(1 − βT ′).

Модель Буссинеска является промежуточной между общими уравнениями механики сплошной среды, предполагающими зависимость плотности от давления, скорости и температуры, и уравнениями Навье – Стокса, предполагающими несжимаемость среды (ρ = const).

При выводе уравнений аппроксимации Буссинеска изменение плотности учитывается лишь в уравнении движения в слагаемом, представляющем собой архимедову (подъемную) силу, и не учитывается в остальных уравнениях. Учет изменений плотности только лишь в уравнении движения означает некоторую непоследовательность, поскольку отбрасываются члены исходных уравнений того же порядка, что и сохраняе-

мая архимедова сила. Однако сравнения многочисленных решений этих уравнений с экспериментальным материалом свидетельствуют о хорошем совпадении, по крайней мере, в лабораторных масштабах.

16

В двумерной скалярной постановке уравнения Буссинеска будут

где U, V x, y – компоненты вектора скорости, gx, gy – компоненты ускорения, создаваемого массовыми силами.

Система (10) – (13) может быть приведена к виду, не содержащему давления и имеющему на одно уравнение меньше, что существенно упрощает численное решение. Дифференцируя уравнение (10) по y, а уравнение (11) по x и вычитая (10)–(11), можно исключить давление. Вводя функцию ω = ∂U/∂y − ∂V /∂x и учитывая уравнение неразрывности, получим уравнение переноса для величины ω, где ω – вихрь скорости (завихренность) – векторная величина, описывающая локальное вращение жидкости.

Вихрь скорости характеризует угловую скорость в точке, предполагая, что ось вращения проходит через частицу, стянутую в точку. Для плоских течений остается одна не равная нулю составляющая вектора угловой скорости, т. е., строго говоря, ω = −ω. Тогда уравнения (10)–(13) в переменных «вихрь скорости – функция тока–температура» запишутся как

В уравнение (17) добавлены внутренние распределенные источники тепла (либо примеси для концентрационных задач), линейно зависящие

17

от температуры, где Q – мощность внутренних источников, b – коэффициент нелинейности.

Система (14)–(17) дополняется начальными и граничными условиями для ω, ψ, T ′. Предполагается возможность существования на границах

Условия на границах для функции тока и вихря скорости могут являться условиями Дирихле или Неймана, в зависимости от конкретной задачи. При этом основную трудность представляет определение граничных условий для вихря скорости на твердых непроницаемых границах.

Уравнения Буссинеска в безразмерном виде

В большинстве численных исследований используется безразмерный вид уравнений Буссинеска. Для задач с фиксированными тепловыми потоками в качестве масштабов расстояния, времени, скорости и температуры