Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Метод конечных элементов в задачах теплопроводности. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Математическое описание элемента







что полиномы Лагранжа — это базисные функции элемента, а базовые точки

, …, X

— координаты его узлов, или уз-

p+1

ловые точки.

Проиллюстрируем метод Лагранжа на примере изображенного на рисунке 4.4 элемента, образованного координатными линиями декартовой системы [4].

Использование равенств

элемент

2211

получим:

(4.2.1) и (4.2.2) на стороне 1—2 (y

= const) позволяет оп-

ределить u(x) на этой стороне:

где









;





Аналогично на стороне 4—3

Рис. 4.4. Четырехузельный



UxLUxLu 



()y сonst

Применяя эти же рассуждения для сторон с

= L1(x)U4 + L2(x)U3.

4—3

сonst

найдем

где







;









 uyLuyLyxu







Собирая полученные выражения, для аппроксимирующей функции элемента будем иметь:

(x,y) = L1(x)L1(y)U1 + L2(x)L1(y)U2 +

(x)L2(y)U3 + L1(x)L2(y)U4 = [N]{U}.

+ L

Видно, что попарные произведения полиномов Лагранжа соответствуют базисным функциям элемента:



yxN 1,

;



YyXx

 

lji

yxN 

;



YyXx

jik

Глава 4













 

Здесь

1

yxN 

 

XXYY



ik j

;

kij



YyXx

— площадь элемента.



yxN 







YyXx

ijl

Обобщая эти соотношения на трехмерный элемент — координатную ячейку, — придем к его математическому описанию в виде произведения трех лагранжевых полиномов, справедливому при любом S = 1, 2, 3:

где ξ



   

qi i i i i

— текущая переменная;

— координаты q-го и p-го узлов;

 





 



pqp

, p ≠ q, (4.2.3)

p — индексы узлов, с которыми узел q расположен на ко-

ординатных поверхностях

сonst

Как следует из (4.2.3), методом Лагранжа легко получить базисные функции всех элементов каталога, кроме второго, шестого и седьмого.

4.3. Обобщенный метод Крамера — Лагранжа

Особенность 2-го, 6-го и 7-го элементов в том, что они лишь частично образуются координатными поверхностями системы. Поскольку число их узлов

4

, применять к ним

универсальный метод Крамера нецелесообразно. Возможен другой, более эффективный способ, сочетающий методы Крамера и Лагранжа.

Введем иерархию элементов, подразделив их на порожда-

ющие с

4

и порождаемые с

4

. Порождение можно

осуществить трансляцией порождающего элемента в общем случае в произвольном направлении или его поворотом вокруг некоторой оси: на угол ∆θ — для ограниченно симметричных элементов либо на 2π — для осесимметричных. В результате размерность порожденного элемента увеличится на единицу.

Математическое описание элемента





































Так как порождающий элемент не образован координатными поверхностями, то его базисные функции находятся методом Крамера при Лагранжа, который равнозначен операциям трансляции или поворота. В силу этого достаточно базисные функции порождающего двумерного элемента умножить на полином Лагран-

жа

базисные функции порожденного объемного элемента

Применяя обобщенный метод Крамера — Лагранжа ко второму элементу каталога, для его базисных функций получим следующее выражение:

где

мента; а полиномы Лагранжа равны:

() ( )/( )

Lz z Z Z Z  ; () ( )/( ),

llil

в направлении орта трансляции, чтобы получить







,, ,

Nxyz NxyLz



qqp

— базисные функции (4.1.7) треугольного эле-



yxNq,

, а затем к нему применяется метод



1, 2, 3;



LNN

kjqiq

ij

1, 2; 1, 3; 2, 3;

при

Lz z Z Z Z

iili



,,,

ijk

 

,,,

lmn



. (4.3.1)

(4.3.2)

,;iplp

 (4.3.3)

Эти же формулы описывают и 7-й элемент базового каталога, если в базисных функциях переменные

, а в полиноме Лагранжа — z на :

У 6-го элемента на полиномы Лагранжа

ся лишь базисные функции узлов

Все полностью симметричные элементы базового каталога относятся к порожденным поворотом на 2π порождающих их двумерных элементов. В силу того, что при этом

базисные функции порожденных и порождающих их элементов идентичны.

LzrNzrN ,,,

и k .

pqq

, заменить на

. (4.3.4)



умножают-



1

Глава 4













4.4. Эрмитовы элементы

Наряду с лагранжевыми элементами можно использовать и эрмитовы элементы, базисные функции для которых могут быть получены аналогичным образом, но с применением эрмитовых полиномов вместо лагранжевых. При этом узловой вектор будет включать узловые значения не только функции, но и ее производные.

Для иллюстрации рассмотрим одномерный элемент с r узлами,

причем узлы не обязательно расположены равномерно. Пусть у каждого узла имеется две степени свободы — функция u(x) и ее производная du/dx. Следовательно, пробная функция для элемента может быть записана в виде:

ux N xU N x

() () () .





iii







(4.4.1)







У базисной функции N

в этом равенстве первый индекс

обозначает порядок дифференцирования по соответствующей узловой переменной, а второй — номер узла. Для того чтобы в

(4.4.1) в узле k давало u

и ∂uk/∂x, функции N

(x) и N1i(x)

должны (при i ≠ j) удовлетворять соотношениям:

) = 1, N1i(Xi) = 0, N

0i(Xi

) = 0, N1i(Xj) = 0, N

0i(Xj

′

(Xi) = 0, N

′

(Xj) = 0, N

′

(Xi) = 1,

′

(Xj) = 0.

(4.4.2)

Этим равенствам удовлетворяют эрмитовы полиномы:

() 1 2 ;

() ( ), .

Nx xX ji

()





()



()





()



В качестве конкретного примера рассмотрим случай r

XXx



XX XX

ij ij







 

(4.4.3)



= 2.

Равенство (4.4.1) при этом примет вид:

Математическое описание элемента

xx









() () () () () ,

ux N xu N x N xu N x

 

01 1 11 02 2 12



(4.4 4)

где базисные функции (записанные по индексам i, j) получены из (4.4.3) и (4.4.4):

()

Nx Nx

01 02

Xx Xx

() 1 2 ; () 1 2 ;

 

() ()

XX XX XX XX

() ( ),

Nx xX

 



j j

 

ji ji ji ji

()



()

xX xX



 

 



() ( ).

Nx xX

()



()



()

(4.4.5)

(4.4.6)

Для двумерных эрмитовых элементов интерполяция применяется дважды: первая — в направлении x, а вторая — в направлении y, что дает базисные функции в виде произведения одномерных базисных функций.

4.5. Свойства базисных функций элемента

В общем случае элементные аппроксимирующие функции





должны быть непрерывными, а их производные до

1n порядка — непрерывными или постоянными внутри ка-

ждого элемента и между ними ( водной в дифференциальном уравнении краевой задачи). Вследствие того, что по версии МКЭ

eee

( ) [ ( )]{ ( )},

uNU





iii

указанными свойствами должны обладать и базисные функ-

ции

элемента



Так как узловые значения функции

мерностью искомой физической величины ции элемента должны быть безразмерными. В этом нетрудно убедиться, проанализировав формулы предыдущих параграфов этой главы.

n — порядок старшей произ-

, , ...qij .



;

1, 2, 3

— это числа с раз-

V



u , базисные функ-

Глава 4



















Подставив в базисную функцию (4.2.3) координаты q -го

узла, получим:



    

qi ii ii



 





qpqp





Если в выражение (4.2.3) подставить координаты р-х узлов



qp  , то оно даст





 



. Таким образом, базис-



ная функция должна удовлетворять следующим необходимым условиям:









Просуммируем столбцы матрицы



. (4.5.1)

(4.1.6), описывающие ко-

эффициенты базисных функций (4.1.7) симплекс-треугольника:



11 1

 

11 1



 



aAAA





bAAAYYYYYY





cAAA XXXXXX

qkjikji





qjkkiij



11 21 31

  



12 22 32



13 23 33

так как



11 21 31

;  AAA



Из этих равенств вытекает еще одно необходимое условие, которому должны удовлетворять базисные функции произвольного (а не только треугольного) элемента с произвольным количеством

и это условие может быть отнесено к нормировочному.

узлов:











; (4.5.2)

V



Нарушение требования (4.5.2) однозначно свидетельствует, что какие-то (или все) базисные функции элемента определены неверно.

Математическое описание элемента









Градиент искомой физической величины u определяется производными базисных функций и узловыми значениями U



uN U

 



[()/]{()}

iqiii

Согласно (4.2.3) и (4.3.1) первые производные базисных функций элементов каталога будут содержать оставшиеся после дифференцирования текущие переменные и их произведения в первой степени. Такие элементы принято называть мультиплекс-элементами. У них непрерывными являются и первые производные базисных функций, но только по двум переменным, а вторые производные по стоянны.

У линейного тетраэдра (и треугольника), как видно из (4.1.12), первые производные базисных функций постоянны и равны

коэффициентам

dcb ,, при текущих переменных. Такие эле-

qqq

менты называют симплекс-элементами (простыми). Как было показано выше, суммы коэффициентов

Следовательно, для произвольного симплекс-элемента с лами имеем:

()



















1, 2, 3.

(4.5.3)

этим же переменным по-

dcb ,, равны нулю.

qqq

уз-

(4.5.4)

Соотношение (4.5.4) можно считать одним из признаков принадлежности элемента к семейству симплекс-элементов.

Постоянство градиента внутри симплекс-элемента требует использования малых по размерам элементов, чтобы точнее

аппроксимировать быстро меняющуюся функцию

томатически это обусловливает дискретизацию исследуемой области на большое число элементов со всеми вытекающими отсюда последствиями.

В заключение еще раз заметим, что элементы принято классифицировать на лагранжевы и эрмитовы в зависимости от того, включает узловой вектор только значения функции



. Ав-

Глава 4









(лагранжевы элементы) или также значения ее производных (эрмитовы элементы) [6]. Все элементы базового каталога по этой классификации являются лагранжевыми.

Задание 4

4.1. Найдите базисные функции элементов:

а)

б)

в)

2, 0

;

0,5

;

3, 8

;

2,9

;

2, 0

;

3, 8

;

0, 75

;

1, 5

г) докажите справедливость найденных выражений для всех базисных функций.

4.2. Покажите, что для симплекс-треугольника N

(x, y) = 0 в

узлах j и k.

4.3. Покажите, что

oтрезках L

Nxy

. Найдите значения этих функций, изменяя

значения x в пределах от X

до Xj и Xk, и постройте их графики.

в произвольных точках на

4.4. Покажите, что базисные функции 4-го элемента базо-

вого каталога удовлетворяют критерию (4.5.2).

4.5. Методом Лагранжа найдите базисные функции ради-

альных двумерных треугольника и четырехугольника, лежащих в основании 4-го и 5-го элементов каталога.

4.6. Методом Лагранжа найдите базисные функции эле-

ментов, порождающих элементы № 8—10 каталога.

4.7. Найдите трансляцией базисные фу

нкции 7-го элемента

базового каталога.

4.8. Найдите базисные функции для элементов

2 или 12

каталога. Проверьте результат по критерию (4.5.2).

4.9. Получите выражения для коэффициентов, входящих в

формулу (4.1.12) в случае тетраэдра.

Вычислительные аспекты МКЭ

Глава 5

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ МКЭ

В третьей и четвертой главах были рассмотрены первые два этапа применения МКЭ к решению краевых задач — построение сетки из конечных элементов и получение их базисных функций. В данной главе описаны и, по возможности, проиллюстрированы на конкретных примерах математические процедуры, приводящие к получению расчетных, т. программируемых соотношений метода.

5.1. Общее решение краевой задачи методом Галеркина

В рамках метода конечных элементов решение уравнения

переноса (1.1.15) можно найти с помощью его вариационной версии или версии метода взвешенных невязок, в частности метода Галеркина.

В первом случае требуется предварительно сконструиро-

вать функционал [2—4], обладающий экстремальными свойствами, что существенно снижает эффективность вариационного подхода. К тому же функционал, адекватный решаемой задаче, искомую функцию в узловых точках. Отсутствие жестких правил регламентации оставляет открытым вопрос о правильности построенного функционала вплоть до стадии проверки размерности получаемых на его основе расчетных соотношений метода. Указанные недостатки проявляются при работе в системе координат с порядком симметрии

пользование непосредственно дифференциального уравнения делает методы взвешенных невязок более предпочтительны-

может отсутствовать вообще или не минимизировать

1S

[1; 14].

Отсутствие процедуры формирования функционала и ис-

е.

Глава 5











ми, особенно если учесть возможность получения с их помощью решения, содержащего варьируемый параметр

S , т. е.

найти общее решение уравнения, справедливое в любой системе координат. Общее решение задачи получим с помощью метода Галеркина, для чего достаточно, как указывалось в 2.2, найти его для отдельного элемента (см. (2.2.2)).

Уравнение переноса (1.1.15) и граничное условие (1.2.7) к

нему должны быть записаны для произвольного элемента, что легко достигается приписыванием всем входящим в

них функциям и параметрам индекса (e), указывающего номер элемента. Запишем аппроксимирующую функцию элемента в более удобной матричной форме [10]:

где [

eee

( ) [ ( )]{ ( )},

uNU





iii

] — матричная строка размером





1, 2, 3,

, элементами

(5.1.1)

которой являются базисные функции элемента;

{()}

— вектор-столбец размером

значений иско-

мой функции в узлах элемента;

— число принадлежащих элементу узлов;

, ζi — текущие переменные и координаты узлов соответ-

ственно (i = 1, 2, 3).

В дальнейших выкладках для краткости записи индекс e

опускаем.

Согласно методу Галеркина для получения приближенного решения уравнения переноса (1.1.15) для элемента в общем виде достаточно все члены уравнения умножить на базисную функцию [N]

INk Ctg dV

где N

= [Ni Nj….Nr]T — вектор-столбец базисных функций для

элемента с

и проинтегрировать по объему элемента:



uS u

 



[]







 











NwdV N u dV

[] [] ( / ) 0,



(1 ) (2 )



iiiS

,2 ,1 ,3 ,2

hll

SSii







узлами.





,3 ,3

(5.1.2)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]