Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Метод конечных элементов в задачах теплопроводности. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 125 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Геометрические аспекты МКЭ

3.4. Индексация узлов

и формирование таблицы входных данных

При математическом описании элемента его узлы необходимо индивидуализировать, т.

е. сделать их отличимыми друг

от друга.

С этой целью каждому узлу присваивается индекс

rlkji ,...,,,, в зависимости от количества узлов элемента. Вы-

i -го узла элемента произволен, индексация остальных уз-

бор лов выполняется последовательно в направлении против часовой стрелки. Проиндексировав узлы, составляют таблицу, которая ставит индексы элемента в соответствие глобальным номерам его узлов. С помощью этой таблицы впоследствии осуществляется включение матрицы элемента в соответствующие глобальные.

Фиксация положения элемента в пространстве осуществляется мерованных узлов.

шается формированием геометрической части таблицы входных данных.

жена двумерная (для наглядности) область, разбитая на два элемента. Узлы, выбранные в качестве i-x, обозначены звездочками. В скобках указаны номера элементов



таблицы входных данных с указанием номера элемента по каталогу показана в таблице 2.

заданием координат его проиндексированных и зану-

Процесс дискретизации области определения задачи завер-

На рисунке 3.5 изобра-

и координаты узлов

ZR,

Геометрическая часть

Рис. 3.5. Пример дискретизации

сечения осесимметричной детали

Глава 3

Таблица 2

Геометрическая часть таблицы входных данных

Номер

элемента

по физическому

каталогу

(e) e

фк

(1) 9 4

(2) 3 5

Номер

элемента

по базовому

каталогу

Индекс

и номер

узла

i j

l 1 3 4 2 3 5 6 4

Координаты

узлов

Ri R R

R 0,0 2,0 2,0 0,0 2,0 3,0 3,0 2,0

Zi Z

1,0 1,0 3,0 3,0 1,0 1,0 3,0 3,0

Таблица входных данных должна содержать сведения о свойствах материала элемента — его механических, теплофизических, электрических и т.

п. свойствах, соответствующих

физической природе задачи. Эти сведения целесообразно объединить в единый физический каталог, в котором каждому ма-

териалу присвоен номер

. Например, девятый номер при-

фк

своен ниобию (Nb), а третий — нержавеющей стали. Введение в программу постоянно пополняемого физического каталога унифицирует ее и делает компактной таблицу входных данных, поскольку громоздкие, занимающие несколько разрядов данные о свойствах каждого элемента, (даже если они одинаковые) заменяются не более чем тремя разрядами номера материала

по физическому каталогу.

Геометрические аспекты МКЭ

Задание 3

3.1. Дискретизируйте объект — треугольную прямую призму — на два неодинаковые по размерам элемента. Задайте координаты узлов; составьте таблицу входных данных.

3.2. Дискретизируйте делением по углу и по длине на четыре элемента объект, представляющий собой четверть (по углу) полого цилиндра. Задайте координаты узлов; составьте таблицу входных данных.

3.3. Дискретизируйте сечение прямого кон

уса, имеющего высоту 10 см и радиус 5 см. Осевые размеры элементов возьмите по 1 см. Составьте таблицу входных данных.

3.4. Какие свойства материала элемента следует ввести в

физический каталог в задачах теплопроводности?

Глава 4





Глава 4

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЭЛЕМЕНТА

Изложенная в п. 2.2 основная концепция метода конечных элементов математически описывалась соотношениями (2.2.3) и (2.2.1):



ux u x x V

 



iii

eeeee

ux N xU X x V

 

Это означает, что независимо от используемой в дальнейшем версии МКЭ — вариационной или взвешенных невя-

зок — ищется приближенное решение

элемента вне связи с решениями для остальных элементов, а затем суммированием этих элементных решений находится приближенное решение задачи для области в целом.

Процедура отыскания

ется в нахождении конкретного вида базисных функций

элемента, т. е. в математическом его описании. Под-



робное рассмотрение этого этапа приводится в данной главе.





ininii





ux на первом этапе заключа-



4.1. Метод Крамера

Математическое описание элемента можно получить тремя

способами. В этом пункте приведен первый, как наиболее общий.

Для наглядности рассмотрим конкретный пример двумер-

ного треугольного элемента с тремя узлами

Представим приближенное решение для элемента полино-

мом 1-го ранга с неизвестными коэффициентами





 



  



ux для каждого e -го





1, 2, 3

kji ,, (рис. 4.1).



yxyxu



321

. (4.1.1)

Ayx,

1, 2, 3 :

Математическое описание элемента











Рис. 4.1. Элемент с тремя узлами

Подставляя в (4.1.1) координаты узлов и получаемые в ре-

зультате значения функции в каждом из узлов —

UUU ,,

kji

соответственно — получим систему уравнений (4.1.2) для определения

XY U



   

ii i

jj j

kk k

   





       



   

(4.1.2)

решение которой можно получить методом Крамера. Определитель этой системы уравнений равен 2А — удвоенной площади элемента [11]:

123

 

21 2

 

 



XYi

XYj A

XYk

(4.1.3)

Запишем в развернутом виде решение системы (4.1.2) на

языке алгебраических дополнений:

  

111 21 31

()

UAUAU

ijk

;

Глава 4





  

Подставим найденные значения

()() ()

212 22 31



  

313 23 33

UAU AU

ijk

()

UAUAU

ijk

в (4.1.1) и сгруппируем

члены, умножаемые на узловые значения функции U

uxy A Ax AyU A Ax AyU  

(, ) [ ] [ ]



11 12 13 21 22 23



AAxAyU



31 32 33



;

(q = i, j, k):

Выражения в квадратных скобках зависят от координат уз-

лов элемента и текущих переменных

и y. Их принято на-

зывать функциями формы, базисными или интерполяционны-

ми функциями элемента. Представим их в общем виде:

Nxy A xy



qqp

Элементами матрицы А









служат алгебраические дополне-



, kjiq ,,. (4.1.4)

ния определителя (4.1.3):



AAA



11 12 13



AA A

 

21 22 23

 

AAA



31 32 33



,1,2,3qp

; (4.1.5)

эти дополнения являются и определителями 2-го порядка.

Более удобна несколько иная форма записи базисных

функций:

Nxy a bxcy



qqqq





, kjiq ,,. (4.1.6)

Сопоставляя последнее выражение с (4.1.4) и (4.1.5), ви-

дим, что коэффициенты

cba ,, — это столбцы матрицы

qqq

(4.1.5) при фиксированном p = 1, 2, 3 соответственно; при фик-

Математическое описание элемента









сированном





 

той же матрицы. Например, при





при

и 1, 2, 3p для базисной функции будем иметь:





Nxy a bxcy A Ax Ay 

 

iiii

kji

это элементы соответствующей строк

321



kjiq ,,

получим:

;



11 12 13

Раскрывая алгебраические дополнения, найдем конкрет-

ные выражения коэффициентов через координаты узлов элемента:

= XjYk – XkYj; aj = XkYi – XiYk; ak = XiYj – XjYi;

= Yj – Yk; bj = Yk – Yi; bk = Yi – Yj; (4.1.7)

= Xk – Xj;

= Xi – Xk; ck = Xj – Xi.

Переход к другим системам координат осуществляется за-

меной текущих переменных

, y: в цилиндрической — на r,

; в сферической — на r и r.

С введением понятия базисной функции аппроксимирую-

щую функцию (4.1.1) (или (4.1.4)) можно представить как явную функцию ее узловых значений

,,(,)

uxy NxyUXY



N xyU X Y N xyU X Y

 





,(,) ,(,),

iiii

JJJ k kk k

U :

(4.1.8а)

или в матричной форме:

где [

{

(x,y)] — матричная строка базисных функций;

(,)

UXY

eee

(, ) [ (, )]{ ( , )}

uxy Nxy U XY , (4.1.8б)

} — вектор-столбец значений функций в узлах

элемента.

Глава 4



Степень аппроксимирующего полинома определяет число

узлов, которым должен обладать элемент: оно должно равняться числу неизвестных коэффициентов

, входящих в по-

лином. Например, если вместо (4.1.1) взять полином 2-й степени:

uxy x y x xy y



    

     ,

12 3 4 5 6

то для определения

элемент должен содержать шесть уз-

лов — q = 1, 2, ... 6.

Располагать дополнитель-

ные узлы ,,lmn следует на

сторонах треугольника, желательно (но не обязательно) в их серединах, как показано на рисунке 4.2. Эле-

Рис. 4.2. Расположение

дополнительных узлов

на сторонах элемента

менты с полиномом 2-й степени называют квадратичными, 3-й степени — кубичными и т.

д. Находить базис-

ные функции этих элементов очень сложно, так как для этого необходимо раскрывать определители q-го порядка.

Если дополнительные узлы соединить прямыми, то тре-

угольный элемент разобьется на четыре треугольные подобласти меньшего размера. Замена квадратичного элемента че-

тырьмя линейными существенно упрощает математическую процедуру отыскания решения, так

как система уравне-

ний становится линейной.

Аппроксимирующую функцию (4.1.1) для двумерного треугольника легко обобщить на

Рис. 4.3. Трехмерный элемент

трехмерный элемент — тетраэдр (рис. 4.3) — добавлением третьей — z-й координаты:

Математическое описание элемента









,, ;

uxyz x y z





  

12 3 4

Vzyx ,, . (4.1.9)

Из вида (4.1.9) следует, что формулы для тетраэдра полу-

чают, минуя все процедуры, из

 

] — алгебраические дополнения определителя (4.1.10) —











формул для треугольника:

XYZ

ii i

XYZ

jj j

XYZ

kk k

XYZ

ll l

q bq

AAAA

11 12 13 14

AA AA

21 22 23 24

AAAA

31 32 33 34

AA AA

41 42 43 44

cq dq



  





(4.1.10)

ставятся определителями 3-го порядка.

Базисные функции тетраэдра будут иметь вид, аналогич-

ный функциям треугольного элемента (4.1.4) или (4.1.6):

xyz A xyz

,, 1



qqp





 

ijkl









1234



1, 2, 3, 4



(4.1.11)

или

Nxyz a bxcydz



qqqqq



. (4.1.12)



Формула интерполяционной функции тетраэдра имеет вид:

eee

( , , ) [ ( , , )]{ ( , , )}.

u xyz N xyz U X Y Z

qq q

(4.1.13)

Описанный первый способ получения базисных функций,

основанный на решении уравнений методом Крамера, удобен

Глава 4





для простых, так называемых симплекс-элементов, допускающих использование полинома первого порядка. Число узлов симплекс-элементов на единицу больше его размерности,

е. минимально возможное. Для элементов, контуры которых

т. не совпадают с координатной сеткой системы, первый способ является единственно возможным.

4.2. Метод Лагранжа

Достоинство первого способа состоит в его применимости к любым элементам независимо от их размерности и количества узлов. С его помощью при известном в явном виде аппроксимирующем полиноме р-го ранга базисные функции в принципе всегда могут быть найдены, так как матрица типа (4.1.2) обратима, поскольку ее определитель (4.1.3) отличен от нуля — площадь или объем элемента никогда не равны нулю. Универсальность метода Крамера нивелируется его неэффек-

4

тивностью при числе узлов элемента

К элементам, образованным координатными линиями, целесообразно применять более простой метод Лагранжа.

Рассмотрим аппроксимацию функции u(x) полиномом р-го ранга, считая, что значения функции заданы как

1p

точках Xp, …, X

. Из численного анализа известно, что

p+1

,...,

p

функция u(x) может быть задана как полином р-й степени:

11p



(x) — полином Лагранжа, определяемый равенством:

где L

ux L x U

 















, (4.2.1)



. (4.2.2)



Если под u(x) понимать аппроксимирующую элементную

функцию



, то из сопоставления (4.2.1) с (2.2.1) видно,

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 125 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]