Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод конечных элементов в задачах теплопроводности. Учебное пособие
.pdf
Краевые задачи теории поля
1.3. Краткая характеристика
*
методов решения краевой задачи
Классификация методов решения тесно связана с видом
математической формулировки задачи теплопроводности. Кроме того, их можно разделить по общим признакам на три большие группы: точные аналитические, приближенные аналитические и численные методы.
Аналитические методы позволяют получить функциональ-
ные зависимости для распределения температуры и проанализировать влияние различных факторов на
температурное поле
исследуемого объекта [20—24]. При математической формулировке задачи в виде дифференциального уравнения теплопроводности и соответствующих краевых условий определение температурного состояния тела связано с непосредственным решением этого уравнения. Возможности точных аналитических методов в этом случае ограничены, как правило, решением линейных задач теплопроводности, когда теплофизические
характеристики материала не зависят от температуры, а
граничные условия выражаются линейной комбинацией температуры и ее градиента на поверхности тела. Сферу применения точных аналитических методов удается расширить путем
линеаризации нелинейных задач. Однако, при этом погрешности, внесенные в математическую формулировку при линеаризации, в некоторых случаях могут быть настолько
существенными, что приведут к большим количественным ошибкам, а
иногда исказят и физический смысл полученного решения [44].
Точное аналитическое решение нелинейных задач теплопроводности обычно возможно лишь при определенных сочетаниях зависимостей теплофизических характеристик матери-
*
Этот пункт может быть опущен читателем, знакомым с методами
решения краевых задач, без ущерба для понимания последующего
материала.
21
Глава 1
ала тела от температуры [26]. Возможности точных аналитических методов в случае анизотропности теплофизических свойств
крайне ограничены. Наконец, эти методы приложимы к получению и исследованию температурного поля тел (конструкций) простой геометрической формы (пластина, цилиндр, шар)
и лишь при осесимметричных граничных условиях. Тем самым задание локальных граничных условий, наиболее часто
встречающихся в реальных конструкциях, выпадает из рассмотрения.
Для приближенного аналитического решения нелинейных
дифференциальных уравнений теплопроводности разработаны
методы последовательных приближений (простой итерации
[24] или усреднения функциональных поправок [24]), возмущений (малого параметра), различные асимптотические и вариационные методы [20; 24].
Инженерные методы расчета температурных полей конструкций (или их элементов) сочетают в себе
как приближенные
аналитические, так и численные методы [19;31;36; 44; 52].
Методы численного решения являются приближенными,
так как они базируются на переходе от непрерывной (континуальной) математической модели процесса теплопроводности к
приближенной дискретной модели. Однако выбор параметров
дискретной модели позволяет регулировать степень приближения, а гибкость и универсальность численных методов в сочетании с удобством
их компьютерной реализации дает возможность получать приемлемые для инженерной практики результаты.
С точки зрения достоверности определения температур
элементов конструкции и возможностей учета влияния всех
существенных факторов наиболее эффективны численные методы. Совершенствование и распространение вычислительной
техники превращают эти методы в удобный, а, зачастую, и
единственный инструмент анализа тепловых
режимов конструкций и агрегатов различного назначения на стадиях их проектирования и экспериментальной отработки [31; 38; 47; 48;
50—52].
22
Краевые задачи теории поля
Численные методы базируются, как правило, на уравнении
переноса, представленном в дифференциальной или в интегральной формах. Различия между ними состоят в способе использования уравнения и краевых условий. Одними из широко
распространенных являются методы, основанные на конечноразностной аппроксимации уравнения и граничных условий.
Однако по точности они уступают численным методам решения нели
нейных интегральных уравнений [24].
При решении тепловых задач комплексного проектирования объектов космической техники широко используется так
называемый метод изотермических элементов (метод алгебраического приближения), основанный на системе уравнений
элементарного баланса тепловых потоков в дискретной модели конструкции, состоящей из теплоемких масс и теплопроводящих стержней (элементов) [32; 45—52]. Достоинство метода —
исключительная геометрическая ги
бкость; недостаток — сложность расчета кондуктивных связей между элементами и, главное, отсутствие полной физической адекватности исследуемому процессу переноса (игнорирование контактного термического сопротивления на границе между элементами).
Задание 1
1.1. Получите выражения уравнения переноса (1.1.15) в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат: S = 1, 2, 3.
1.2. Проделайте эту же операцию для граничных условий
(1.2.7).
Глава 2
Глава 2
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
В КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ ПОЛЯ
Метод конечных элементов (МКЭ) является численным
методом и основан на замене объекта (конструкции или ее
части) совокупностью подобластей (элементов), для каждой
из которых отыскивается приближенное решение задачи теплообмена. Это означает, что для каждого элемента необходимо записать дифференциальное уравнение переноса и граничные условия, характеризующие процессы теплообмена на
граничных поверхностях
лучить решение в том или ином виде. Объединение «элементных» решений по определенному правилу дает решение
задачи для объекта в целом. В этой главе будет изложена основная концепция МКЭ.
2.1. Методы взвешенных невязок
Большая группа методов приближенного решения диффе-
ренциальных уравнений базируется на математической формулировке, связанной с интегральным представлением взвешенной невязки. Эту группу методов называют методами
взвешенных невязок [4; 12; 13].
Пусть имеется дифференциальное уравнение и граничное
условие к нему
именно этого элемента, а затем по-
0
uF , Sx
puL , Vx
0
0
0
i
; (2.1.1)
i
. (2.1.2)
где L — дифференциальный оператор;
— пространственные координаты;
x
i
V и S — объем и внешняя граница исследуемой области;
u
— точное решение.
0
24
Метод конечных элементов в краевых задачах теории поля
Будем считать, что некоторая функция u также является
решением уравнения, и оно может быть аппроксимировано
набором функций
xN :
in
M
, , (2.1.3)
n
1
xNaaxu
innni
при этом коэффициенты
жащие определению с помощью некоторой математической
процедуры.
В методах невязки эта процедура состоит из двух последо-
вательных этапов. На первом этапе подстановкой приближенного решения (2.1.3) в уравнение (2.1.1) находится функция
ax ,
— ошибка, или невязка, которая характеризует сте-
ni
пень отличия u(x
В итоге получается алгебраическое уравнение, содержащее
текущие координаты
фициентов
На втором этапе на функцию невязки (2.1.4) накладывают-
ся требования, которые минимизируют или саму невязку (метод коллокаций), или взвешенную невязку (метод наименьших
квадратов и метод Галеркина).
В методе коллокаций полагают, что дифференциальное урав-
нение удовлетворяется только в некоторых выбранных (произвольно) точках — точках коллокаций
количество которых равно числу неизвестных коэффициентов
a . В этих М точках невязка должна равняться нулю, что при-
n
водит к системе М алгебраических уравнений для М коэффициентов
a :
n
) от точного решения
i
xa Lux p
a .
n
a — неизвестные величины, подле-
n
u :
0
,[ ]0
in i
x и М по-прежнему неизвестных коэф-
i
. (2.1.4)
21
XXXx ,...,,
iiii
M
,
i
n
0,
ax
. (2.1.5)
n
25
Глава 2
В методах взвешенной невязки сначала формируют взве-
шенную невязку путем ее умножения на некоторые весовые
функции
w , а затем минимизируют ее в среднем:
i
В методе наименьших квадратов (методе Рэлея — Ритца) в
качестве весовой функции выбирается сама ошибка, т.
w , и требуется, чтобы полученная таким способом вели-
i
чина (функционал) была минимальна:
Для этого должно выполняться условие
приводящее к системе алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов.
В методе Галеркина в качестве весовых функций берутся
сами функции
их ортогональность невязке
L — линейный оператор, то система (2.1.9) перехо-
Если
дит в систему алгебраических уравнений относительно коэффициентов
Рассмотрим метод Галеркина на конкретном примере [4].
Дано уравнение на промежутке
a .
n
,0.
xa w x wdV
in i i i
IdV
axu , , называемые базисными, и требуется
nin
V
V
aI
n
:
V
22
2
.
, (2.1.8)
0
10
x :
(2.1.6)
е.
(2.1.7)
. (2.1.9)
dVaxuaxu 0,,
ninnin
0
xuxupuL ,
с граничными условиями:
26
00u ,
01u .
Метод конечных элементов в краевых задачах теории поля
x
Возьмем аппроксимирующую функцию
,,,
uxa u xa u xa au x au x
112 2 11 22
n
(1 ) (1 ),
ax x ax x
12
2
удовлетворяющую граничным условиям (2.1.2) при любых
На первом этапе находим невязку:
,, , 2
aa Luxa p x x x a
12 1
(62)
n
23
xx x a
2,
2
Выполним процедуру второго этапа:
1
1
0
1
2
0
2
dxxxa
.
01
,
01
dxxxa
Интегрирование приведет к системе двух уравнений:
a .
n
33
10 20
313
20 105
a
a
решением которых будут следующие значения
;
369711a
. Приближенное решение имеет вид:
4172a
( ) 1 71 369 7 41ux x x x
1
12
1
2
20
,
1
a :
n
.
Сопоставление приближенных результатов, полученных
различными методами, с точным решением дано в таблице 1.
Приближенные u(x), полученные различными методами
u(x) приближенное
x
0,25 0,045 0,043 0,0440 0,044014
0,50 0,071 0,068 0,0698 0,069747
0,75 0,062 0,059 0,0600 0,060056
Метод
коллокаций
Метод
Ритца
Метод
Галеркина
Таблица 1
u(x)
точное
27
Глава 2
L
Из таблицы 1 видно, что при одинаковых во всех методах
аппроксимирующих функциях наилучшее приближение к точному решению обеспечивает метод Галеркина. Кроме того,
данный метод применим при решении и нелинейных задач,
включая те, для которых не существует функционала, необходимого при использовании метода Рэлея — Ритца.
2.2. Основная концепция метода конечных элементов
Главная трудность при непосредственном применении
классических методов взвешенных невязок связана с выбором
базисных функций для всей области определения. Эти функции должны не только удовлетворять граничным условиям, но
и достаточно полно описывать геометрию и другие характеристики задачи. Все эти условия обычно трудно выполнить, особенно для объектов (конструкций) сложной
геометрии при наличии сложного теплообмена, и поэтому возможности методов в их классическом смысле весьма ограничены.
С появлением быстродействующих компьютеров получила
развитие идея локализации аппроксимирующих функций в ма-
лых областях (подобластях), называемых конечными эле-
ментами [2—4; 6]. Это означает, что к каждой из этих по-
добластей можно применить метод взвешенных невязок и
тем
самым получить решение задачи для каждой подобласти с ее
граничными условиями. Однако
в методах взвешенных невязок
нет процедуры объединения этих
решений для всей области определения задачи. Данная процедура должна быть предложена в
методе конечных элементов.
Пусть имеется некоторая об-
Рис. 2.1. Разбиение области
на элементы
ласть определения задачи, ограниченная контуром
, как это
изображено на рис. 2.1. Внутри
этой области и на ее контуре
28
Метод конечных элементов в краевых задачах теории поля
x
r
можно задать произвольное количество точек с координатами
i
пусть будут U
. Значения искомой функции в данных точках
2,1iX
(Х). Соединяя точки прямыми линиями, полу-
i
чим подобласти, совокупность которых аппроксимирует область в целом. Нелинейные участки контура L заменяются
прямолинейными. Важно отметить, что полученная сетка из
элементов, с помощью которой моделируется область определения задачи, не является регулярной ни геометрически, ни
топологически. Это означает, что размеры и формы подобла-
(элементов), которые моделируют область определения
стей
задачи, могут изменяться произвольно, их взаимные соединения не обязательно должны следовать какой-либо регулярной
структуре. Последнее обстоятельство обеспечивает геометрическую гибкость метода. Важная особенность МКЭ состоит в
том, что первоначально при локальной аппроксимации функции на конечных элементах их можно рассматривать независимо друг
от друга. Это значит, что каждый элемент можно
считать изолированным от всей совокупности и аппроксимировать функцию на этом элементе с помощью ее значений в
его узлах — независимо от того, какое место займет рассматриваемый элемент в связанной модели и от поведения функции на других конечных элементах. С математической точки
зрения это означает следующее. Для каждого элемента записывается локальная (элементная) аппроксимирующая функция:
eeee
где
n
n
V
e
ux NxUX
— число узлов, принадлежащих e -му элементу;
e
— значения искомой функции в его узлах;
XU
i
e
— базисная функция;
xN
i
e
— объем элемента.
r
inini
1
n
,
1, 2, 3i
,
i
e
, (2.2.1)
V
Поскольку каждый элемент рассматривается отдельно, то
его свойства изучаются независимо от других элементов, т.
е.
дифференциальное уравнение с соответствующими граничными условиями решается для каждого
e -го элемента, на-
пример методом Галеркина [2—4; 12]:
29
Глава 2
r
ee e e e e e
,0.
uLNxUXpNxdV
nin i ni
e
1
n
V
(2.2.2)
Полученные на основе (2.2.2) матрицы для отдельных эле-
ментов, которые содержат в качестве неизвестной узловые
eie
значения функции
, формируют в глобальные матрицы
XU
n
для всей области определения. Разрешая полученную таким
образом систему алгебраических уравнений, определяют значения искомой функции в узлах, что позволяет найти приближенное решение задачи для всей области в целом:
E
e
e
xuxu
, 1, 2, 3i
i
1
, Vx
, (2.2.3)
i
i
где E — число элементов, совокупность которых аппроксимирует область
V в целом.
Реализация в рамках МКЭ представления области определения совокупностью конечных элементов обусловливает следующие важные преимущества МКЭ, обеспечивая его широкое применение для решения задач теории поля:
— локальная аппроксимация на каждом элементе единственным образом определяется значениями искомой функции в
узловых точках;
— обеспечивается широкая вариация задания граничных
условий на отдельных участках границы (внешней и внутренней) области;
— криволинейные участки границ области могут быть аппроксимированы прямыми линиями;
— размеры и геометрическая форма элементов могут быть
разными;
— взаимные соединения элементов не обязательно должны следовать какой-либо регулярной структуре;
— свойства материала каждого элемента могут быть индивидуальными и
к тому же анизотропными;
— обеспечивается возможность повышения точности ре-
шения задачи путем увеличения количества элементов, ограничиваемого лишь мощностью используемого компьютера;
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]