Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод конечных элементов в задачах теплопроводности. Учебное пособие
.pdf
Вычислительные аспекты МКЭ
N
Соотношение (5.1.2) содержит дифференциальный оператор 2-го порядка, что не позволяет использовать линейные базисные функции, математически описывающие элементы базового каталога. С целью понижения порядка оператора выра-
u
зим вторую производную функции
менной
l следующим образом:
i
2
TT
[] []
NN
l
i
uuNu
2
llll
iiii
по обобщенной пере-
i
T
[]
. (5.1.3)
Первое слагаемое в (5.1.2) на основе (5.1.3) представим в виде:
2
33 3
uuNu
TT
[] []
N k dV N k dV k dV
ee e
VV V
ii ii ii
11 1
ii i
2
l
i
ll ll
ii ii
T
[]
.
(5.1.4)
Воспользовавшись теоремой Остроградского — Гаусса,
заменим в (5.1.4) первый интеграл по объему интегралом по
поверхности
VS
охватывающей объем элемента
,eS
33
[] []
N k dV N k dS
ll l
ee
ii
11
ii i
uu
TT
ii ii
e
:
V
.
Подынтегральное выражение в поверхностном интеграле
выразим из предварительно умноженного на
T
[]
N граничного
условия (1.2.7):
3
[] [] []
i
1
u
TTT
kNuND
ii S S
l
i
.
Используя версию МКЭ (5.1.1), можем написать:
uN
ll
ii
uU
;
[] []{}
U
{}
NNU
.
Подставляя полученные путем указанных преобразований
результаты в уравнение (5.1.2), решение задачи для элемента e
запишем в общем виде:
61
Глава 5
.
,3 ,3
iS
T
(5.1.5)
3
NS
[] 1
ee
Ik NCtg
N
[]
l
ii i
e
V
i
lh
i
1
iS S
UdV N N UdS N N UdV
{} ([ ][ ]){} [ ][ ]{}
ee
SV
eT T
w N dV D N dS
[] ([]) 0.
ee
VS
(1 )( 2 )
,2 ,1 ,3 ,2
iiiS
1
,3
TeT
SSJ
JJ
SSJ
JJ
3
dhdV
ii
1i
,
[] ()
j
j
e
SS
Найденное методом Галеркина общее решение (5.1.5)
справедливо для элемента любой размерности
метрии
с произвольным r числом узлов. При вариа-
1, 2, 3S
и гео-
1, 2, 3i
ционном же подходе функционал необходимо конструировать
для каждой из систем координат отдельно.
Решение для всей области определения получается сумми-
E
e
рованием по всем E-элементам элементных вкладов:
e
.
II
1
5.2. Матричное представление элементного вклада
Из курса матричной алгебры известно, что произведение
1
s
матрицы размером
ром
1 s
(матричная строка) дает матрицу размером
(вектор-столбец) на матрицу разме-
ss
Поэтому подынтегральные выражения в формуле (5.1.5) для
вклада элемента с r узлами в решение задачи представляют собой матрицы размером r x r, или — как последние два члена —
1r
вектор-столбцы размером
. Так как интегралы берутся в
определенных размерами элемента пределах, членами проинтегрированных матриц будут в конечном итоге числа, независимо от того, в каком виде удается осуществить интегрирование — в аналитическом или численном.
.
62
Вычислительные аспекты МКЭ
r
Каждая матрица имеет свое традиционное наименование в
зависимости от физической природы решаемой задачи. Так, в
задачах теплопроводности первый член в (5.1.5) называют
объемной частью (интегрирование ведется по объему элемен-
i
та) матрицы теплопроводности
, описываемой следующим
[]
k
V
выражением (5.2.1):
3
i
[] []
kk N Ctg
Vii i
e
V
NS
e
lh
1
i
iS S
N
dV
l
i
12
1
iiis
,2 ,1 ,3 ,2
1
,3
.
Верхний индекс показывает, по какой переменной
T
,3 ,3
iS
(5.2.1)
осу-
i
ществляется дифференцирование базисных функций элемента.
Ранг матрицы равен
, где r — число узлов элемента. У эле-
ментов базового каталога r = 4÷8.
Вид производных базисных функций, полученный на основе (1.1.14) —
1
hl
, — с учетом значений пара-
iii
метров Ляме в различных системах координат (см. (1.1.10))
представлен в таблице 3.
Таблица 3
Производные базисных функций
S
i =1 i = 2 i = 3
1
∂/∂x
2
∂/∂r
3
∂/∂r
(1/rSinβ) ∂/∂θ
∂/∂li
∂/∂y
(1/r) ∂/∂θ
∂/∂z
∂/∂z
(1/r) ∂/∂β
dV
dxdydz
rdrdθdz
2
drdθSinβdβ
r
В матричном представлении первый член в (5.1.5) имеет вид:
3
e
[ ]{} [ ]{}
kT k T
VV
i
i
,
i
1
. (5.2.2)
3,2,1
63
Глава 5
j
j
j
В соответствии с физической природой задачи вместо
берем температуру
{}
U
q
{}
T
q
.
Число компонент объемной части матрицы теплопроводности (5.2.1) равно трем (по числу координат) для естественно
ограниченных
и ограниченно симметричных
1S
2,3S
элементов. У полностью симметричных элементов оно сократится до двух — вследствие азимутальной симметрии
компонент
2i
исчезнет.
-й
Вторую матрицу в (5.1.5), также умножаемую на векторстолбец
проводности элемента, но ее поверхностной
рование ведется по поверхности
{} {}UT
, по аналогии называют матрицей тепло-
частью (интегри-
-й грани):
eeT
[] ,
kNNdS
SS j
j
S
j
у матричного произведения (NTN)Sj ба-
S
j
S
j
j
e
. (5.2.3)
SS
j
зисных функций означает, что базисные функции узлов, не
принадлежащих
-й поверхности, должны быть заменены ну-
лями согласно их свойству (4.5.1), а объемные (трехмерные)
базисные функции принадлежащих грани узлов — преобразованы, т.
е. из объемных превращены в двумерные поверхност-
ные базисные функции, так как поверхность описывается
уравнением
что и
для разных поверхностей выражается по-разному.
dS
j
i
(т. е. нормальна орту
сonst
e
). Очевидно,
i
Проиллюстрируем сказанное на конкретном примере.
Пусть
-й поверхностью является нижняя грань второго эле-
мента каталога и ей присвоен номер 1. Она содержит узлы
и следовательно, базисные функции остальных узлов
,,,ijk
. Уравнение плоскости, которой принадле-
0
NNN
nml
жит первая поверхность: z = Z
= Z j= Zk = const. Это означает,
i
что в базисных функциях узлов данной поверхности текущую
64
Вычислительные аспекты МКЭ
переменную z нужно заменить на их Z-e координаты, в силу
чего на основе (4.3.3) полином Лагранжа L
(z) станет равным
l
единице. Для базисной функции на этой грани будем иметь:
(x,y,z)Sj = Nq(x,y), q = i, j, k, dSj = dxdy.
N
q
Вторая — верхняя — грань идентична первой, но у нее
N
= Nj,= Nk = 0; z = Z
i
, поэтому
l,m,n
.
1
zL
i
Остальные грани не являются в общем случае координатными плоскостями, в связи с чем базисные функции их узлов
нельзя преобразовать; кроме того,
5,4,3
, что услож-
dldzdS
няет процедуру интегрирования.
Базисные функции тетраэдра также не преобразуются в
общем случае, но процедура интегрирования упрощается переходом к естественной системе координат (см. п. 5.3).
В матричном представлении второй член в решении (5.1.5)
имеет вид, аналогичный (5.2.2):
n
— число граней элемента, на которых
где
ee
[]{} [ ]{}
kT k T
SS
n
ji
, (5.2.4)
j
0
S
j
.
Число компонент поверхностной части матрицы теплопроводности в общем случае равно числу n граней элемента,
т.
е. n = 4÷6. Для удобства математического представления
матрицы (5.1.2) и (5.1.4) объединяют (их ранги одинаковы),
что дает:
где
e
[]
k — матрица теплопроводности элемента (матрица же-
i
[][]{}[]{}
kkTkT
VS
e
e
, (5.2.5)
сткости в задачах упругости).
Третий член выражения (5.1.5) принято называть матрицей демпфирования в задачах упругости и матрицей теплоемкости в задачах теплопроводности:
eT
[ ] [][]
CNNdV
e
V
. (5.2.6)
65
Глава 5
f
f
f
J
f
r
Как видно из (5.2.6), матрица [
= c
ρ = Cv — объемная теплоемкость материала элемента
η
p
размерностью [C
] = (Дж/м3).
ν
e
] всегда симметрична;
C
Физический смысл этой матрицы в обеих задачах один и
тот же, — она демпфирует (уменьшает) изменения определяе-
мой величины (в частности, температуры) и тем самым характеризует инерционные свойства материала элемента (следовательно, и объекта в целом).
Остальные члены, именуемые объемной и поверхностной
частями вектора тепловой нагрузки (вектор нагрузки в задачах
упругости), запишутся так:
где
eT
{} ([]) .
DNdS
Ss SJ
jj J
ee T
{} []
S
J
wNdV
V
n
ee
{} { }
SS
ji
e
V
f
; (5.2.7)
; (5.2.8)
j
Процедуры нахождения поверхностных частей матрицы
теплопроводности (5.2.3) и вектора тепловой нагрузки (5.2.8)
идентичны. Число компонент поверхностной части вектора
тепловой нагрузки равно количеству граней элемента, на кото-
рых
≠ 0. В общем случае число компонент равно 4÷6.
D
S
Для удобства записи оба вектора объединяют в один вектор тепловой нагрузки:
eee
{}{}{}
ff
VS
. (5.2.9)
Собирая все члены, получим определяющую элемент систему
(по числу узлов элемента) обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка в их матричном представлении:
66
eee ee e
[] / []{}{ }0
ICdTd kT f
. (5.2.10)
Вычислительные аспекты МКЭ
r
E
r
Переход от частной производной по времени к обыкновенной объясняется тем, что временнáя производная рассматривается как функция только координат в каждый фиксирован-
ный момент времени. Стационарный случай
описываться системой
IkT f
алгебраических уравнений:
eee e
[]{}{}0
. (5.2.11)
0
будет
5.3. Формирование глобальных матриц
Глобальные матрицы получаются суммированием соответствующих матриц элементов по всем элементам области определения задачи:
E
e
где
[] [ ]
CC
e
— число элементов, геометрически аппроксимирующих
;
[] [ ]
1
E
e
Kk
e
;
{}{ }
Ff
1
E
e
e
1
, (5.3.1)
изучаемый объект.
Так как область содержит R узлов, то система
уравнений
(5.2.9) превращается в систему R уравнений для R неизвестных
значений искомой функции — температуры — в этих узлах:
[]{}[]{}{}0CT KT F
. (5.3.2)
Очевидно, что при E > 1 R > r. Таким образом, ранг глобальной матрицы, а следовательно, и объем памяти для ее за-
писи определяются не числом элементов, а количеством R
узлов. При этом всегда R > E. Поэтому к дискретизации облас-
ти нужно подходить рационально: количество узлов должно
обеспечить требуемую точность решения и в то
же время не
увеличивать объем памяти. При дискретизации разных по размерам частей конструкции одним из средств удовлетворения
этим требованиям является, как показано в п. 3.2, использование элементов разной геометрии.
В методе конечных элементов каждый из них рассматривается независимо от других. Поэтому при записи их матриц
естественно оставлять в
ней только те члены, которые отно-
67
Глава 5
r
r
r
R
r
R
j
сятся к данному элементу, а остальные — нулевые — в его
матрицы не включать. Благодаря этому размер матриц элемента равен
или 1
и называются они сокращенными. Такая форма записи существенно экономит объем памяти. Процедуру формирования глобальных матриц рангом
осуществить, расширив ранг
риц до ранга
бальным
номерам узлов элемента (так называемый метод пря-
, располагая при этом их члены согласно гло-
элементных сокращенных мат-
легко
мой жесткости). При таком способе суммирование Е элементных матриц рангом r, т.
е. формирование глобальных матриц,
становится тривиальной процедурой (типа известной игры
«морской бой»). Сущность метода состоит в следующем.
Строкам и столбцам сокращенной матрицы элемента
, , ... ,i
n
вместо индексов
его узлов приписываются зафик-
сированные в таблице 2 (с. 42) соответствующие им глобальные номера. Номера строк и столбцов сокращенной матрицы
элемента указывают теперь «координаты» каждого элемента
этой матрицы в сетке глобальной матрицы, что и проиллюстрировано на данном примере.
Остальные места в глобальной матрице К займут, очевидно, члены сокращенных матриц других элементов. Так как
элементы имеют общие узлы, то члены матриц с «координатами» этих узлов будут алгебраически суммироваться.
Использование метода прямой жесткости значительно сокращает
загрузку памяти:
(сокращенная матрица
элемента k
68
e
)
(перeформатированная матрица
элемента ke при ее включении
в глобальную К)
Вычислительные аспекты МКЭ
r
В реальной программе сокращенные матрицы элементов
после их вычисления могут сразу заноситься в соответствующие глобальные.
5.4. Стандартизация матриц элементов
Алгоритм вычислительной программы реализации метода
конечных элементов должен содержать проинтегрированные
(стандартизованные) матрицы элементов базового каталога.
Интегрирование матриц элементов каталога, представляющих собой координатные ячейки, не вызывает затруднений,
так как в этом случае оно ведется по независимым переменным
i
i
. Благодаря этому интеграл по объему сводится
1, 2 , 3
к произведению трех однократных определенных интегралов,
каждый из которых берется по одной из независимых переменных.
Для получения конкретного вида интегрируемой матрицы
необходимо проделать следующие операции:
— найти конкретные выражения базисных функций всех
узлов элемента, используя один из способов математического
его описания (см. гл. 4) в
зависимости от типа элемента;
— пользуясь таблицей 3 (c. 63), определить производные
базисных функций по текущим переменным;
— подставить найденные конкретные функции в соответствующие элементы матрицы и проинтегрировать их;
— свести в матрицу результаты интегрирования ее эле-
ментов.
Согласно (5.2.6) матрица теплоемкости любого элемента
всегда симметрична, и ее элементами, расположенными на
главной и над главной
диагональю матрицы, будут интегралы:
[] 0
E
v
где
2
NdV
i
— число узлов элемента. Соотношение (5.4.1) может
рассматриваться как тестовое
и
[][ ]0
NNdV
qi pi
e
V
,
1, 2, ..., ,qr
(5.4.1)
для проверки правильности най-
денной ранее базисной функции.
69
Глава 5
Компоненты объемной части матрицы теплопроводности
(5.2.1) в разных системах координат описываются следующи-
ми конкретными выражениями, полученными с помощью таблицы 3 (c. 63):
1) декартова система координат, S = 1; все три компонента
определяются интегралом общего вида:
T
[] []
NN
i
[]
kdV
V
ii
e
V
ii
; zyx
i
,,
; dV=dxdydz; (5.4.2)
2) цилиндрическая система координат, S = 2:
[] 1 []
NN
r
[] []
kNdV
Vrr
[]
k
V
rr r
e
V
T
[] []
NNdV
e
V
T
;
[]
kdV
2
r
dV rdrd dz
;
T
[] []
NN
z
Vzz
zz
e
V
; (5.4.3)
;
3) сферическая система координат, S = 3:
[] 2 []
NN
r
[] []
kk N dV
Vrr
rr r
e
V
[]
k
V
[] []
kNCtg
V
T
[] []
NNdV
e
V
[] []
NNdV
e
V
;
dV r drd Sin d
T
2
;
22
rSin
T
;
r
. (5.4.4)
2
Подставляя в (5.4.2) — (5.4.4) базисные функции и их производные для конкретного элемента каталога, последующим интегрированием находят стандартизованные (программируемые)
сокращенные матрицы теплопроводности. Элементами стандартизованных матриц будут либо числа, либо функции координат
элемента. В вычислительной программе значения этих координат
берутся из таблицы входных данных. В качестве множителей перед стандартизованными матрицами
стоят величины теплофи-
зических коэффициентов из физического каталога.
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]