Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Метод конечных элементов в задачах теплопроводности. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 124 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Метод конечных элементов в краевых задачах теории поля





— из-за наличия общих узловых точек глобальные матрицы являются ленточными, т. не заносимых в память.

В соответствии с концепцией МКЭ основными этапами его применения к решению краевых задач теории поля выступают следующие:

— построение сетки из конечных элементов, взаимосвязанных в узловых точках; при этом границы внешних элементов аппроксимируют границу области в целом;

— получение базисных

— построение матричного представления для каждого элемента на основании (2.2.2);

— объединение всех элементов в ансамбль путем матричных преобразований;

— задание краевых условий для элементов;

— решение результирующей системы уравнений: обыкно-

венных дифференциальных первого порядка (нестационарный процесс) или алгебраических (стационарный процесс);

— вывод и оценка результатов; расчет любой другой функции

, зависящей от значений в узлах найденного решения задачи, например средних — объемных или поверхностных — температур элемента.

Эти этапы будут подробно рассмотрены в последующих главах.

2.1. Найдите методом Галеркина приближенные значения



функции

, удовлетворяющей уравнению:

е. содержат большое число нулей,

функций элементов;

Задание 2









при

ните результаты расчетов, полученные этими методами.



 

1  .

2.2. Решите эту же задачу методом Рэлея — Джинса. Срав-

010  uu и изменении

xaaxxu

в интервале 0 ÷ 1. Примите

Глава 3

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ МКЭ

Первый этап конечно-элементной процедуры — декомпо-

зиция исследуемого объекта (конструкции или ее частей) на

конечные элементы, взаимосвязанные в узловых точках, —

включает в себя следующие операции:

— выбор типов элементов, совокупность которых аппрок-

симирует объект;

— задание размеров и тем самым количества элементов; — нумерацию элементов и узлов и индексацию последних.

Достаточно подробное

ставляет содержание данной главы.

Отметим, что первый этап не связан ни с физической природой краевой задачи, ни с версией — вариационной или взвешенных невязок, — используемой при ее решении. Первый этап — это чисто геометрический аспект метода конеч- ных элементов, имеющий своей целью формирование геометрической части таблицы для компьютерной реализации МКЭ.

3.1. Типы конечных элементов. Базовый каталог элементов

Согласно основной концепции МКЭ каждый элемент рассматривается независимо от остального их ансамбля (см. п. 2.2). Размерность элемента определяется, очевидно, размерностью аппроксимируемой их совокупностью области определения задачи. Для соответствия физической модели исследуемого объекта одномерный элемент может иметь поперечное сечение, площадь которого не обязательно постоянна по длине элемента, а

двумерный элемент — единичную толщину, как

это показано на рис. 3.1.

рассмотрение этих операций со-

входных данных, необходимой

Геометрические аспекты МКЭ

а б

Рис. 3.1. Двумерная область единичной толщины (а)

и одномерная область с произвольным сечением (б)

Так как каждый элемент рассматривается независимо от остальных, это дает возможность создать

каталог (или архив)

разнообразных по геометрии и размерности конечных элементов, обладающих различным порядком симметрии. С помощью такого набора элементов можно собрать любую конструкцию, подобно тому, как это делается с помощью элементной базы детского конструктора. Чем обширнее будет каталог, тем большее разнообразие конструкций может быть реализовано с

его помощью.

Краевые задачи теории поля независимо от их физической природы традиционно подразделяют по признаку размерности изучаемого объекта на одно-, двух- и трехмерные. В задачах теплопроводности при наличии сложного (трехкомпонентного) теплообмена на внешних и внутренних поверхностях объекта такое подразделение с физической точки зрения неприем-

лемо, так как поверхность (внешняя

и внутренняя) самого объ-

екта в этих случаях в теплообмене не участвует — последний осуществляется лишь на внешних границах двумерного объекта, получаемых путем искусственно вводимой его единичной толщины, или на поверхности приписываемого одномерному объекту сечения произвольной формы, как это показано на рисунке 3.1, б. В силу сказанного базовый каталог

элемен-

тов должен содержать только трехмерные элементы.

Глава 3



В целях упрощения математического описания элементов и сохранения наглядности при декомпозиции области на элементы в качестве таковых нами впервые предложено брать ячейки, образованные координатными поверхностями системы с соответствующим объекту порядком симметрии

S . Уз-

лами элемента будут точки пересечения координатных линий. Для расширения элементной базы можно использовать и элементы, которые лишь частично образованы координатными поверхностями (трансляцией вдоль одного из ортов системы)

либо трансляцией точек в направлениях

ортами

, не совпадающих с

Базовый каталог конечных элементов с иллюстрацией их геометрической формы, используемый в качестве рабочего инструмента при декомпозиции области, представлен в приложении 1. В левом столбце каталога указаны:

— номер элемента

e , присвоенный ему в каталоге, с ука-

занием орта трансляции;

— порядок симметрии системы координат

S ;

— количество r узлов элемента.

В инженерной практике часто встречаются конструкции, собранные из осесимметричных элементов — цилиндров, конусов и т.

д., порядок симметрии которых S > 1. Соответствен-

но геометрии объекта задачи теплопроводности с S = 2, 3 — так называемые осесимметричные задачи — в общем случае следует разделить на два типа:

— полностью симметричные — граничные условия не зависят от угловой координаты θ;

— ограниченно симметричные.

Ограниченно симметричные задачи с

1S

становятся

особыми инженерными задачами теплопроводности в силу следующих причин:

— объект представляет собой какую-то часть общей конструкции (по углу или углам) осесимметричной фигуры;

— распределение тепловых — объемных и (или) поверхностных — нагрузок носит локальный характер (граничные

Геометрические аспекты МКЭ





условия не являются осесимметричными в силу особенностей самой конструкции и (или) условий ее функционирования, что присуще, например, всем космическим объектам [32]);

— объект — многосвязная область (например, перфорированные цилиндр, конус, шар и т.

д.).

Указанные признаки ограниченной симметрии могут присутствовать в задаче порознь, в любой комбинации или все одновременно. В базовом каталоге конечных элементов даны ограниченные по углу (углам) трехмерные элементы S = 2, 3, образованные координатными поверхностями системы. Они легко получаются поворотом на угол ∆θ соответствующих плоских фигур (на рисунке 3.2 заштрихованы). Элементы из каталога с динатными линиями: путем трансляции треугольника в на-

правлении

номерами 2, 6, 7 лишь частично образованы коор-



или поворотом его на угол

вокруг оси Z.

И только третий элемент — тетраэдр — никак не связан с координатной сеткой: он получен трансляцией точек (узлов).

а б

Рис. 3.2. Разбиение объемной конструкции на элементы:

а — с разными S (вид сверху); б — с одинаковыми S

Осесимметричные элементы легко получить поворотом на угол 2π заштрихованных элементообразующих поверхностей (граней).

Глава 3

Включенные в базовый каталог элементы позволяют собрать конструкцию сложной геометрической формы, чем и обусловлено одно из важных преимуществ МКЭ перед другими численными методами.

3.2. Дискретизация области на элементы

В общем случае конструкции различной сложности редко имеют единый порядок симметрии: как правило, разные ее части обладают разными величинами S. Поэтому в конструкции сначала выделяют части с одинаковым порядком симметрии (не обязательно одинаковые по геометрической форме), которые затем разбиваются на конечные элементы, содержащиеся в базовом каталоге с

соответствующим порядком симметрии. Процедура представления объемной конструкции совокупностью элементов показана на рисунке 3.2.

Узел элемента не может располагаться на линии, соединяющей узлы граничащего с ним элемента. Если границами выступают разные по размерам элементы, то соблюсти указанное требование можно двумя способами:

1) при сохранении однотипности элементов увеличением

их количества;

2) использованием элемента (элементов) другого типа.

Оба способа приведены на рисунке 3.3.

а б

Рис. 3.3. Способы разбиения области на элементы разных размеров

(цифры — номера элемента по каталогу):

а — первый способ; б — второй способ

Геометрические аспекты МКЭ

Выгодность второго способа очевидна: в первом случае число элементов, аппроксимирующих большеразмерные части конструкции, удвоилось при одновременном возрастании общего количества узлов; во втором случае количество узлов осталось неизменным, а число элементов увеличилось всего на два — независимо от того, на сколько элементов была разбита большеразмерная часть конструкции.

Размеры элемента задаются с учетом

следующих условий:

— на одной и той же поверхности элемента граничные ус-

ловия должны быть физически одинаковыми, — должна соблюдаться равномерность распределения по поверхности всех видов тепловых нагрузок;

— объемная нагрузка не может занимать часть элемента;

— материал элемента должен быть одним и тем же по фи-

зическим свойствам.

Очевидно, что чем

меньше размеры элемента, тем с большей точностью выполняется первое требование. Уменьшать размеры элементов желательно в тех частях конструкции, где ожидаются (интуитивно) наиболее резкие изменения искомой функции. Это особенно важно при использовании элементов низкого порядка, обеспечивающих лишь постоянство градиента функции.

Для полностью осесимметричной задачи (S = 2, 3) вследст-

вие отсутствия угловой

зависимости по  дискретизируется сечение объекта плоскостью, проходящей через ось симметрии. Отсутствие одной из координат понижает на единицу размерность базисных функций, что существенно упрощает процедуры дискретизации области и получения решения (так как

). Очевидно, что количество узлов при декомпо-

02 lu

зиции плоскости много меньше, чем при декомпозиции объема на ограниченные элементы. Поэтому в двумерном случае можно использовать мелкую сетку, т.

е. элементы малых раз-

меров.

Использование генетической связи между ограниченно

симметричными (∆θ < 2π) и осесимметричными (∆θ = 2π) эле-

Глава 3



ментами позволяет не вводить в базовом каталоге отдельно номера для последних, а ограничиться индексацией номера по

«трансляционному» орту

, как это показано в каталоге.

Искусство разбиения объекта на элементы зависит от имеющихся навыков. При их отсутствии или недостаточности надеяться на хорошие результаты не приходится. В программах типа NISA или ANSYS разбиение на элементы может быть осуществлено в автоматическом режиме, но при этом осуществляется слишком мелкое разбиение, вследствие чего требуется большой

объем памяти и длительность времени расчета существенно возрастает. Поэтому при предварительных расчетах достаточно осуществлять дискретизацию конструкции на элементы в ручном режиме.

3.3. Нумерация элементов и узлов

Элементы, на которые разбита конструкция, необходимо

индивидуализировать, что проще всего достигается присвое-

нием ему номера

e . Он никак не связан с номером

элемен-

та по каталогу, фиксирующим его геометрию. Нумерация элементов не влияет на вычислительные аспекты МКЭ и поэтому представляет собой простую процедуру, опирающуюся на естественное пожелание удобства при пользовании. Очевидно, что элементы, относящиеся к частям конструкции при укрупненном ее разделении, должны иметь последовательную нумерацию. Номер элемента будем

(e) — во избежание путаницы с номером

заключать в круглые скобки —

e (по каталогу) и с

номерами узлов.

Нумерация узлов существенно влияет на эффективность вычислений. Применение МКЭ к решению дифференциального уравнения приводит к системе алгебраических уравнений (необязательно линейных), большое число коэффициентов в

Геометрические аспекты МКЭ







которой равно нулю. Все ненулевые коэффициенты (и некоторые нулевые) в глобальной матрице коэффициентов находятся между двумя линиями, параллельными главной диагонали. Расстояние между главной диагональю и этими линиями называется шириной этой полосы равны нулю, и они не заносятся в память компьютера (это одно из преимуществ МКЭ). Уменьшение ширины полосы приводит к уменьшению требуемого объема памяти и к сокращению времени вычислений.

В конкретных расчетах структура матрицы может быть представлена на-

бором целочисленных пар дая из которых означает пару перемен-

ных (т. луширина М матрицы определяется при этом максимумом величины 1 той по всем Е-элементам матрицы [3]:

или перемещение в узле) величину число личины). В общем случае

е. номера строки и столбца). По-

При работе с векторными величинами (например, скорость

n неизвестных в узле (число компонент векторной ве-

полосы матрицы. Все коэффициенты вне



jiE , , каж-

+ i – j, взя-

. (3.3.1)

jiM

 max1

нужно умножить на

Для скалярной величины — температуры, очевидно, что

1max



. (3.3.2)

1n .

Объем памяти, необходимой для профильной записи матрицы, определяется формулой

Правильной нумерацией узлов будет та, которая минимизирует либо полуширину

Pij







, либо профиль P в зависимости

(3.3.3)

Глава 3

от предполагаемой формы записи. В большинстве случаев минимизация

На рисунке 3.4 представлены различные варианты нумерации узлов (и элементов).

минимизирует и P.

Рис. 3.4. Варианты нумерации узлов

Сопоставление получаемых тельность последнего варианта, в котором обеспечивается наименьшая из максимальных разница между номерами узлов, принадлежащих одному элементу. Это достигается последовательной нумерацией узлов при движении в направлении наименьшего размера тела. Если от четырехугольных элементов перейти к треугольным, то при правильной нумерации меньшие казано на рисунке 3.4. Переход к треугольным элементам лишь удваивает число элементов, не сказываясь на количестве узлов. Как уже указывалось, нумерация элементов носит про- извольный характер, так как формирование глобальных матриц из матриц элементов осуществляется по номерам узлов, а не элементов.

получаются при проведении левой диагонали, как по-

показывает предпочти-

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 124 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]