Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод конечных элементов в задачах теплопроводности. Учебное пособие
.pdf
Введение
шения задачи сложного теплообмена. Как правило, погрешности задаваемых параметров при тепловом проектировании довольно велики, и это делает нецелесообразным поиск более
точного решения.
Задача изучения материалов пособия — практическое освоение студентами одного из наиболее эффективных современных методов численного решения нестационарной задачи
сложного теплообмена в объектах самого различного назначе-
и методики получения обобщенного алгоритма универ-
ния
сальной вычислительной программы. Изучение материала пособия должно носить последовательный характер с обязательным выполнением заданий к каждой главе. Чтение лекций совмещается с практическими занятиями, ориентированными на
выполнение приведенных в пособии заданий. Завершать курс
целесообразно вычислительным практикумом по расчету температурного поля элементов
конкретных, достаточно простых
конструкций. На изучение курса, как показывает 30-летний
опыт его преподавания, достаточно 60 часов аудиторных занятий (36 лекционных и 24 практических занятий) и примерно
36 часов самостоятельной работы.
В настоящее время получили широкое распространение
«тяжелые» программы расчета, такие, например, как NISA,
ANSYS, SOFISTIKA и другие, базирующиеся на конечных
элементах и позволяющие численно исследовать
процессы
различной физической природы в многоэлементных системах
и в сложных конструкциях. Освоение материалов пособия позволит осознано использовать эти программы, особенно в части физически грамотного задания граничных условий и последующего анализа полученных результатов расчета. Пособие окажется полезным как студентам-теплофизикам, так и,
особенно, студентам-математикам, подходящим к решению
физических задач с формальных математических позиций.
Опыт преподавания дает основания утверждать, что студенты
математики быстрее осваивают математические аспекты «тяжелой» программы, но наполнение ее физическим смыслом
вызывает у них большие трудности.
11
Введение
Опыт чтения курса также показал, что последовательность
изложения материала во втором издании пособия была не совсем логична: во второй главе давалось общее решение краевой задачи в рамках МКЭ, в то время как студенты еще не ознакомлены с другими его аспектами. Поэтому в третьем издании этот материал перенесен в пяту
ю главу. В четвертой главе
добавлены сведения об эрмитовых элементах, которые могут
использоваться в случае больших градиентов температуры без
того, чтобы увеличивать количество лагранжевых элементов,
как обычно поступают в подобных случаях. В шестой главе
убран пункт 6.4, посвященный частному вопросу учета конвективного компонента при течении теплоносителя по неизотермическому каналу. Вместо него приведены необходимые,
на наш вз
гляд, сведения математического характера, относящиеся к вопросам сходимости и точности получаемого с помощью метода конечных элементов численного решения задачи теплопроводности.
Представляется желательным снабдить пособие инструкцией
пользователя «тяжелой» программы типа NISA или ANSYS, что
позволило бы проверить освоение студентами (и не только
ими) всего материала пособия на кон
кретных примерах путем
сопоставления аналитического решения задачи с полученным
численным. Поскольку инструкция по объему сопоставима с
объемом пособия, она будет издана отдельно, как самостоятельное приложение к пособию.
Краевые задачи теории поля
Глава 1
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПОЛЯ
Физические процессы обычно описываются дифференциальными уравнениями различного порядка с начальными и
граничными условиями к ним. В зависимости от искомой величины — векторной или скалярной — решение уравнения
описывает в общем случае пространственно-временное распределение этой величины, называемое ее векторным или
скалярным полем. В этой главе будут приведены выражения
дифференциального уравнения
курса дифференциальных уравнений Лапласа и Пуассона) и
граничных условий к ним в обобщенной криволинейной ортогональной системе координат, и дана краткая характеристика
аналитических методов его решения.
1.1. Уравнение переноса
в обобщенной криволинейной системе координат
Диапазон физических задач, решаемых с помощью этого
уравнения, достаточно велик. Приведем лишь некоторые из
встречающихся в инженерной практике: теплопроводность [1],
фильтрация в пористой среде [2; 3], невихревое течение идеальной жидкости [5], задачи механики сплошных сред [4; 6] и
электромагнетизма [7].
Вид нестационарного уравнения переноса хорошо известен
из курса
дифференциальных уравнений [9]:
переноса (типа известных из
kux wx ux
,,(,)/,
ii i
i = 1, 2, 3. (1.1.1)
где ∆ — лапласиан (дифференциальный оператор 2-го порядка);
u(x
,τ) — искомая функция, описывающая поле значений физи-
i
ческой величины;
w(x
,τ) — задаваемая функция координат и времени;
i
13
Глава 1
r
k, η — коэффициенты, физический смысл которых обусловлен
природой исследуемого процесса;
x
, τ — текущие переменные (координаты и время).
i
Размерность и геометрическая форма области существова-
ния функции u(x
,τ) определяются, очевидно, геометрией изу-
i
чаемого объекта (конструкции или ее элемента). Поэтому целесообразно записать уравнение (1.1.1) в обобщенной криволинейной ортогональной системе координат, что даст возможность применять его к объекту любой геометрии и размерности. Как станет ясно впоследствии, такая форма записи будет
полезна при использовании метода конечных элементов
(МКЭ) для решения уравнения.
Введем некоторую криволинейную ортогональную систему
координат ξ
(i = 1, 2, 3), единичные орты
i
e
которой равны:
i
Здесь
— радиус-вектор точки с координатами
e
i
дуль его производной по криволинейной координате
rr
. (1.1.2)
ii
, а мо-
i
, назы-
i
ваемый параметром Ляме, равен:
r
hx
jj i j
j
3
i
1
j
1/ 2
2
, j = 1, 2, 3. (1.1.3)
Элементы длины, площади поверхности и объема в этой
системе координат связаны с приращениями координат через
параметры Ляме:
3
dhdl
;
iii
ddhhdS
;
jijiij
dV h d
ii
1
i
.
(1.1.4)
Градиент функции есть вектор, который в криволинейной
системе координат описывается формулой [9]:
14
Краевые задачи теории поля
3
1
ii
h
1
ii
3
. (1.1.5)
e
i
e
i
l
1
i
Оператор Лапласа может быть записан так:
div .
С учетом ортогональности системы координат подстанов-
ка (1.1.5) в последнее выражение даст [11; 25]:
где
3
J
J
ii
J
— якобиан преобразования декартовой системы коор-
1
h
i
2
i
i
3
11
J
1
h
i
l
J
, (1.1.6)
lh
iii
динат в криволинейную, равный произведению параметров
Ляме:
3
hJ
. (1.1.7)
i
1i
Таким образом, дифференциальное уравнение (1.1.1) в
обобщенной криволинейной ортогональной системе координат будет иметь вид:
3
1
kh w u
ii i
Jlhl
1
i
J
iii
. (1.1.8)
Конкретный вид уравнения (1.1.8) в той или иной системе
координат можно получить, если задать функции связи между
декартовыми
x и криволинейными
i
Очевидно, что в декартовой системе
все параметры Ляме
1
h ; следовательно,
i
координатами.
i
x
, в силу чего
ii
dxdl
и 1J .
ii
В итоге на основании (1.1.8) имеем уравнение переноса в декартовой системе координат:
2
3
i
1
u
kwx u
ii i
2
l
i
,
. (1.1.9)
15
Глава 1
,
x
y
x
y
Связь между координатами
ской систем координат —
x декартовой и цилиндриче-
i
r
1
2
, z
3
— выража-
ется известными соотношениями [11]:
xrcos
;
1
xrsin
; zxz
2
.
3
Подставляя производные этих функций связи в (1.1.3),
найдем параметры Ляме и якобиан:
11h
;
2
rh
; 1
h ; J = r, (1.1.10)
3
что после внесения их в уравнение (1.1.8) дает:
2
3
i
1
uu
kk wrz u
ii
2
l
i
1
11
hl
21
,,,
. (1.1.11)
В случае сферической системы координат —
(азимутальный угол),
2
(полярный угол) —
3
связь между координатами также известна [11]:
rcos sin
;
rsin sin
; zrcos
.
Параметры Ляме и якобиан будут следующими:
11h
;
hrsin
2
; h
= r;
Jrsin
3
2
, (1.1.12)
и уравнение примет вид:
2
3
i
uu u
kk k Ctgwu
ii
2
lhlhl
1
i
21
11 33
31 3 3
/.
(1.1.13)
Заметим, что согласно (1.1.4)
r ,
1
hl
1 . (1.1.14)
i
ii
Из курса аналитической геометрии [11] известно, что орты
криволинейной ортогональной системы координат направлены по нормали
e
и по касательным
1
e
, а также
2
e
3
к со-
ответствующим координатным линиям и не сохраняют свои
направления в пространстве при изменении координат точки,
16
Краевые задачи теории поля
оставаясь при этом ортогональными. Введем понятие порядка
симметрии S системы координат, равного числу изменяю-
щих свое направление ортов
e
при изменении координат точ-
i
ки. Тогда полученные выражения дифференциальных уравнений (1.1.9), (1.1.11) и (1.1.13) можно представить в обобщенном виде:
2
3
uS u
kCtg
ii
i
2
l
1
12
1
iiiS
,2 ,1 ,3 ,2
1
hl
SS ii
wu
,3
(,) / .
i
,3 ,3
iS
(1.1.15)
Здесь
При записи (1.1.15) учтено, что для цилиндрической сис-
темы S = 2 —
e const
i
— символ Кронекера, равный, как известно,
ij
1;
ij
ij
e const
1,2
при ij
0.
при ij
, для сферической S = 3 — все
, а для декартовой вместо S = 0 (все
e const
)
формально положено S = 1.
Обобщенное нестационарное уравнение (1.1.15) является
математической моделью процесса переноса независимо от
его физического содержания. Для конкретизации процесса
достаточно задать физический смысл входящих в уравнение
коэффициентов, что однозначно определит и физическую
природу функции u(x
,τ). В электрической интерпретации, на-
i
пример, соответствующие величины будут связаны с величинами проводимости, источника зарядов и потенциала [7].
В интересующем нас процессе теплопроводности коэффициенты k
ной теплопроводности [2; 24], η = c
становятся главными значениями тензора анизотроп-
ii
ρ — объемная теплоем-
p
кость, w — объемная плотность мощности внутреннего источника (стока) тепла, а искомая скалярная величина u(ξ
температура
T
.
,
i
,τ) —
i
17
Глава 1
1.2. Краевые условия задачи
В задачах теории поля единственность решения уравнения
переноса (1.1.14) обеспечивается заданием краевых условий
задачи: начального поля искомой величины в момент времени,
выбранный за нулевой
0
:
uu
,,0,,,
, (1.2.1)
3210321
и граничных условий, которые в задачах теории поля чаще
всего формулируются в виде следующих условий на границе
(или ее части) области определения задачи:
а) задано поле температур (Т-поле) — так называемое
главное граничное условие:
Tf
, S
; (1.2.2)
i
б) задано обобщенное условие сложного теплообмена [1] —
или естественное граничное условие:
,,
qq q q
ei ei e
. (1.2.3)
к R
Входящие в (1.2.3) слагаемые описывают теплообмен:
ie
кондуктивный;
ренних
i поверхностях элемента);
ний и внутренний);
,
— конвективный (на внешних e и внут-
q
k
ie
,
q
— радиационный (внеш-
e
q — внешний поверхностный источ-
R
0
s
i
q
—
ник тепла, зависящий в общем случае от времени. Поверх-
ie
ность
,
S
представляет собой j-й участок внешней или внут-
j
ренней границы и в совокупности образует oбe границы области в целом (в случае ее многосвязности).
В задачах теплопроводности принято граничные условия
подразделять на четыре рода, а именно:
1-го рода (условия Дирихле) — Т(х
ция может быть задана в виде константы, например Т(х
,τ) = f(τ), при этом функ-
i
,τ) = Тс;
i
18
Краевые задачи теории поля
j
2-го рода (условия Неймана) — (qλ + qc)Si = 0; где qc —
2
внешний поверхностный источник энергии (Вт/м
), чаще всего
равный константе; кондуктивный компонент описывается законом Фурье;
3-го рода (условия Коши) — (q
+ qα)Si = 0; связывает кон-
λ
дуктивный и конвективный удельные потоки на поверхности
; конвективный компонент описывается законом Ньютона;
S
i
4-го рода — полагаются непрерывными температурные поля
и удельные тепловые потоки на границе раздела двух сред:
Т
= Tj(xj)Sk; qλi(xi)
i(xi)Sk
= qλj(xj)Sk.
Sk
По определению граничное условие — это условие энерге-
тического сопряжения на внешней поверхности тела при на-
личии двух (трех) механизмов теплообмена или на границе
раздела двух сред. По сути — это условия теплового баланса
на поверхности раздела.
Кондуктивный компонент описывается законом Фурье
qT
и в обобщенной криволинейной системе коор-
динат согласно (1.1.5) имеет вид:
3
qe
S
j
1
i
ii i
T
. (1.2.4)
l
i
S
Конвективный компонент в аналитической теории тепло-
проводности обычно выражают законом Ньютона:
где
qTTTT
— коэффициент теплообмена при естественной или
S
j
kScpSScp
S
jjj
j
, (1.2.5)
смешанной конвекциях, вопросам расчета которого посвящена
обширная литература [19—29], но в аналитической теории теплопроводности он полагается заданным в виде некоторого
числа; Т
— температура среды или теплоносителя.
ср
Радиационный компонент нелинейно зависит от темпера-
туры и, согласно закону Стефана — Больцмана [30],
19
Глава 1
R
где
qTT
— полусферическая интегральная степень черноты по-
S
j
Scp
S
j
j
44
0
, (1.2.6)
верхности;
=5,67·10
0
– 8
Вт/м2К4 — постоянная Стефана — Больцмана.
Запишем естественное граничное условие (1.2.3) с учетом
(1.2.4) — (1.2.6) в обобщенном виде:
где под
3
i
1
D
понимается величина
S
j
DTqq
SScpR
jj
T
eTD
ii i S S
l
i
. (1.2.8)
jj
,
ei e
, (1.2.7)
0
В целях линеаризации граничного условия радиационный
компонент зачастую представляют в виде, аналогичном конвективному компоненту [20; 24; 32]:
где
R S cp cp cp
0
j
qTT
RR cp
32 2 3
TTTTTT
()
,
,
а затем объединяют с конвективным компонентом, вводя сум-
марный коэффициент теплообмена
рассчитывают, полагая
R
*
— некоторой характерной
TT
. Величину
SR
j
температуре изучаемого процесса [32]. Если при описании
внешнего радиационного теплообмена с такой процедурой линеаризации можно согласиться, то для внутреннего теплообмена подобная замена нежелательна, так как в этом случае радиационный компонент рассчитывается с учетом оптикогеометрического фактора — средних разрешающих угловых
коэффициентов излучения, обусловленного взаимным расположением теплообменивающихся
поверхностей и степеней их
черноты.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]