Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Метод конечных элементов в задачах теплопроводности. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

Рекомендуемая литература

47. Конструкция и проектирование космического летательного аппарата. М. : Машиностроение, 1986. 344 с.

Гущин В. В., Панкратов Б. Н., Родионов А. Д. Основы устрой-

48.

ства и конструирования космических аппаратов. М. : Машиностроение, 1992. 278 с.

Малоземов В. В. Выбор проектных параметров подсистем

49. терморегулирования. М. : Изд-во МАИ, 1986. 344 с.

Малоземов В. В., Логинов С. Н., Мартиросова Е. И. Матема-

50.

тическое моделирование элементов, агрегатов и систем обеспечения теплового режима летательных аппаратов. М. : Изд-во МАИ, 1986. 91 с.

Малоземов В. В., Логинов С. Н., Кутепов С. Н. Анализ и ис-

51.

следование подсистем обеспечения теплового режима летательных аппаратов. М. : Изд-во МАИ, 1987. 103 с.

Андрейчук О. Б., Малахов Н. Н. Тепловые испытания косми-

52. ческого аппарата. М. : Машиностроение, 1982. 143 с.

Приложение 1

Базовый каталог объемных элементов

102

s q

42 2 4

Осесимметричные объемные элементы

Наименование

элемента

Сплошной цилиндр

Полый цилиндр

Сплошной, конического типа

Полый усеченный, конического типа

3 3

Наименование

Сплошной шаровой сектор

Полый шаровой сектор

Сплошной шаровой слой

Полый шаровой слой

Приложение 1

элемента

103

Приложение 1



Базовый каталог одно- и двумерных элементов

Осесимметричные одно- и двумерные элементы получаются

поворотом на

104

2 порождающих ij -x одномерных элементов.

















Приложение 2

Методика получения стандартизованных матриц элемента

Возьмем для примера 2-й элемент базового каталога и применим к нему обобщенный метод Крамера — Лагранжа, поскольку этот элемент лишь частично образован координатными плоскостями



nji ,...,,

дексы

, соблюдая правило обхода против часовой

Const

. Присвоим узлам ин-

Const

стрелки.

В основании треугольной прямой призмы лежит симплекс-треугольник, трансляцией

которого вдоль орта

стояние

на рас-

образован

ZZh 

объемный элемент. Точно так же можно считать, что элемент образован трансляцией верхнего основания по орту

e. Базис-

ные функции легко находятся по обобщенному методу Крамера — Лагранжа, т.

треугольников

е. умножением базисных функций симлекс-

lmn

ijk

на полином Лагранжа

(см. п. 4.3):







,,, 

pqq

, при

zLyxNzyxN









lpkji

. (П.2.1)



ipnml

Полиномы Лагранжа имеют вид:

  



;



ZZZzzL

. (П.2.2)



ZZZzzL

iii

Функции для симплекс-треугольника возьмем в виде (4.1.7):

105

Приложение 2



















1,,



— удвоенная площадь треугольника (см. (4.1.3)). Кон-

2A



yccbayxN



qqqq

iq ,...,,

, (П.2.3)

кретные значения коэффициентов в (П.2.3) пока не учитываются. Правильность базисных функций узлов элемента гарантирована использованием обобщенного метода Крамера — Лагранжа.

Найдем производные базисных функций по текущим переменным



zyx,,



yxN















;







yxN







yxN





yxN



















,,,/1



kjiqh

,,,/1



nmlqh

kjiqzL



;

nmiqzL



. (П.2.4)

Элементарный объем представим в виде

так как производные по на полином



и y есть постоянные, умножаемые

, (П.2.5)

dAdzdxdydzdV

Найдем объемную часть матрицы теплопроводности, подставляя в (5.3.2) производные (П. 2.4) с учетом (П. 2.5):

k bLbLbLbLbLbL

V xx il jlklii jiki











bL bL bL bL bL bL dz



il jl kl ii ji ki



2 1



2A

 

(П.2.6)

Типичные интегралы:

Компонент

 



будет идентичен

;



hdzzLdzzL 3

 



, если

. (П.2.7)



hdzzLzL 6

заменить на

Поэтому запишем эти части матрицы в общем виде:

106





12 2



Приложение 2



22 2

d dd dd d dd dd

iijikiijik

      

kmn

ddd ddd

jjk jjk

(П.2.8)

  

 





Здесь при

 ,

Так как производная по

; при

зависит только от

, то при

интегрировании по объему целесообразно перейти к плоским L-координатам:













dALLLLLLLLLLLL

321321321321

Производя перемножение сцепленных матриц и интегрируя с учетом (5.3.8), получим окончательно:

   







      



nmlk



112112



 

1212



 



     



(П. 2.9)

Таким образом, объемная часть матрицы теплопроводности элемента будет равна:

. (П.2.10)

kkkk 

107

Приложение 2

































Полученные результаты (П.2.8) и (П.2.9) рекомендуется проверить на правильность размерности, которая должна быть



КВт



В итоге имеем

Матрицы



;

КмВтk

Вт



Км

zyx

стандартизованы и поэтому заносятся в

мh

;

мм





;



мA 

КВт

мd  .

программу. Они станут числовыми, если символы заменить их числовыми значениями, определяемыми по узловым координатам

, а коэффициенты теплопроводности —

ZhcbA

,,,

на их величины согласно физическому каталогу.

Поверхностные части матрицы теплопроводности

(

1, 2, ..., 5i 

пo числу поверхностей) определяются согласно

формуле (5.1.3). Присвоим поверхностям элемента номера:

;

1ijk

2lmn

;

ijml

;

jknm

ikml

;

Матрицы для поверхностей 1 и 2 будут отличаться только коэффициентами

aa



и индексами строк и столбцов, так

как этим поверхностям принадлежат разные узлы. Интегрирование по

Базисные функции узлов найдем, приравнивая текущую

для первой плоскости и

можно провести с помощью L-координат.

dAdS 

— для второй. В итоге будем

Zz 

иметь:

  

() (,) ;

lS l

Nxy L

;

LyxNN



NNxyL





;

NNxyL





LyxNN



;





LyxNN



Подставим найденные базисные функции в (5.1.3) и проинтегрируем согласно (5.3.8). Получим:

108

Приложение 2













pq



211





kLLLLLLdA j



1123 123 1





 



.(П.2.11)

По аналогии:

211













. (П.2.12)

На самом деле эти матрицы имеют ранг, равный шести, но мы не стали загромождать их выражения нулевыми строками и столбцами. Номера узлов покажут их место в глобальной матрице

Матрицы для остальных поверхностей находятся так же легко благодаря переходу к плоским L-координатам. Типичные интегралы будут иметь вид:





ipq



ipq



dzLzLdlLL

ilqp



dzzLdlL









, ij



;





Поверхностные сокращенные матрицы для

одинаковый вид и отличаться коэффициентом



ipq

, jk, ki;





dzLzLdlLL



ilqp



, i. (П.2.13)

будут иметь

5,4,3

, длиной

;



и индексами ненулевых строк и столбцов:

1224

 



 





 

 

214



, (П.2.14)





109

Приложение 2























;

SS 

ijml

jknm

;

iknl

3, 4, 5

Для определения матрицы достаточно строкам и столбцам матрицы (П.2.14) присвоить индексы соответствующей плоскости. Формула (П.2.14), будучи стандартизованной, также заносится в программу.

Матрица теплоемкости (5.1.5) находится так же легко, только интегрирование с помощью L-координат ведется не по

, а по dA, а полином Лагранжа

интегрируется по dz.



,li

Типичные интегралы идентичны интегралам (П.2.14):

LdA L zdz



LLdA L zLdz pq

pq l i











12 3



 

24 6

1, 2 , 3



 

fli





,,1,2,3.

(П.2.15)

Таким образом, матрица теплоемкости будет равна:

iklmn

422211

42221

[]





4222

422

(П.2.16),

 



 





где



— объем элемента.

hAdzdAV



Умножением элементов матрицы на числовые значения

и объема элемента сокращенная матрица теплоемко-

c

сти превращается в числовую и сразу заносится в глобальную соответственно номерам узлов.

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]