Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод конечных элементов в задачах теплопроводности. Учебное пособие
.pdf
Вычислительные аспекты МКЭ
Процедура нахождения стандартизованных матриц поверхностной части матрицы теплопроводности описана в 5.1.
Стандартизация объемной части вектора тепловой нагрузки (5.2.7) сводится к интегрированию базисных функций конкретного элемента каталога. Поверхностная часть этого элемента (5.2.8) находится так же, как и поверхностная часть матрицы теплопроводности, но при этом интегрируются поверхностные базисные функции, а
не их произведения.
5.5. Естественная система координат
В случае произвольной глобальной системы координат
значения узловых координат ограничены только границами
области интегрирования. Если бы значения данных координат
были равны –
1, 0 и + 1, то это стало бы полезным упрощени-
ем. Этого можно достигнуть выбором локальной (местной)
системы координат, привязанной к элементу так, чтобы координаты менялись линейно между нормированными узловыми
координатами. Система координат такого типа называется
системой естественных координат. Преимущество их в том,
что интегрирование по элементу часто может быть проведено
в стандартном
аналитическом виде [1; 4; 6].
Естественные координаты могут быть одно-, двух- и трехмерными.
В одномерном случае переход к естественной системе координат осуществляется трансляцией начала системы координат в начало отрезка
(рис. 5.1). Тогда в системе
имеем:
,
Xx
ii
X
i
0
i
Рис. 5.1. Пример
одномерного перехода
71
Глава 5
X
X
~
~
L
P
или, отнеся к длине отрезка,
1
1
Точно так же, выбирая начало координат в точке Х
2
21
Из выражений для нормированных координат
XXXx
12
, найдем:
2
x
2
.
X
видно,
i
что это полиномы Лагранжа:
;
)(
xL
21
. (5.5.1)
)(
xL
12
Таким образом, в одномерном случае естественные координаты — это лагранжевы, или
-координаты, обладающие,
как было показано ранее, всеми свойствами базисных функций. Поэтому аппроксимирующую функцию элемента можно
записать в естественной системе координат так:
поскольку
e
() () ( ) () ( )
ux LxUX LxUX
11
Преимущество введенных
ii j j
12
и
)()(
xLxN
.
)()(
xLxN
22
L -координат в том, что интег-
,
рирование можно провести аналитически согласно формуле:
nm
!!
e
где
— длина элемента.
e
dlLL
21
enm
, (5.5.2)
nm
!1
Нормированная координата
площади в двумерном случае
аналогична нормированной координате длины в одномерном.
Для произвольно выбранной
точки
в трехузельном треугольном элементе такая координата определяется делением пло-
Рис. 5.2. Пример
двумерного перехода
щади треугольника А
на площадь А всего треугольни-
ка:
LAA
11
.
(рис. 5.2)
1
72
Вычислительные аспекты МКЭ
A
Аналогично для остальных частей треугольника:
AAL
;
22
.
33
Совмещая точку
Р с каждым из узлов, видим, что в узлах
L-координаты равны 1 и 0 на сторонах, противоположных уз-
лу, что и показано на рисунке 5.2. Кроме того, очевидно выполнение равенства
33
LAA
ii
11
ii
Отсюда следует, что из трех
L-координат независимыми
1.
являются только две любые из них, как и следовало ожидать
для двумерного случая. Таким образом, введенные плоские
L-ко-
ординаты удовлетворяют всем свойствам базисных функций
элемента.
Найдем конкретное выражение для
щадь
треугольника с вершинами P(x,y), 2(X
A
1
L-координаты. Пло-
) и 3(X
2,Y2
3,Y3
),
как известно, равна:
1
1
A
1
2
1
Разделив на площадь
yxL ,
1
полностью совпадает с базисной функцией
yx
1
YX
YX
221
2
33
.
yXXxYYYXYX
23232332
всего треугольника, видим, что
yxNi,
симплекс-треугольника (см. (4.1.6). Следовательно:
, LyxN
i
;
1
, LyxN
j
Интегрирование с использованием плоских
;
2
, LyxN
k
. (5.5.3)
3
L -координат
осуществляется согласно формуле:
pnm
e
A
dALLL 2
321
!!!
pnm
epnm
. (5.5.4)
A
!2
73
Глава 5
В трехмерном случае естественными координатами слу-
жат отношения объемов, или
вольно выбранной точкой
ре подобъема. Тогда для объемной
объемные L -координаты. Произ-
zyxP ,, тетраэдр делится на четы-
L
-координаты будем иметь
ee
.
LVV
/
ii
Можно показать, что и в этом случае базисные функции
равны
L-координатам:
,, LzyxN
i
;
1
Независимыми являются любые
;
LN
2
j
;
LN
3
k
l
. (5.5.5)
LN
4
три из четырех объемных
L -координат.
Интегралы для получения стандартизованных матриц про-
сто находить в
Отметим, что в формулах интегрирования с помощью
координат (5.5.2), (5.5.4) и (5.5.6) в знаменателе стоит
показателей степени L
щее
размерности элемента. Это правило помогает легко за-
помнить формулы интегрирования.
Базисные функции элемента, или
использовать и для установления связи между декартовой и
естественной системами координат:
x = x(ξ,η) = [Lm(ξ,η)]{X}; y = y(ξ,η) = [Lm(ξ,η)]{Y}, (5.5.7)
{X} и {Y} — вектор-столбцы, элементами которых высту-
где
пают глобальные координаты (в декартовой системе) узлов
элемента; индекс
мента использованы для преобразования координат.
Например, радиус-вектор в цилиндрической системе координат можно на основе (5.4.11) представить следующим образом:
объемных L-координатах согласно формуле:
qpnm
dVLLLL 6
e
V
4321
!!!!
qpnm
eqpnm
V
!3
-координат плюс число, соответствую-
L-координаты, можно
m
показывает, что базисные функции эле-
. (5.5.6)
L-
сумма
74
Вычислительные аспекты МКЭ
j
r = [Lp(r)]{Rq} = [L1L2L3][RiRjRk]T = L1Ri+ L2Rj +L3R
где
— радиальные координаты узлов симплекс-треуголь-
kjiR,,
, (5.5.8)
k
ника.
Такая замена очень продуктивна при нахождении стандартизованных матриц элементов, стороны которых не совпадают
с координатными линиями системы [1; 2].
При задании двух множеств узлов — одно для определения аппроксимирующей функции элемента, другое для преобразования координат — возможны три случая:
— число узлов для определения формы элемента
меньше
числа узлов, используемых при определении интерполяционной функции, это субпараметрические
элементы;
— узлов одинаковое — изопараметрические элементы;
— число узлов формы больше числа узлов полинома —
суперпараметрические
элементы.
Возможность задания двух независимых множеств узлов
позволяет сочетать как интерполяционные полиномы высокого порядка с элементами простой геометрии, так и элементы
сложной формы с простыми интерполяционными полиномами
[2; 6].
5.6. Средние температуры элемента
Как будет показано в главе 6, учет температурной зависи-
теплофизических параметров и расчет конвективного и
мости
радиационного компонент теплообмена требуют знания средних — объемной и поверхностной — температур элемента.
Они определяются, как известно, формулами:
где
— номер поверхности.
e
T
V
1
e
V
e
V
;
VdT
i
1
e
T
S
j
S
j
S
j
dST
i
, (5.6.1)
75
Глава 5
С учетом версии МКЭ:
eee
( ) [ ( )]{ ( )}
TNT
iii
стандартизованные выражения для средних температур конкретного элемента каталога будут следующими:
1
e
TNTdV
Vii
e
V
1
e
TNTdS
SiSij
jj
S
j
S
j
[]{()}
e
V
[]{()}
S
j
;
(5.6.2)
После интегрирования согласно (5.6.2) стандартизованные
соотношения для средних температур элементов каталога программируются.
Сопоставляя (5.6.2) с (5.2.7) и (5.2.8), видим, что средние
температуры фактически уже найдены, поскольку интегралы в
сравниваемых выражениях одинаковы: в (5.6.2) достаточно
внести лишь объем элемента и площади
j-x поверхностей.
В заключение укажем, что базисные функции элемента
должны удовлетворять не только сформулированным в 4.4
обходимым условиям
V
которые должны выполняться
, но и достаточным:
,
0VdN
e
iq
r
1
e
V
iq
e
q
V
, (5.6.3)
dVN
1
одновременно. В задачах тепло-
не-
проводности достаточность условий (5.6.3) (второе из них может рассматриваться как нормировочное) вытекает из следующих физических соображений: объемная нагрузка независимо от характера ее распределения по узлам (равномерного или
неравномерного) может быть только положительной, а сумма
узловых нагрузок должна равняться величине
e
w объемной
нагрузки элемента в целом. К этим же выводам можно прийти
и анализируя формулы (5.6.2) для средних температур.
76
Вычислительные аспекты МКЭ
Задание 5
5.1. Получите базисные функции всех элементов каталога.
5.2. Получите все стандартизованные матрицы 4-го и 6-го эле-
ментов каталога, используя
5.3. Покажите, что
L-координаты.
L-координаты совпадают с базисными
функциями треугольника.
5.4. Найдите все среднеповерхностные температуры для
одного (любого) из элементов каталога.
Глава 6
Глава 6
ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МКЭ
Формой реализации метода конечных элементов как численного метода решения краевой задачи теории поля является вычислительная программа, представляющая собой
задаваемую ее алгоритмом последовательность стандартных
процедур. В предшествующих главах были описаны методы и
способы стандартизации отдельных вычислительных аспектов программы по реализации МКЭ. В данной главе рассматривается завершающий этап построения
чение системы алгебраических уравнений, позволяющей определить поле значений искомой величины, в частности температуры. В последних трех пунктах главы затронуты некоторые вопросы методического характера.
6.1. Задание краевых условий задачи
В пятой главе была описана методика получения стандар-
тизованных матриц элемента, которые заносятся в программу.
В качестве множителей эти матрицы содержат величины, которые либо отражают свойства элемента — объемную теплоемкость и коэффициенты теплопроводности в соответствующих матрицах, либо задаются граничными условиями задачи —
коэффициентом
ным коэффициентом
e
конвективного теплообмена и комплекс-
S
j
в поверхностных компонентах стан-
D
S
j
дартизованной матрицы теплопроводности (см. (5.2.3)) и вектором тепловой нагрузки (см. (5.2.8)).
Введенный в п. 1.2 комплексный коэффициент
(1.2.8)) описывал сложный теплообмен на границах элемента и
объединял три его компонента:
программы — полу-
D
S
j
(см.
78
Программная реализация МКЭ
n
n
— число ограничивающих элемент поверхностей.
где
j
,
RсрS
Объединение физически разнородных механизмов в
eie
,
qqTD
S
j
ij
e
SS
j
, (6.1.1)
D
S
j
было произведено чисто математически на том основании, что
все поверхностные компоненты, образующие вектор тепловой
нагрузки, описываются единой формулой (5.2.8).
Задать
рическую, физическую и количественную
верхностного
сводится к указанию номера
рой осуществляется тот или иной вид теплообмена;
ская
описывает механизм (компоненты α, ε, q) теплообмена;
граничные условия — это значит указать геомет-
характеристики по-
теплообмена. Геометрическая характеристика
поверхности элемента, на кото-
физиче-
количественная — его интенсивность.
В целях стандартизации процедуры задания граничных ус-
ловий для элементов базового каталога поверхностям каждого
его элемента присвоены номера 1, 2, 3, 4, 5, 6, а его узлам —
индексы
, , ...,ij q. Это позволяет задавать поверхность, на ко-
торой осуществляется теплообмен, не индексами принадлежащих ей узлов, а присвоенным ей в каталоге номером, что
существенно сокращает объем вводимой информации. Процедура задания граничных условий представлена в таблице 4.
Таблица 4
Таблица входных данных (=0)
Конвективный
т/о
Радиационный
т/о
Поверхно-
стная
мощность
Объемная
мощность
8 9 10 11 12
α1
α
α
S1
2
.
.
.
6
S
2
.
.
.
S
6
q
q2
q
1
.
.
.
6
w
Вектор
начальных
температур
{T
}
0
79
Глава 6
Окончание табл. 4
Конвективный
т/о
250
.
.
.
128
Радиационный
т/о
.
.
.
4
.
Поверхно-
стная
мощность
.
5800
.
.
3225
Объемная
мощность
731
Вектор
начальных
температур
293
Радиационный компонент содержит степень черноты по-
e
верхности
,величина которой (и ее температурная зависи-
S
j
мость) занесена в физический каталог. Поэтому при задании
граничных условий достаточно указать лишь
номер поверхно-
сти элемента, на которой осуществляется радиационный теп-
лообмен, не приводя самого значения
номером элемента по физическому каталогу.
ся
e
, — оно определяет-
S
j
Граничные условия для каждого элемента вводятся в расширенную таблицу входных данных, содержащую в себе и ее
геометрическую часть (см. табл. 2, с. 42). В таблице 4 наряду с
граничными условиями (позиции 8, 9, 10) указаны элементы с
объемным источником (стоком) тепла (позиция 11) и начальное условие (позиция 12) т.
е. вектор значений среднеобъем-
ных температур элементов, задаваемых пользователем программы по тем или иным соображениям. Базируясь только на
таблице входных данных, стандартизованные матрицы эле-
мента можно превратить в числовые. Тем самым числовыми
становятся и глобальные матрицы. В общем случае объемная
e
тепловая нагрузка
w зависит от времени, так как является ак-
тивным элементом в системе обеспечения теплового режима
(СОТР) объекта [49—52]. При релейном управлении она задается в программе отдельной временнόй циклограммой (табл. 5).
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]