Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод конечных элементов в задачах теплопроводности. Учебное пособие
.pdf
Программная реализация МКЭ
Таблица 6
Расчет теплового режима цилиндра
ε
0,0
0,3
0,9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
710
708
592
590
556
553
Температура (К) в узлах r
705
646
643
640
587
525
521
517
551
488
483
477
600
470
432
598
467
428
595
464
422
Сравнение температур (по столбцам) при разных
пока-
зывает, что они существенно падают при одновременном росте их градиента в радиальном направлении. Большие различия
температур в первой
0
и второй
0
строках свиде-
тельствуют о значительном вкладе радиационного компонента
теплообмена в общий энергетический баланс.
Радиационный теплообмен оказывает существенное влияние не только на величину температуры в узлах, но и на динамику процесса, о чем можно судить по данным таблицы 7.
Таблица 7
Величина температурного градиента
τ,
мин
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
Т1, К
α ≠ 0, ε = 0
342,9
352,8
354,9
355,3
355,4
∂Т
20,2
4,2
3,2
0,2
/∂τ
1
, К
Т
2
α ≠ 0, ε ≠ 0
297,3
307,6
317,1
323,8
324,1
∂Т
20,6
19,0
13,4
0,6
/∂τ
2
91
Глава 6
Показатели, представленные в таблице 7, свидетельствуют,
что как сами температуры, так и их временные производные
достаточно сильно отличаются друг от друга при нулевых и
ненулевых значениях
.
6.5. Сходимость, полнота и согласованность,
точность и пространственная изотропия
Кратко остановимся на некоторых вопросах математического характера. Обычно решение, полученное методом конечных элементов, является приближением к истинному, или
точному, решению. Как близко это вычисленное решение к
точному, сходится оно или нет — это два важных вопроса,
требующих ответа. Попытаемся оценить точность и сходимость метода конечных элементов.
Точность — это
мера близости численного решения к точному, или истинному. Устойчивость вычисления определяется
ростом ошибок при выполнении отдельных вычислительных
операций. Неустойчивое вычисление — результат аппроксимации, округления или других ошибок, которые неограниченно накапливаются, вследствие чего истинное решение тонет в
ошибках.
Сходимость — это постепенное приближение последова-
тельно вычисляемых решений к предельному по мере
того,
как уточняются некоторые вычислительные параметры, такие
как размер элемента или ранг базисной функции, в пробном
решении. Термин «сходимость» в этом же смысле применяется и к итерационной процедуре, в которой некоторые или все
результаты одного вычисления становятся входной информацией для другого (повторного) вычисления. В сходящейся
процедуре разница между
последовательными результатами
уменьшается, стремясь в пределе к нулю. Более подробные
сведения по этим вопросам можно найти в курсах по численному анализу и методам вычислений.
92
Программная реализация МКЭ
В добавление к обычным ошибкам округления и аппроксимации, связанным с какой-либо вычислительной процедурой, есть и ошибки, связанные с самим методом конечных
элементов. К ним относятся:
— ошибки дискретизации, являющиеся результатом гео-
метрических различий границы области и ее аппроксимации
по методу конечных элементов;
— ошибки пробной, или базисной, функции, обусловлен
ные разностью между точным решением и его представлением
пробной функцией.
Ошибки дискретизации могут быть уменьшены использованием более мелких элементов или расположением криволинейных элементов около границы. Ошибки пробной функции
не обязательно уменьшаются по мере уменьшения размера
элемента и поэтому могут мешать сходимости к точному решению или даже приводить
к расходимости.
В общем случае полиномиальная пробная функция может
только тогда дать точное решение на элементе конечного размера, когда полином является полным и имеет бесконечную
степень. Последовательность линейно независимых функций
считается полной, если можно найти такое число N и набор
постоянных а
, при которых для произвольной допустимой
i
функции u того же пространства R справедливо неравенство
N
ua
ii
1
i
для любой наперед заданной величины ε. Поскольку на практике возможно использовать конечное число членов, представление пробной функции в виде полинома может быть
только приближением к точному решению. Это означает, что
на элементе конечного размера пробная функция в виде полинома конечной степени всегда содержит ошибку.
Элементный вклад (5.1.5) содержит
функцию
e
T и ее про-
изводные до порядка n включительно. Полиномиальное пред-
ставление для
e
T должно содержать, как минимум, степень n,
-
93
Глава 6
если n-я производная отлична от нуля. Выбирая полиномы n-й
степени, получим в пределах элемента следующие представления:
en
( ) ....... ;
Tx a axax ax
...
01 2
en
/ 2 ....... ;
dT dx a a x na x
12
2
n
1
n
(6.5.1)
...
ne n
/!.
dT dx na
Отсюда видно, что, поскольку полином для
ный, каждая из производных имеет в своем представлении
член, не зависящий от х. По мере того как размер элемента
стремится к нулю, каждая из производных стремится к своему
точному значению и, следовательно, так же ведет себя элементный вклад. В результате процедура сходится.
Вышесказанное позволяет сформулировать первый крите-
рий
ограниченной сходимости: условием сходимости является
представление переменной внутри элемента в виде полного
полинома как минимум степени n, где n — наивысший порядок производной в определяющем (ключевом) интеграле
(5.1.5).
Когда для представления переменной
зуется полином более высокой степени, чем указанный минимум, от аппроксимации можно ожидать большей точности и
меньшей ошибки пробной функции, а как следствие — более
высокой скорости сходимости.
Наряду с понятием полноты вводится еще одна характеристика пробной функции — согласованность. Пробная функция рассматривается как согласованная, если переменная и ее
производные вплоть до порядка n – 1 непрерывны при переходе через границу между элементами, где n — порядок самой
высокой производной в ключевом интеграле (5.1.5) для эле-
n
e
()
Tx — пол-
e
(, , )
Txyz исполь-
94
Программная реализация МКЭ
ментного вклада. Это позволяет сформулировать второй кри-
терий ограниченной сходимости: условие сходимости состоит
в том, что элементы должны быть согласованными, т.
е. при
переходе через границу между элементами должны быть непрерывны сама функция и ее производные вплоть до порядка
n – 1 включительно. Отсюда следует, что квадратичные и более высокого порядка элементы, будучи (согласно определению) согласованными, безусловно обеспечивают сходимость
метода конечных элементов в версии как метода Галеркина,
так и вариационного. Для
одного и того же класса задач первый и второй критерии являются достаточными условиями
сходимости метода конечных элементов независимо от его
формулировки.
Существует еще третий критерий сходимости, связанный
с размером элемента, когда условие сходимости состоит в том,
что по мере стремления к нулю размера элемента члены с
производными и функцией
в уравнениях должны стремиться к
функции той гладкости, что и точное решение в предположении непрерывности последней.
Из изложенного выше может сложиться впечатление, что
все типы элементов, для которых гарантируется сходимость,
одинаково полезны. Это не совсем так, поскольку на практике
очень важна еще и точность. Как можно практически оценить
точность вычисленного
решения? Если иметь в виду общий
случай, то никак.
Одним из двух способов, однако, часто можно получить
достаточный показатель точности. Первый из них очевиден:
путем сопоставления с известным аналитическим решением.
Второй метод требует предварительного определения типа
сходимости для конкретной формулировки МКЭ и для конкретной задачи. Если окажется, что сходимость
улучшается
монотонно по мере уменьшения размеров элемента, то можно
решать задачу несколько раз с последовательно уменьшаемыми элементами и для получения решения экстраполировать результаты.
95
Глава 6
Монотонная сходимость МКЭ к точному имеет место, если:
— тип элемента удовлетворяет условиям полноты и согла-
сованности по первому и второму критериям;
— размеры сетки уменьшаются таким образом, чтобы эле-
менты каждого последующего уровня представляли собой
части соответствующих элементов предыдущего уровня;
— подмножество разбиений каждого уровня содержится в
подмножествах предыдущего уровня.
Представление зависимой переменной на элементе не
должно обусловливаться используемой системой координат,
или, точнее, должно быть геометрически инвариантным для
ортогональных преобразований системы координат. Это принято называть пространственной, или геометрической, изотропией. Кроме инвариантности геометрическая изотропия
также гарантирует вдоль любой границы или ребра элемента
полноту полиномиального представления того же порядка, что
и внутри
элемента.
Когда в качестве пробной функции выбран полный полином, то элемент обладает геометрической изотропией. Если из
полинома исключаются некоторые члены, то это следует сделать так, чтобы элемент, соответствующий неполному полиному, оставался геометрически изотропным. При определении
того, какие члены можно отбросить, ясно, что симметричные
пары (как x
2
, y2, или x3, y3, или x5y2, x2y5) не вносит несимметричность по отношению к той или иной координате при условии, что порядок исходного полинома не уменьшился.
Для иллюстрации отбрасывания симметричных пар полного полинома рассмотрим содержащий десять членов полной
кубической полином от двух переменных:
e
(, )
Txy a axayax axyay
12 3 4 5 6
22
96
32 2 3
78 9 10
.ax axy axy a y
Программная реализация МКЭ
Элемент, которому соответствует этот полный полином,
обладает геометрической изотропией, но то же самое имеет
место при использовании следующих неполных кубических
полиномов:
e
(, ) ,
Txy a axayaxyax axyaxy ay
12 3 5 7 8 9 10
32 2 3
или
e
(, )
Txy a axayaxyax ay
12 3 5 7 10
33
.
В последних выражениях кубические члены сохранены,
чтобы порядок исходного кубического полинома не уменьшился.
В заключение заметим, что в практике метода конечных
элементов полные полиномы, как правило, не употребляются.
Задание 6
6.1. Получите выражения (6.2.6) интегрированием (6.2.5) с
учетом (6.2.4).
6.2. Как изменится динамическое уравнение для элемента,
если радиационный компонент представить в граничных условиях выражением
0 cpR
44
, а не в виде числа, опреде-
TTq
ляемого на предыдущем шаге, согласно (6.5.1)? Какие трудности программного и математического характера должны при
этом возникнуть?
6.3. Возможны ли ситуации, когда радиационный компонент не нужно учитывать?
Рекомендуемая литература
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
По методу конечных элементов
1. Румянцев А. В. Метод конечных элементов в задачах теплопроводности : учеб. пособ. Калининград : Изд-во КГУ, 1997. 100 с.
2.
Сегерлинд Л. Дж. Применение метода конечных элементов.
М. : Мир, 1979. 370 с.
3.
Норри Д., Фриз Ж. де. Введение в метод конечных элементов.
М. : Мир, 1981. 304 с.
4.
Зенкевич О., Чанг И. Метод конечных элементов в теории со-
оружений и в механике сплошных сред. М. : Недра, 1974. 253 с.
5.
Коннор Дж., Бреббиа К. Метод конечных элементов в меха-
нике жидкости. М. : Судостроение, 1979. 175 с.
6.
Оден Дж. Конечные элементы в механике сплошных сред.
М. : Мир, 1976. 464 с.
7.
Силвестр П., Феррари Р. Метод конечных элементов для ра-
диоинженеров и инженеров-электриков. М. : Мир, 1986. 83 с.
8.
Кандидов В. П., Чесноков С. С., Выслоух В. А. Метод конечных
элементов в задачах динамики. М. : Изд-во МГУ, 1980. 147 с.
9.
Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференци-
альные уравнения : учеб. пособ. М. : Наука, 1985. 231 с.
10.
Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного ис-
числения. М. : Наука, 1965. 426 с.
11.
Пытьев Ю. П., Васильева А. Б., Пытьева Г. П. Аналитическая
геометрия с элементами линейной алгебры : учеб. пособ. М. : Изд-во
МГУ, 1986. 140 с.
12.
Волков Е. А. Численные методы. М. : Наука,1982. 254 с.
Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М. : Нау-
13.
ка, 1977. 536 с.
14.
Румянцев А. В., Васильев В. В. Решение нестационарной осе-
симметричной задачи теплопроводности методом конечных элементов с использованием комплекс-элемента. Деп. ВИНИТИ, №
Румянцев А. В. Температура теплоносителя в длинном неизо-
15.
термическом канале. Деп. ВИНИТИ, №
2679-В95.
123-В94.
98
Рекомендуемая литература
16. Румянцев А. В., Сергеенкова Р. С., Васильев В. В. Решение нестационарной осесимметричной задачи теплопроводности методом
конечных элементов с учетом радиационного теплообмена. Деп.
ВИНИТИ, №
17.
125-В94.
Румянцев А. В., Агапитов Д. А., Остроух А. Н. и др. Система
угловых коэффициентов излучения коническо-цилиндрической камеры с торцами. Деп. ВИНИТИ, №
18.
Румянцев А. В., Хоменко А. В., Васильев В. В. Система угловых
1963-В94.
коэффициентов излучения коаксиальной камеры с кольцевыми торцами. Деп. ВИНИТИ, №
1654-В95.
По основам теплообмена и проектированию
19. Авдуевский В. С., Галицейский Б. М., Глебов Г. А. и др. Основы
теплопередачи в авиационной и ракетнокосмической технике : учебник для авиационных специальностей вузов. М. : Машиностроение,
1992. 582 с.
Лыков А. В. Теория теплопроводности. М. : Высшая школа,
20.
1967. 599 с.
Арнольд П. В., Михайловский Г. А., Селиверстов В. Н. Техни-
21.
ческая термодинамика и теплопередача. М. : Высшая школа, 1979.
444 с.
22.
Юдаев Б. Н. Техническая термодинамика: Теплопередача.
М. : Высшая школа, 1988. 479 с.
Исаченко В. П., Осипов В. А., Сукомел А. С. Теплопередача.
23.
М. : Энергия, 1975. 424 с.
24.
Зарубин B. C. Инженерные методы решения задач теплопро-
водности. М. : Энергоатомиздат, 1983. 328 с.
Темкин А. Г. Обратные методы теплопроводности. М. : Энер-
25.
гия, 1973. 464 с.
26.
Лыков А. В. Тепломассообмен : справочник. М. : Энергия,
1978. 480 с.
Дрейцер Г. А. Конвективный теплообмен в каналах : учеб. по-
27.
соб. М. : Изд-во МАИ, 1984. 77 с.
28.
Мартыненко О. Г., Соковишин Ю. А. Свободно-конвектив-
ный теплообмен : справочник. Минск : Наука и техника, 1982. 400 с.
Себеси Г., Брэдшоу П. Конвективный теплообмен. Физиче-
29.
ские основы и вычислительные методы. М. : Мир, 1987. 592 с.
99
Рекомендуемая литература
30. Зигель Р., Хауэлл Дж. Теплообмен излучением. М. : Мир,
1975. 934 с.
Зарубин B. C. Температурные поля в конструкции летатель-
31.
ных аппаратов. М. : Машиностроение, 1978. 184 с.
Залетаев В. М., Капинос Ю. В., Сургучев О. В. Расчет тепло-
32.
обмена космического аппарата. М. : Машиностроение, 1979. 208 с.
Галицейский Б. Н. Теплопередача в авиационных двигателях.
33.
М. : Изд-во МАИ, 1985. 82 с.
Алемасов В. Е. Теория ракетных двигателей. М. : Оборонгиз,
34.
1965.
Галицейский Б. М., Данилов Ю. И., Дрейцер Г. А. и др. Тепло-
35.
обмен в энергетических установках космических аппаратов. М. :
Машиностроение, 1975. 272 с.
Полежаев Ю. В., Юревич Ф. Б. Тепловая защита. М. : Энер-
36.
гия, 1976. 392 с.
Тепловой расчет котельных агрегатов (нормативный метод).
37.
М. : Энергия, 1973. 296 с.
Вульман Ф., Хорьков Н. Тепловые расчеты на ЭВМ теплотех-
38.
нических установок. М. : Энергия, 1975. 198 с.
Маргулова Т. С. Атомные электрические станции. М. : Выс-
39.
шая школа, 1978. 311 с.
Алифанов О. М. Идентификация процессов теплообмена ле-
40.
тательного аппарата. М. : Машиностроение, 1979. 216 с.
Попырин П. С. Математическое моделирование и оптимиза-
41.
ция теплоэнергетических установок. М. : Энергия, 1978. 415 с.
Вигак В. М. Оптимальное управление нестационарными теп-
42.
ловыми режимами. Киев : Наукова думка, 1979. 359 с.
Лаврентьев М. Н., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некор-
43.
ректные задачи математической физики и анализа. М. : Наука, 1980.
288 с.
Коздоба Л. А. Вычислительная теплофизика. Киев : Наукова
44.
думка, 1992. 276 с.
Панкратов Б. М. Основы теплового проектирования транс-
45.
портных космических систем. М. : Машиностроение, 1988. 303 с.
Моделирование тепловых режимов космического аппарата и
46.
окружающей его среды / под ред. Г.
И. Петрова. М. : Машинострое-
ние, 1971. 380 с.
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]