Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Метод конечных элементов в задачах теплопроводности. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

Программная реализация МКЭ









Таблица 5

Временная циклограмма q(τ)

Время

(мин)

0 ÷ 30

30 ÷ 60

Номер

элемента

3 5

3 7

Номер

поверхности

1 4 3 2 1 6

Величина

мощности (Вт/м

204 357 743 510 408 623

Внешний тепловой поток

q обычно тоже выступает функ-

цией времени вследствие его ориентационной зависимости при движении объекта, например космического аппарата по орби-

те [32]. Зависимость





q может задаваться аналитически

или временнόй циклограммой, как это показано в таблице 5.

6.2. Решение системы динамических уравнений

Задание граничных условий позволяет программно превратить глобальные матрицы в числовые. В случае это означает, что получена система узлов)

алгебраических уравнений с числовыми коэффициента-

ми при неизвестных узловых значениях

стационарном

R (по количеству

или

, которая

может быть разрешена с помощью стандартной программы (например, GELG, реализующей метод Гаусса).

нестационарном случае получается система R обыкно-

венных дифференциальных уравнений

первого порядка с чи-

словыми глобальными матрицами [1]:



[]{()}[]{ }{ } 0CT KT F





, 0



, (6.2.1)

)

Глава 6























–

с начальным условием, включенным в таблицу данных:

{}{0}{}TTT





. (6.2.2)

Система уравнений (6.2.1) вместе с (6.2.2) представляет собой известную

задачу Коши. Для ее решения применим ме-

тод конечных элементов, для чего представим (рис. 6.1) временную ось

обязательно одинаковой длины

Кривая

симости температуры не в отдельном глобальном

совокупностью m отрезков (элементов), не

, хотя последнее и удобнее.

дает графическое изображение временной зави-



r-м узле, а

всего вектора значений температуры в R глобальных узлах,

т.

е.

— это вектор-столбец размером 1



. Для отобра-

жения этого факта на рисунке применен жирный шрифт.

T, K

(τ

)

(τk)

(τ

)

(τ

)

k–1

(τk)

(τ

)

-1

(τ

(τk)

(τk+1)

τ(c)

Рис. 6.1. Временная зависимость

Используя версию МКЭ, аппроксимирующую функцию на

k-м временнόм элементе представим в виде:

Программная реализация МКЭ































()

TNT

[]{}





, (6.2.3)



где

[]

NNN











— матричная строка базисных

временных функций;



{}

TT T







ik jk



значений температуры в i -м и в j-м узлах k-го

— вектор-столбец всей совокупности



временнόго элемента. В качестве базисных функций возьмем линейную модель, которая в естественной системе временных координат

имеет вид:



1 LN



;



;

kji

(6.2.4)





Применив метод Галеркина к дифференциальному уравне-

нию (6.2.1), для

k -го временнόго элемента получим систему

уравнений в интегральной форме:







[()] [][()]{}[][()]{}{} 0

NCNTKNTFd

  









. (6.2.5)

Интегрирование этого выражения с помощью L-координат

приводит к системе алгебраических линейных уравнений:



[]{}{} [ ]2{} {} {} 0,

CT T K T T F











 





ji ij i

[]{ } {} [ ]{} 2{ } { } 0.

CT T KT T F



ji i j j



(6.2.6)



Разрешим ее относительно {



[][ ]{ } [][ ]{ } { } { }

CKT CKT F F

 







   

jk ik ik j k



Вводя обозначения:

[] [] [ ];[] [][ ],

CKP CK

 



(6.2.7)

Глава 6





























последнее выражение запишем компактно:

[]{ } []{ } { }{ }

AT PT F F







jk ik ik jk

. (6.2.8)



Уравнение (6.2.8) содержит две неизвестные — совокуп-

ности значений температур

T в i -м и в

-м узлах k -го эле-

мента. Для обеспечения непрерывности интерполяционной функции (6.2.3) в общем для соседних элементов узле должно выполняться условие:

{}{ }





ik jk

. (6.2.9)





Подставляя (6.2.9) в (6.2.8) и опуская одинаковый для всех

членов уравнения индекс

, получим рекуррентное уравне-

ние, позволяющее выразить координатные узловые значения

температуры на

значений на предыдущем

[]{ } []{ } { } { }

AT PT F F

-м временнόм шаге через совокупность их

-м шаге:

1k







kkkk



. (6.2.10)



Полученное уравнение (6.2.10) может быть решено отно-

сительно

{}

только в том случае, если







известны.

{}

Именно это обусловливает обязательную последовательность данного процесса — он должен начинаться с ющим перебором значений

2, 3, ...,km

. Эта процедура мо-

с последу-

жет быть охарактеризована как псевдоитерационный процесс, в котором последующее значение вычисляется по найденному на предыдущем шаге. Отличие заключается в том, что значения в j-м узле находятся по значениям в i-м узле, а в итерационной процедуре значения искомой величины уточняются в одном и том

же узле по найденному на предыдущем шаге в

этом же узле.

На первом временнόм шаге в качестве

{}

гурировать начальное — задаваемое — условие (6.2.2) в





будет фи-

-м

временном узле, что и позволяет найти по уравнению (6.2.10) значения температур в

-м узле этого же (с 1k) временного

элемента:

Программная реализация МКЭ



























Определение

[]{ } []{ 0} { 0} { }

AT PT F F







jiij

{}

по уравнению (6.2.11) и тем самым,



согласно (6.2.10), значений

временнόго элемента с

k позволяет организовать последо-

{}

в i-м узле второго

. (6.2.11)



вательный процесс в соответствии с рекуррентным уравнением (6.2.11).

Таким образом, методом Галеркина система R дифферен-

циальных уравнений решена и сведена к системе R алгебраических уравнений с числовыми

коэффициентами при неизвест-

ных значениях температуры в R глобальных координатных узлах на каждом

-м временнόм элементе.

Другие способы решения системы динамических уравне-

ний (6.2.1) описаны в [2; 6] (решение методом конечных разностей).

6.3. Учет температурной зависимости теплофизических параметров

Полученное в п. 6.2 выражение (6.2.11) является решением линейного уравнения теплопроводности с линейными граничными условиями, так как все теплофизические параметры задачи полагались постоянными. Это ограничение общности решения может быть снято программными методами [1].

При небольшой величине

температуры на

-м шаге будут невелики, в силу чего парамет-

временного шага изменения

ры задачи можно считать постоянными на этом временном элементе. Это тем более справедливо, если учесть, что темпера-

aT T

турная зависимость параметров довольно слабая —



(через а обозначен теплофизический параметр) невелико. Однако постепенно изменения температуры будут накапливаться, и на каком-то временнόм шаге значения параметров следует перевычислить соответственно средней температуре элемента по заложенной в физическом каталоге процедуре:

Глава 6













































.aT b bT bT

(6.3.1)



;

b const



Здесь под

k ; объемная теплоемкость

сти

Ta понимаются: коэффициент теплопроводно-

 

01 2

Для установления момента времени, в который нужно производить перерасчет параметров, на каждом шаге

2k

чиная с

, достаточно сравнить среднеобъемную темпера-

, на-

туру элемента (см. (5.5.1)) с ее значением на первом временном отрезке:

TT T

 

VVkV





. (6.3.2)



По задаваемой величине

, например ~ 100 К, можно те-

перь определить номер k-го временнόго шага, с которого нужно перевычислить по (6.3.1) параметры тех элементов e', для



которых условие



оказалось выполненным. Для

100

этих элементов находятся разности



aa a

 



  





и в стандартизованных матрицах элементов e' коэффициенты

заменяются на a, что позволяет найти поправочные



числовые матрицы

[]

 и ∆ []

. Все найденные указанным

способом поправочные матрицы заносятся по известной процедуре (см. 5.2) в глобальные матрицы

[]A

[]P



, что

приводит к поправленным на температурную зависимость параметров матрицам

[]

. Относительно поправки



объемной теплоемкости следует иметь в виду, что температурная зависимость с рактер: если с

растет с температурой, то ρ — падает, так что

(T) и ρ(T) носит противоположный ха-

их произведение крайне слабо зависит от температуры. Поэтому поправлять матрицу теплоемкости на температурную зависимость вряд ли целесообразно.

Программная реализация МКЭ



















В отличие от глобальных матриц, глобальный вектор тепловой нагрузки F формируется на каждом временнόм элементе, поскольку в общем случае:

Поверхностная его часть определяется комплексным коэффициентом:



  







RkSk







qqD





который также находится на каждом

Таким образом, рекуррентное уравнение (6.2.11) с внесенными поправками на температурную зависимость параметров, по которому нужно проводить расчет температур на следую-

щем (

ленных»

-м шаге, а температура остальных

их температурой на

(6.3.2) после

-м) шаге, будет иметь вид [1]:



[]{ }[]{}

AT PT

 



kk kk

{}{ }.





На последующих временных шагах температура «поправ-



элементов сравнивается с их же температурой на

-го шага расщепляется на два неравенства:

TT K



Vkn k







-м шаге. Следовательно, неравенство







1, 2, ...n

TT K





 

Vkn V







(6.3.3)







'eE

элементов — с



100

(6.3.4)





100

;

При выполнении любого из них процедура внесения поправок повторяется.

Глава 6

6.4. Радиационный компонент теплообмена

Конвективный компонент теплообмена характеризуется его интенсивностью — коэффициентом теплоотдачи α. Его зависимость от температуры довольно слаба, поскольку температура отнесения определяется как средняя температур теп-

()/2

лоносителя и обтекаемого тела —

TTT

, — кото-

рые влияют на числа Рейнольдса и Нуссельта (параметры конвективного процесса теплоотдачи) лишь через слабую зависимость от температуры коэффициента теплопроводности и динамической вязкости газового теплоносителя. Поправка лежит в пределах 5÷10

%, и ею можно пренебречь. В отличие от дру-

гих видов теплообмена, радиационный (лучистый) теплообмен существует всегда вследствие недостижимости абсолютного нуля температуры, и поэтому, в принципе, он должен учитываться при любых температурах. Одним из факторов, объясняющих значение теплового излучения, является вид зависимости энергии излучения от температуры. В случае

теплопроводности и конвекции перенос энергии между двумя участками пропорционален разности температур этих участков приблизительно в первой степени. Перенос энергии тепловым излучением зависит от разности абсолютных температур отдельных тел, каждая из которых возведена примерно в четвертую степень. Из этого основного различия механизмов обмена энергией при излучении

, конвекции и теплопроводности следует, что роль излучения повышается при возрастании уровня абсолютных температур. При проектировании устройств, предназначенных для использования в условиях космоса, предусматривают высокотемпературные режимы их работы для достижения высокой тепловой эффективности.

Вторая отличительная особенность переноса излучения — необязательное наличие среды для обмена энергией излучения между участками, в то

время как для переноса энергии кон-

векцией или теплопроводностью присутствие физической сре-

Программная реализация МКЭ













ды обязательно. Если среда отсутствует, то излучение становится единственно возможным способом переноса тепла. Например, для отвода отработанного тепла от космических энергетических установок может быть использовано только излучение [19; 27; 32; 47—52].

Радиационный теплообмен с окружающей средой внешних элементов в диффузно-сером приближении можно описать выражением [1; 16]:



keR



10 cpkSk





TTq



, (6.4.1)

где

— постоянная Стефана — Больцмана;

— интегральная степень черноты;

T — среднеповерхностная температура;

— номер внешней радиационной поверхности элемента.

Радиационный теплообмен между

e - и me -элементами —

внутренний теплообмен — описывается более сложной формулой, основанной на зональном методе расчета лучистого теплообмена в замкнутой системе изотермических поверхностей [1; 16]:

где

qTT



,nm



    

Rk ii m k n k nm





— средний разрешающий угловой коэффициент из-

011,









, (6.4.2)

лучения, величина которого находится решением системы уравнений

   

,,,,

nm j n j jm nm









, (6.4.3)

включающих известные средние геометрические угловые ко-

эффициенты излучения

,nm

В частности, для камеры стационарного плазменного двигателя (СПД) они даны в работах [17; 18]. Под температурами

Глава 6













Tm и Tn в (6.4.2) понимаются среднеповерхностные температуры этих поверхностей.

Так как элемент имеет несколько поверхностей, то одни из них могут участвовать во внешнем (

e ), а другие во внутрен-

нем (i) радиационном теплообмене. Поэтому поверхностная

часть вектора нагрузки для одного и того же элемента будет иметь в общем случае два радиационных компонента — внеш-

ний и внутренний:

 





dSNqf

;

 



Процедура учета температурной зависимости

. (6.4.4)



dSNqf

ана-



логична описанной в 6.3.

Согласно изложенному способу учета радиационного компонента сложного теплообмена неизвестные узловые значения температур в четвертой степени не появляются в системе определяющих уравнений, и она остается линейной, что значительно упрощает процедуру ее решения методом Гаусса. При необходимости повысить точность результатов расчета нужно:

а) в формулах (6.5.1), (6.5.2) ные температуры



ратуры

1kS

;



на найденные на

заменить среднеповерхност-

-м шаге темпе-

б) полученные новые значения внешнего и внутреннего компонентов радиационного теплообмена включить в глобальный вектор нагрузки;

в) заново решить систему уравнений.

Эту процедуру уточнения результатов на

-м шаге можно

повторять до тех пор, пока их различие не станет меньше наперед заданной величины

Важность учета радиационного компонента теплообмена проиллюстрирована в таблице 6 результатами расчета по описанной методике теплового режима цилиндра при различных значениях степени черноты поверхности

[1; 16].

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]