Исследование функций вещественного переменного дистанционные динамические расчетные проекты. Учебное пособие

81

2.2.1. Теоретический аспект

В силу сложности структуры символьной записи алгебраических уравнений задача по нахождению точных решений является весьма трудоемкой и подчас нереальной.

Процедура нахождения приближенных решений алгебраических уравнений может быть реализована в два этапа:

1. Локализация корней – выделение отрезков, каждый из

которых содержит по одному корню, с использованием аналитических или графических методов.

2. Уточнение корней – вычисление с использованием

численных методов приближенных значений действительных корней уравнения на каждом из отрезков с необходимой точностью, при этом каждый из корней в силу единственности на рассматриваемом интервале, называемом интервалом изоляции корня, является изолированным.

Предлагаемые в рамках рассматриваемого дистанционного динамического расчетного проекта численные методы используются для приближенных решений алгебраических уравнений вида

0)x(f

=

с целью определения приближенного

значения изолированного действительного корня

n

x на отрезке

]x,x[

0B0A

с необходимой точностью ε.

Рассмотрим логические основы реализации метода половинного деления (дихотомии), комбинированного метода хорд и касательных (Ньютона), метода золотой пропорции для выполнения приближенных решений алгебраических и трансцендентных уравнений в зависимости от различных значений

82

0A

x , 0Bx ,

ε

, используемых в качестве логических составляющих

дистанционного динамического расчетного проекта

«Приближенные решения алгебраических уравнений».

Метод половинного деления (дихотомии)

Суть половинного деления или дихотомии состоит в следующем: если разделить отрезок C на отрезки A и B таким образом, что это будет отражать дихотомию, то C, деленное на A,

будет равно C, деленному на B, то есть A равно B: 2

BСA

C

== , или

BA=

.

Таким образом, при наличии исходного отрезка

[

]

0B0A

x,x

полученный в результате «N»-го деления отрезок

[

]

BNAN

x,x

связан с

исходным соотношением

N

0A0B

ANBN

2

xx

−

=−

.

В рассматриваемом дистанционном динамическом расчетном проекте метод половинного деления (дихотомии) имеет следующую реализацию:

1. Итерация с индексом «0»:

1.1. На искомом отрезке

[

]

0B0A

x,x

при соблюдении условий

0B0A

xx

<

и

()(

)

0xfxf

0B0A

<

⋅

выбирается точка

D

0C

x

, исходя из

неравенства

0B

D

0C0A

xxx

<< , в соответствии с принципами

дихотомии, согласно следующему соотношению:

2

xx

x

0B0A

D

0C

+

= .

1.2. Если достигнута истинность выражения

ε

2xx

0A0B

<

−

,

то итерации прекращаются, количество шагов итераций

0s

D

=

ε

и в

83

качестве приближенного значения действительного корня

уравнения

D

x

ε

выбирается

D

0C

D

xx =

ε

в силу равенства

2

xx

x

0B0A

D

0C

+

= .

1.3. Если

ε

2xx

0A0B

≥

−

, то осуществляется переход к

следующей итерации.

2. Итерация с индексом «N»

(

)

1N

≥

:

2.1. Если

( )

(

)

( )

(

)

0xfxf

D

1NA

D

1NC

<⋅

−−

и

( )

(

)

( )

(

)

0xfxf

D

1NB

D

1NC

>⋅

−−

, то

( )

D

1NA

D AN

xx−=

,

( )

D

1NC

D

BN

xx−=

,

( ) ( )

2

xx

xxxx

D

1NA

D

1NB

D

1NA

D

1NC

D AN

D

BN

−−

−

=−=−

и получаем отрезок

[

]

( ) ( )

[

]

D

1NCD1NA

D

BN

D

AN

x,xx,x

−−

=

.

2.2. Если

( )

(

)

( )

(

)

0xfxf

D

1NB

D

1NC

>⋅

−−

и

( )

(

)

( )

(

)

0xfxf

D

1NB

D

1NC

<⋅

−−

, то

( )

D

1NC

D AN

xx−=

,

( )

D

1NB

D BN

xx−=

,

( ) ( )

2

xx

xxxx

D

1NA

D

1NB

D

1NC

D

1NB

D AN

D

BN

−−

−

=−=−

и получаем отрезок

[

]

( ) ( )

[

]

D

1NBD1NC

D

BN

D

AN

x,xx,x

−−

=

.

2.3. На отрезке

[

]

D

BN

D AN

x,x

при соблюдении условий

D

BN

D AN

xx <

и

()(

)

0xfxf

D

BN

D AN

<⋅

выбирается точка

D

CN

x

, исходя из неравенства

D

BN

D

CN

D AN

xxx <<

, в соответствии с принципами дихотомии, согласно

следующему соотношению:

2

xx

x

D BN

D AN

D

CN

+

=

.

2.4. Если достигнута истинность выражения

ε

2xx

D

AN

D BN

<−

,

то итерации прекращаются, количество шагов итераций

NsD=

ε

и в

качестве приближенного значения действительного корня

84

уравнения

D

x

ε

выбирается

D

CN

D

xx =

ε

в силу равенства

2

xx

x

D

BN

D

AN

D

CN

+

=

.

2.5. Если

ε

2xx

D AN

D BN

≥−

, то осуществляется переход к

следующей итерации.

Комбинированный метод хорд и касательных (Ньютона)

Комбинированный метод хорд и касательных (Ньютона) применяется только в случаях, когда функция

(

)

xf

на искомом

отрезке

[

]

0B0A

x,x монотонна и не имеет точек перегиба, то есть

(

)

xf

′

и

(

)

xf

′

не изменяют знака на отрезке

[

]

0B0A

x,x .

Суть метода заключается в сжатии искомого отрезка

[

]

0B0A

x,x

в силу проведения из противоположных концов хорды и касательной, согласно следующим правилам:

1. Для случая

()(

)

0xfxf

0A0A

>′′

⋅

и

()(

)

0xfxf

0B0B

<′′

⋅

отрезок

[

]

BNAN

x,x образуется из отрезка

( ) ( )

[

]

1NB1NA

x,x

−−

согласно следующим

правилам:

1.1. Исходя из уравнения касательной, проходящей из точки

с координатами

( ) ( )

()(

)

1NA1NA

xf,x

−−

к графику исходной функции

(

)

xf

, то есть

(

)

( ) ( ) ( )

)xx()x(f)x(fxf

1NAAN1NA1NAAN1 −−−

−⋅′+=

,

получим абсциссу точки пересечения касательной с осью абсцисс

(

)

0xf

AN1

=

):

( )

(

)

( )

1NA

1NAAN

xf

xx

−

′

−=

.

1.2. Исходя из уравнения хорды, проходящей через точки с

координатами

( ) ( )

()(

)

1NA1NA

xf,x

−−

и

( ) ( )

()(

)

1NX1NX

bf,b

−−

, то есть

85

( )

(

)

( )

(

)

( ) ( )

1NB1NA

1NBBN1NBBN2

xx

xfxf

xxxfxf

−−

−

⋅−+= , получим

абсциссу точки пересечения хорды с осью абсцисс (

(

)

0xf

BN2

=

):

( ) ( )

)x(f)x(f

xx

)x(fxx

1NB1NA

1NB1NBBN

−−

−

⋅−= .

2. Для случая

()(

)

0xfxf

0A0A

<′′

⋅

и

()(

)

0xfxf

0B0B

>′′

⋅

отрезок

[

]

BNAN

x,x образуется из отрезка

( ) ( )

[

]

1NB1NA

x,x

−−

согласно следующим

правилам:

2.1. Исходя из уравнения касательной, проходящей из точки

с координатами

( ) ( )

()(

)

1NB1NB

xf,x

−−

к графику исходной функции

(

)

xf , то есть

(

)

( ) ( ) ( )

)xx()x(f)x(fxf

1NBBN1NB1NBBN1 −−−

−⋅′+=

,

получим абсциссу точки пересечения касательной с осью абсцисс

(

)

0xf

BN1

=

):

( )

(

)

( )

1NB

1NBBN

xf

xx

−

′

−= .

2.2. Исходя из уравнения хорды, проходящей через точки с

координатами

( ) ( )

()(

)

1NA1NA

xf,x

−−

и

( ) ( )

()(

)

1NB1NB

xf,x

−−

, то есть

( )

(

)

( )

(

)

( ) ( )

1NA1NB

1NAAN1NAAN2

xx

xfxf

xxxfxf

−−

−

⋅−+= , получим

абсциссу точки пересечения хорды с осью абсцисс (

(

)

0xf

AN2

=

):

( ) ( )

)x(f)x(f

xx

)x(fxx

1NA1NB

1NA1NAAN

−−

−

⋅−= .

В рассматриваемом дистанционном динамическом расчетном проекте комбинированный метод хорд и касательных (Ньютона) имеет следующую реализацию:

1. Итерация с индексом «0»:

86

1.1. На искомом отрезке

[

]

0B0A

x,x при соблюдении условий

0B0A

xx

<

,

()(

)

0xfxf

0B0A

<

⋅

,

()(

)

0xfxf

0A0A

>

′

′⋅′

,

()(

)

0xfxf

0B0B

>

′

′⋅′

выбирается точка с координатами

()(

)

CT

0C

CT

0C

xf,x

, из которой

проводится первая касательная к графику исходной функции

(

)

xf

.

1.2. Если

()(

)

0xfxf

0A0A

>′′

⋅

и

()(

)

0xfxf

0B0B

<′′

⋅

, то

0A

CT

0C

xx =

.

1.3. Если

()(

)

0xfxf

0A0A

<′′

⋅

и

()(

)

0xfxf

0B0B

>′′

⋅

, то

0B

CT

0C

xx =

.

1.4. Если достигнута истинность выражения

ε

2xx

0A0B

<

−

,

то итерации прекращаются, количество шагов итераций

0sCT=

ε

и в

качестве приближенного значения действительного корня

уравнения

CT

x

ε

выбирается

2

xx

x

0B0A

CT

+

=

ε

.

1.5. Если

ε

2xx

0A0B

≥

−

, то осуществляется переход к

следующей итерации.

2. Итерация с индексом «N»

(

)

1N

≥

:

2.1. Если

0A

CT

0C

xx = , то на отрезке

( ) ( )

[

]

CT

1NBCT1NA

x,x

−−

выбираются

точки

CT AN

x

и

CT BN

x

с соблюдением условия

( ) ( )

CT

1NB

CT BN

CT AN

CT

1NA

xxxx

−−

<<<

,

согласно следующим соотношениям:

( )

(

)

( )

CT

1NA

CT

1NA

CT

1NA

CT AN

xf

xx

−

′

−=

и

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

CT

1NB

CT

1NA

CT

1NB

CT

1NA

CT

1NB

CT

1NB

CT BN

xfxf

xx

xfxx

−−

−

⋅−=

.

87

2.2. Если

0B

CT

0C

xx =

, то на отрезке

( ) ( )

[

]

CT

1NBCT1NA

x,x

−−

выбираются

точки

CT AN

x

и

CT BN

x

с соблюдением условия

( ) ( )

CT

1NB

CT BN

CT AN

CT

1NA

xxxx

−−

<<<

,

согласно следующим соотношениям:

( )

(

)

( )

CT

1NB

CT

1NB

CT

1NB

CT BN

xf

xx

−

′

−=

и

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

CT

1NA

CT

1NB

CT

1NA

CT

1NB

CT

1NA

CT

1NA

CT AN

xfxf

xx

xfxx

−−

−

⋅−=

.

2.3. Если достигнута истинность выражения

ε

2xx

CT AN

CT BN

<−

,

то итерации прекращаются, количество шагов итераций

NsCT=

ε

и в

качестве приближенного значения действительного корня

уравнения

CT

x

ε

выбирается

2

xx

x

CT

BN

CT AN

CT

+

=

ε

.

2.4. Если

ε

2xx

CT

AN

CT BN

≥−

, то осуществляется переход к

следующей итерации.

Метод золотой пропорции

Суть золотой пропорции состоит в следующем: если разделить отрезок С на отрезки А и В таким образом, что это будет отражать золотую пропорцию, то А, деленное на В, будет равно С, деленному на А.

Символьная запись:

618033989,1

251BAA

C

≈

+

===

ϕ

.

В рассматриваемом дистанционном динамическом расчетном проекте метод золотой пропорции имеет следующую реализацию:

1. Итерация с индексом «0»:

88

1.1. На искомом отрезке

[

]

0B0A

x,x при соблюдении условий

0B0A

xx

<

и

()(

)

0xfxf

0B0A

<

⋅

выбираются точки с абсциссами

GP

0C

x

и

GP

0D

x

, исходя из неравенства

0B

GP

0D

GP

0C0A

xxxx <<<

, в соответствии с

принципами золотой пропорции, согласно следующим соотношениям:

ϕϕ

0A0B

0B

2

0A0B

0A

GP

0C

xx

x

xx

−−=−

+=

,

2

0A0B

0B

0A0B

0A

GP

0D

xx

x

xx

ϕϕ

−−=−

+=

.

1.2. Если достигнута истинность выражения

ε

2xx

0A0B

<

−

,

то итерации прекращаются, количество шагов итераций

0sGP=

ε

и в

качестве приближенного значения действительного корня

уравнения

GP

x

ε

выбирается абсцисса

2

xx

x

0B0A

GP

+

=

ε

.

1.3. Если

ε

2xx

0A0B

≥

−

, то осуществляется переход к

следующей итерации.

2. Итерация с индексом «N»

(

)

1N

≥

:

2.1. Если

( )

(

)

( )

(

)

0xfxf

GP

1NC

GP

1NA

<⋅

−−

, то

( )

GP

1NA

GP AN

xx−=

,

( )

GP

1NC

GP BN

xx−=

,

( ) ( )

GP

1NA

GP

1NC

GP AN

GP

BN

xxxx

−−

−=−

и получаем отрезок

[

]

( ) ( )

[

]

GP

1NCGP1NA

GP

BN

GP AN

x,xx,x

−−

=

.

2.2. Если

( )

(

)

( )

(

)

0xfxf

GP

1ND

GP

1NC

<⋅

−−

, то

( )

GP

1NC

GP AN

xx−=

,

( )

GP

1ND

GP BN

xx−=

,

( ) ( )

GP

1NC

GP

1ND

GP AN

GP

BN

xxxx

−−

−=−

и получаем отрезок

[

]

( ) ( )

[

]

GP

1ND

GP

1NC

GP

BN

GP AN

x,xx,x

−−

=

.

89

2.3. Если

( )

(

)

( )

(

)

0xfxf

GP

1NB

GP

1ND

<⋅

−−

, то

( )

GP

1ND

GP AN

xx−=

,

( )

GP

1NB

GP BN

xx−=

,

( ) ( )

GP

1ND

GP

1NB

GP AN

GP BN

xxxx

−−

−=−

и получаем отрезок

[

]

( ) ( )

[

]

GP

1NBGP1ND

GP

BN

GP AN

x,xx,x

−−

=

.

2.4. На искомом отрезке

[

]

GP BN

GP AN

x,x

при соблюдении условий

GP BN

GP AN

xx <

и

()(

)

0xfxf

GP BN

GP AN

<⋅

выбираются точки с абсциссами

GP

CN

x

и

GP DN

x

, исходя из неравенства

GP BN

GP DN

GP CN

GP AN

xxxx <<<

, в соответствии с

принципами золотой пропорции, согласно следующим соотношениям:

ϕϕ

GP AN

GP BN

2

GP AN

GP BN

GP AN

GP CN

xx

x

xx

−

−=

−

+=

,

2

GP AN

GP BN

GP AN

GP

BN

GP AN

GP DN

xx

x

xx

ϕϕ

−

−=

−

+=

.

2.5. Если достигнута истинность выражения

ε

2xx

GP AN

GP BN

<−

,

то итерации прекращаются, количество шагов итераций

NsGP=

ε

и в

качестве приближенного значения действительного корня

уравнения

GP

x

ε

выбирается абсцисса

2

xx

x

GP BN

GP AN

GP N

+

=

.

2.6. Если

ε

2xx

GP

AN

GP BN

≥−

, то осуществляется переход к

следующей итерации.

2.2.2. Описание демо-версии расчетного проекта

Описание демо-версии дистанционного динамического расчетного проекта «Приближенные решения алгебраических уравнений» приведем на примере реализации дистанционной системой динамических расчетных проектов расчетов значений промежуточных и итоговых результатов вычислений при

90

нахождении приближенных значений действительных корней

ε

x

для заданного алгебраического уравнения

0dcxbxax23=++

+

или

05x9x6x

323=+−

−

и параметров поиска

02,0

=

ε

,

2x

0A

=

и

6x

0B

=

в сопровождении скриншотов программы для ЭВМ.

По автоматически сгенерированным дистанционной системой динамических расчетных проектов значениям исходных данных осуществляется вывод в виде автоматически создаваемой статической Интернет-страницы полученных значений исходных данных (рис. 38), а также информации о рассчитанных значениях промежуточных и итоговых результатов вычислений по методу половинного деления (дихотомии) (рис. 39), комбинированному методу хорд и касательных (Ньютона) (рис. 40) и методу золотой пропорции (рис. 41).

Для каждого из численных методов в качестве промежуточных результатов вычислений выступают значения необходимых параметров на шагах с индексами «0», «1» и «N», где «N» – общее количество шагов для метода. Значения параметров для численных методов на шаге с индексом «N-1» вычисляется в автоматическом режиме и представлены для возможности реализации расчетов на последнем шаге, то есть значения данных расчетных параметров являются значениями исходных данных для шага с индексом «N».