Исследование функций вещественного переменного дистанционные динамические расчетные проекты. Учебное пособие

121

Например, используя формулировку вычисления

определенного интеграла для функции

()(

)

xy,xf , учитывая, что

()(

)

NNN

xy,xf)x(y

=

′

или

()(

)

1N1N1N

xy,xf)x(y

−−−

=

′

и

α

hxx

1NN

=

−

,

можно получить следующее соотношение:

( ) ( ) ( )( )

.dxxy,xf)xx()x(y)x(yxyxy

N

1N

x

1N1N1NN1N1NNN

∫

−

−−−−−

=−⋅

′

=−=

∆

По формуле прямоугольников получим, что

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

α

∆

hxy,xfdxxy,xf)x(yxyxy

1N1N

x

1NNN

N

1N

−−−

==−=

∫

−

Т

огда вычисление приближенных значений координат точки

исходной функции с координатами

()(

)

NN

xy,x , исходя из

приближенных значений координат точки

()(

)

1N1N

xy,x

−−

, по методу

Эйлера осуществляется согласно следующим соотношениям:

()()()()()(

)

α

∆

hxy,xfxyxyxyxy

1N1N1NN1NN

⋅+=+=

−−−−

,

α

hxx

1NN

+

=

−

.

Также соотношения метода Эйлера можно получить как

частный случай методов Рунге-Кутта.

В методах Рунге-Кутта определенный интеграл определяется в виде интерполяционного многочлена согласно следующему соотношению:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

,hKpxy

dxxy,xfxyxyxyxy

S

1J

JJ1N

x

1N1N1NN1NN

N

1N

∑

∫

=

−

−−−−

⋅+=

=+=+=

−

α

∆

122

где

J

p – коэффициенты, зависящие от S;

(

)

α

hK

J

– функции,

зависящие от вида подинтегральной функции

()(

)

1N1N

xy,xf

−−

и

значения фиксированного шага

α

h .

В общем случае значения

J

p и

(

)

α

hK

J

определяются согласно

следующим соотношениям:

()()(

)

1N1N1

xy,xfhhK

−−

⋅

=

αα

,

()()()(

)

αααα

β

α

hKxy,hxfhhK

1211N21N2

⋅+⋅+⋅

=

−−

,

()()()()(

)

ααααα

ββα

hKhKxy,hxfhhK

2321311N31N3

⋅+⋅+⋅+⋅

=

−−

,

…………………………………………………………………

( )

()(

)

( )

.

hK

...hKxy,hx

fhhK

1S1S,S

11S1NS1N

S













⋅+

++⋅+⋅

+

⋅=

−−

α

αα

β

α

Значения

J

p

,

S

α

и

1S,S −

β

получают из соображений высокой

точности вычислений.

Если

1p

1

=

и

()()(

)

1N1N1

xy,xfhhK

−−

⋅

=

αα

, то получим

соотношение:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

.xy,xfhxyhKpxy

dxxy,xfxyxyxyxy

1N1N1N111N

x

1N1N1NN1NN

N

1N

−−−−

⋅+=⋅+=

=+=+=

∫

−

αα

∆

Таким образом, метод Эйлера является методом Рунге-Кутта

первого порядка точности.

В рассматриваемом дистанционном расчетном проекте метод

Эйлера имеет следующую реализацию (итерация с индексом «N»

(

)

1N

≥

):

1. На искомом отрезке

[

]

0B0A

x,x

при соблюдении условия

0B0A

xx

<

, исходя из вводимого или рассчитанного значения

123

величины шага

E

h

α

(при вводимом значении количества шагов

E

s

α

по формуле

E

0A0B

E

s

xx

h

α

−

= ), выбирается абсцисса точки графика

исходной функции с координатами

()(

)

E N

xy,x , то есть

E N

x , согласно

следующему соотношению:

EE

1N

E

N

hxx

α

+=

−

.

2. Осуществляется вычисление приближенного значения

ординаты точки исходной функции с координатами

()(

)

E

N

E N

xy,x , то

есть

(

)

E

N

xy , согласно следующим соотношениям:

()()()()()(

)

E

1N

E

1N

EE

1N

E N

E

1N

E N

xy,xfhxyxyxyxy

−−−−

⋅+=+=

α

∆

,

EE

1N

E

N

hxx

α

+=

−

.

3. Если достигнута истинность выражения

0B

E

N

xx ≥ , то

итерации прекращаются, количество шагов итераций Ns

E

=

α

, тогда

приближенное значение исходной функции

(

)

0B

xy в точке с

координатами

()(

)

0B0B

xy,x определятся согласно соотношению

()(

)

E

N

E

0B

xyxy =

α

.

4. Если

0B

E

N

xx < , то осуществляется переход к следующей

итерации.

Метод Рунге-Кутта второго порядка точности

В методе Рунге-Кутта второго порядка точности имеем следующие соотношения:

Если 0p

1

=

, то

()()(

)

1N1N1

xy,xfhhK

−−

⋅

=

αα

.

Если 1p

2

=

, то

2

1

2

=

α

,

2

1

21

=

β

и

124

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

.xy,xf

2

h

xy,

2

h

xfh

hK

2

1

xy,

2

h

xfhhK

1N1N1N1N

11N1N2

 



 



⋅++⋅=

=

 



 



⋅++⋅=

−−−−

−−

αα

α

αα

В итоге получим соотношение:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

=













++⋅+=

=⋅+⋅+=⋅+=

=+=+=

−−−

−

=

−

−−−−

∑

∫

−

α

ααα

∆

hK

2

1

xy,

2

h

xfhxy

hKphKpxyhKpxy

dxxy,xfxyxyxyxy

11N1N1N

22111N

2

1J

JJ1N

x

1N1N1NN1NN

N

1N

( ) ( ) ( )( )

.xy,xf

2

h

xy,

2

h

xfhxy

1N1N1N1N1N

 



 



⋅++⋅+=

−−−−−

αα

α

Тогда вычисление приближенных значений координат точки

графика исходной функции с координатами

()(

)

NN

xy,x , исходя из

приближенных значений координат точки

()(

)

1N1N

xy,x

−−

, по методу

Рунге-Кутта второго порядка точности осуществляется согласно следующим соотношениям:

( )

2

h

xx

1N21N2

α

+=

−−

,

( )

( ) ( )( )

1N1N1N21N2

xy,xf

2

h

xyxy

−−−−

⋅+=

α

,

()()()(

)

( ) ( )

()(

)

21N221N21NN1NN

xy,xfhxyxyxyxy

−−−−

⋅+=+=

α

∆

,

α

hxx

1NN

+

=

−

.

В рассматриваемом дистанционном расчетном проекте работе метод Рунге-Кутта второго порядка точности имеет следующую реализацию (итерация с индексом «N»

(

)

1N

≥

):

125

1. На искомом отрезке

[

]

0B0A

x,x при соблюдении условия

0B0A

xx

<

, исходя из вводимого или рассчитанного значения

величины шага

2RK

h

α

(при вводимом значении количества шагов

2RK

s

α

по формуле

2RK

0A0B

2RK

s

xx

h

α

−

= ), выбирается абсцисса точки

графика исходной функции с координатами

()(

)

2RK

N

2RK

N

xy,x , то есть

2RK

N

x , согласно следующему соотношению:

2RK2RK

1N

2RK

N

hxx

α

+=

−

.

2. Осуществляется вычисление приближенного значения

ординаты точки исходной функции с координатами

()(

)

2RK

N

2RK

N

xy,x ,

то есть

(

)

2RK

N

xy , согласно следующим соотношениям:

( )

2

h

xx

2RK

1N

2RK

21N2

α

+=

−−

,

( )

( ) ( )

,y,xf

2

h

yxyxyxy

2RK

1N

2RK

1N

2RK

1N

2RK

21N2

2RK

1N

2RK

21N2 −−−−−−

⋅+=+=

α

∆

()()(

)

( ) ( )

(

)

,y,xfhyxyxyxy

2RK

21N2

2RK

21N2

2RK2RK

1N

2RK

N

2RK

1N

2RK

N −−−−

⋅+=+=

α

∆

2RK2RK

1N

2RK

N

hxx

α

+=

−

.

3. Если достигнута истинность выражения

0B

2RK

N

xx ≥ , то

итерации прекращаются, количество шагов итераций Ns

2RK

=

α

,

тогда приближенное значение исходной функции

()(

)

xy,xfy

=

′

в

точке с координатами

()(

)

xy,xf

1N

определятся согласно

соотношению

()(

)

2RK

N

2RK

0B

xyxy =

α

.

4. Если

0B

2RK

N

xx < , то осуществляется переход к следующей

итерации.

126

Метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности

В методе Рунге-Кутта четвертого порядка точности имеем следующие соотношения:

Если

6

1

p1= , то

()()(

)

1N1N1

xy,xfhhK

−−

⋅

=

αα

.

Если

3

1

p2= , то

2

1

2

=

α

,

2

1

21

=

β

и

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

.xy,xf

2

h

xy,

2

h

xfh

hK

2

1

xy,

2

h

xfhhK

1N1N1N1N

11N1N2

 



 



⋅++⋅=

=

 



 



⋅++⋅=

−−−−

−−

αα

α

αα

Если

3

1

p3=

, то

2

1

3

=

α

,

0

31

=

β

,

2

1

32

=

β

и

( ) ( ) ( )

 



 



⋅++⋅=

−−

α

αα

hK

2

1

xy,

2

h

xfhhK

21N1N3

.

Если

6

1

p4=

, то

1

4

=

α

,

0

41

=

β

,

0

42

=

β

,

1

43

=

β

и

()()()(

)

αααα

hKxy,hxfhhK

31N1N4

++⋅

=

−−

.

В итоге получим соотношение:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

.hKhK2hK2hK

6

h

xy

hKphKphKphKpxy

hKpxy

dxxy,xfxyxyxyxy

43211N

443322111N

4

1J

JJ1N

x

1N1N1NN1NN

N

1N

αααα

α

αααα

α

∆

++++=

=⋅+⋅+⋅+⋅+=

=⋅+=

=+=+=

−

=

−

−−−−

∑

∫

−

Тогда вычисление приближенного значения координат точки графика исходной функции с координатами

()(

)

NN

xy,x

, исходя из

127

приближенных значений координат точки

()(

)

1N1N

xy,x

−−

, по методу

Рунге-Кутта четвертого порядка точности осуществляется согласно следующим соотношениям:

()()(

)

1N1N1

xy,xfhhK

−−

⋅

=

αα

,

( )

2

h

xx

1N21N2

α

+=

−−

,

( )

(

)

 



 



+⋅=

−−

2

hK

xy,xfhhK

1

1N21N22

α

αα

,

( )

(

)

 



 



+⋅=

−−

2

hK

xy,xfhhK

2

1N21N23

α

αα

,

α

hxx

1NN

+

=

−

,

()()()(

)

ααα

hKxy,xfhhK

31NN4

+⋅=

−

,

()()(

)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

.hKhK2hK2hK

6

h

xy

xyxyxy

43211N

1N1NN

αααα

α

∆

++++=

=+=

−

−−

В рассматриваемом дистанционном расчетном проекте метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности имеет следующую реализацию (итерация с индексом «N»

(

)

1N

≥

):

1. На искомом отрезке

[

]

0B0A

x,x

при соблюдении условия

0B0A

xx

<

, исходя из вводимого или рассчитанного значения

величины шага

4RK

h

α

(при вводимом количестве шагов

4RK

s

α

по

формуле

4RK

0A0B

4RK

s

xx

h

α

−

=

), выбирается абсцисса точки графика

исходной функции с координатами

()(

)

4RK

N

4RK

N

xy,x

, то есть

4RK

N

x

,

согласно следующему соотношению:

4RK4RK

1N

4RK

N

hxx

α

+=

−

.

128

2. Осуществляется вычисление приближенных значений

ординат точки исходной функции с координатами

()(

)

4RK

N

4RK

N

xy,x

, то

есть

(

)

4RK

N

xy

, согласно соотношениям:

()()(

)

4RK

1N

4RK

1N

4RK4RK

N1

xy,xfhhK

−−

⋅=

αα

,

( )

2

h

xx

4RK

1N

4RK

21N2

α

+=

−−

,

( )

(

)



 





 



+⋅=

−−

2

hK

xy,xfhhK

4RK

N1

4RK

1N

4RK

21N2

4RK4RK

N2

α

αα

,

( )

(

)



 





 



+⋅=

−−

2

hK

xy,xfhhK

4RK

N2

4RK

1N

4RK

21N2

4RK4RK

N3

α

αα

,

4RK4RK

1N

4RK

N

hxx

α

+=

−

,

()()()(

)

4RK

N3

4RK

1N

4RK

N

4RK4RK

N4

hKxy,xfhhK

ααα

+⋅=

−

,

()()(

)

( )

( ) ( )

.

hKhK2

hK2hK

6

h

xy

xyxyxy

4RK

N4

4RK

N3

4RK

N2

4RK

N1

4RK

1N

4RK

1N

4RK

1N

4RK

N



 





 



++

+=

=+=

−

−−

αα

α

∆

3. Если достигнута истинность выражения

0B

4RK

N

xx ≥

, то

итерации прекращаются, количество шагов итераций

Ns

4RK

=

α

,

тогда приближенное значение исходной функции

(

)

0B

xy в точке с

координатами

()(

)

0B0B

xy,x определятся согласно соотношению

()(

)

4RK

N

4RK

0B

xyxy =

α

.

4. Если

0B

4RK

N

xx <

, то осуществляется переход к следующей

итерации.

129

2.4.2. Описание демо-версии расчетного проекта

Описание демо-версии дистанционного динамического расчетного проекта «Приближенные решения обыкновенных

примере реализации дистанционной системой динамических расчетных проектов расчетов значений промежуточных и итоговых результатов вычислений при нахождении приближенных значений исходной функции

(

)

0B

xy в точке с координатами

()(

)

0B0B

xy,x

()(

)

0B0B

xy,x для функции двух переменных, заданной уравнением

()(

)

y3x2byaxxy,xf

−−=+=

, со значениями начальных условий

5x

0A

−

=

,

(

)

1xy

0A

−

=

,

2x

0B

−

=

, а также заданными значениями

количества шагов для методов Эйлера

6sE=

α

, Рунге-Кутта второго

(

15s

2RK

=

α

) и четвертого (

6s

4RK

=

α

) порядков точности в

сопровождении соответствующих скриншотов программы для ЭВМ.

По автоматически сгенерированным дистанционной системой динамических расчетных проектов значениям исходных данных осуществляется вывод в виде автоматически создаваемой статической Интернет-страницы полученных значений исходных данных (рис. 47) и расчетных значениях итоговых результатов без применения численных методов вычислений (рис. 48), а также информации о рассчитанных значениях промежуточных и итоговых результатов вычислений по методам Эйлера (рис. 49), Рунге-Кутта второго (рис. 50) и четвертого (рис. 51) порядков точности.

130

Для каждого из численных методов в качестве промежуточных результатов вычислений выступают значения необходимых параметров на шагах с индексами «0», «1» и «N», где «N» – общее количество шагов для метода. Значения параметров для численных методов на шаге с индексом «N-1» вычисляется в автоматическом режиме и представлены для возможности реализации расчетов на последнем шаге, то есть значения данных расчетных параметров являются значениями исходных данных для шага с индексом «N».

Рис. 47. Формирование значений исходных данных

Рис. 48. Расчет значений итоговых результатов без применения

численных методов вычислений